[提要]本文精心选择并介绍了1940年以来美国在纯粹数学方面的10大成就，从一个侧面反映了美国最近30多年中数学研究的情况。30年代的美国，还处于大量派遣留学生到西欧各国学习数学的阶段，某些基础理论研究并不强。二次大战后，美国在纯粹数学方面迅速地赶了上来，作出了自己的贡献。本文结合10大成就产生的经过，叙述了新概念的运用，新方法的引入，新事例的发现，新事物的揭示，描绘了现代数学发展的某些重要倾向，对数学基础理论研究有一定的参考价值。
文章中所列举的10大成就说明：数学上著名难题的突破特别受到人们的重视。1900年希尔伯特提出的23个问题，至今还是数学工作者注意的焦点之一。10大成就中就包括了希尔伯特的1、5、10三个问题的解决。另外像魏尔猜想、彭加勒猜想，也都是世界著名的难题。这类问题的解决往往标志着一个国家数学理论研究的水平。数学理论固然会不断地受到外界影响而产生一系列边缘科学，但也由于内部逻辑的需要而发展。世界著名数学难题正反映了数学学科本身存在的矛盾。解决这些难题必须引入新概念、新方法，从而也就直接间接地给其他数学分支提供了工具，推动了整个数学的前进。例如，代数几何原是一个很老的数学分支，但在10大成就中却占有不小的比重，近年来颇为引人注意。数学基础理论的提出和解决，对于人类认识世界和改造世界是不可缺少的。
本文原载《美国数学月刊》第83卷第7期（1976年8～9月号）。为了便于非专业工作的读者阅读，每一项成就前面由译者加了简要的说明。
序言
怎样才能最好地介绍1940年以来美国数学的这段历史？这篇报告的主要内容应当介绍《数学评论》统计数字的增长，还是数学家们的活动？是介绍书籍和论文的目录，还是追溯从Kōnigsberg桥问题导致拓扑学然后再引出同调代数及其所产生的影响和涵义？我们决定不这样做，而是尽可能地多讲一点数学，多讲一点今天充满活力的数学。为了在有限的时间和篇幅内做到这一点，我们以历史上“胜者为王”的传统方式选择主题。我们力图描述1940年以来美国数学的一些重大成就，并提出得胜者的名字，我们还希望以充分而简略的说明指出他们主攻的对象是什么。陈述通常只限于命题，略去全部证明，但有时也简要说明一下证明的思路。说明可能只是一句话或者二三段文字；目的主要是为了启发，而不是为了说服。
数学的进步意味着新概念、新事例、新方法或新事实的发现。许瓦尔兹的广义函数概念、米尔诺怪球的例子、科恩的强迫法以及菲特一托马森关于单纯群的定理，不论用什么标准衡量都肯定是重大的。将这些成就包括在我们所列举的项目中是毫无问题的。困难在于应当排除什么。我们拟定了几条粗略的规则（如只限于定理，不考虑理论）。应用数学的某些方面已有介绍，所以我们把注意力限定在纯粹数学方面。我们也排除了在美国既没有扎根，更没有分支、没有开花的工作。在决定两个候选者之中保留哪一个时，我们倾向于保留人们较普遍关心的那一个（所谓“普遍关心的”与“著名的”不完全一样，但又是接近的）。
我们最后选定了十项重大的成就。我们认为10大成就对这一历史阶段曾发生的事情描绘了一幅清晰的图画。这并不是说我们选定的10个比任何别的成就更重大，也不是说它们必须是数学意义上的极大（即不小于任何别的成就），我们只是说，在任何一部关于我们时代和我们国家的负责的历史中，它们都会出现，都会受到尊重的讨论。这一类“不可省略的”成就，总数当然不止10个，可能是20个甚至40个。我们对10大成就的选择受到能力的局限和个人偏好的影响；这是没有办法的。别的人很可能会选另一组不同的10个。然而，我们希望并且相信，每个人所拟的项目会与我们的10个会有一大部分重复，而部分不同也不至于从根本上改变整个画面。
在历史上，每一时刻都影响着以后，因而常常有必要把注意力限于一段时期。但这是很不自然的。同样，每一地区都影响着其他地区。我们地球表面的拓扑要比时间直线的拓扑复杂得多，要把注意力限于一个国家几乎是不可能的。数学的历史也不例外：要描述这里发生了什么，我们常常由于受到远处影响的压力而讨论那里发生了什么。尽管如此，我们还是能够相当接近我们原定的任务；若用一个数来表示，下面所描述的10项成就中，大概有8.25项可以称得上是美国的。
介绍的次序，我们决定按照它们所属范畴的复杂程度来安排，换言之，非常粗略地说，是以与数学基础的距离为次序来安排。
1. 连续统假设
这是数学基础理论的一个著名命题，涉及对“无限”的比较。有限实数可比较大小，如2<3。但“无限”之间能不能比较？答案是也可以，办法是一一对应。自然数全体1，2，3，…n，…和正偶数全体2，4，6，…2n，…是一一对应的（令n对应2n）。但可以证明，全体实数和自然数不一一对应。通俗地说就是：实数比自然数多。数学上称全体实数构成的集具有连续统的势，而自然数集合具有“可数”的势，连续统的势大于可数的势。康托尔猜测，在“可数”和“连续统”之间没有别的势，这就是著名的连续统假设。希尔伯特把它列为著名的，23个问题中的第1个。这个问题在本世纪有两次重大突破：1940年侨居美国的澳大利亚人哥德尔证明这假设和其它公理不矛盾，1964年，科恩又证明该假设不能由别的公理推出，即这个假设本身也是一条公理。
一切数学都是从集合论推导出来的（无论如何我们之中许多人都相信是这样），而集合的运算是一个简单的自然操作（至少，学生们对把握这种运算没有什么困难）。任何一位从事研究的数学家所需要知道有关集合的一切东西（还包括他没有想到他需要知道的少数几件额外的事情），能够被概括在1页纸上（如果还要形式地加以推导，那也只要3、4页就够了）。这样的一页就能表达出如何从给定的集合构成新集合的基本方式（例如，由特定元素组成的集，并集的构成，以及一个集的幂集，即该集的一切子集所构成的集合）；描述集合的基本性质（例如，两集合相等当且仅当一个是另一个的子集，以及没有这样的集，它的元素本身是一些集，这些集具有元素，元素本身又是集等等直到无穷）；并且断言，无限集的存在（不论是作为一个假设或者作为一个结论提出，都是作为集合所在宇宙的一种描述）。这些基本的集论命题可以当作明显的确实的观察结果，也可作为ZF（Zermelo-Fraekel）结构的一种公理性描述。在随便哪一种情况下，把它们编进一台合适的（不是非常复杂的）计算机的语言中那是简单的事。这种计算机能够容易地学会数学家曾使用过的一切推理规则。此外，若在它的基本资料中再增加两个命题，那么，在原则上，它就能够容易地打印出全部已知的数学（以及许多尚未知道的数学）。
这两个在历史上曾受到特殊审查的命题是AC（选择公理）和GCH（一般连续统假设）。AC：对每一集合X，有一个从X的幂集到X本身的函数f，使得f(A)∈A对每一个X的非空子集A成立；GCH：一个无限集X的幂集的每一个子集或是一一对应于X的某个子集或是一一对应于整个幂集——没有居于两者之间的情况。
AC是真的吗？这个问题常常被比拟成类似于欧几里得几何中的平行公理。在这两者中间，都各有一套或多或少令人满意的公理系统，又有一条不大令人满意的，比较复杂的，不甚显然的附加公理。若这条附加公理是那些基本公理的推论，则这条公理是真的，一切都很好；若这条公理的否定是那些基本公理的推论，这条公理则是假的，无论是真是假，这个问题就有了确定的答案。当然，关于GCH也可提出同样的问题。早已知道，GCH可导出AC；由于这一点，两个问题的答案之间有着明显的联系。
这两个答案是微妙的和深奥的智力结果。1940年哥德尔证明了AC和GCH都不假（即它们与ZF公理系统无矛盾）而保尔 · 科恩证明（1964）它们都不真（即它们独立于ZF公理系统）。
哥德尔以建造一个适当的模型来论证。他说：若ZF是无矛盾的，则存在一个满足ZF基本公理的集合所组成的宇宙V，他证明：那么也就存在一个满足这些基本公理的“子宇宙”，而在其中AC和GCH都是真的。哥德尔所构造的子宇宙是“可构造”集所组成的类L（“可构造”这个词被赋予非常广泛但又十分精确的意义，粗略地说，可构造集就是那些能够从空集通过基本集论的构造的超限序列来得到的集合）。类L是V的子结构，在这个词熟知的数学意义下：L的对象是V的某些对象，它们之间的关系∈是将V中的集合论∈关系限制于L的对象上。如L那样的模型的存在性（由假设无矛盾的模型V构造出来的）证明AC与GCH的相容性正如欧几里得平面的存在性证明平行公理的相容性一样。
科恩的论证是相似的，但更难一些。它令人回想起费利克斯· 克莱茵给欧几里得圆以一种新的度量来构造出罗巴切夫斯基平面。科恩从一个适当的ZF模型出发，然后添加上新的对象。这个新的对象在原先模型中是“类”（而不是集）。这种添加是以一种新的称之为“强迫”的方法来进行的，这个方法一旦发现，人们就认识到在集合论的许多部门可资应用。科恩的证明是构造一个无限序列，它愈来愈好地有限逼近于新的对象。粗略地说，新模型的每一个性质是受到原先模型和一个逼近模型的性质所“强迫”。依赖于细节的调整，最后的结果能够是一个AC为假的模型，或者是一个AC为真，但即使古典未推广的连续统假设CH也为假的ZF模型（CH是对一个可列无限集的GCH）。结论：AC和CH独立于ZF。
2. Diophantine方程
从勾股定理可知，方程x2+y2=z2，有一组解x=3，y=4，z=5。这个二次方程的系数都是整数，其解也是整数。任何以整数为系数的方程都有整数解吗？当然不是。方程x2-2=0就没有整数解。希尔伯特在1900年提出的第10个问题是，是不是可以设计一种计算步骤，以判定一个整系数方程能不能得到整数解？用数理逻辑中的递归函数概念可以定出这种计算步骤，并已得到公认。但经1952年到1970年几个美国数学家证明，按这种算法不能判定整系数多项式的方程有没有整数解。
连续统假设是希尔伯特在1900年提出著名的23个问题中的第一个问题。希尔伯特的第十个问题是关于Diophantine方程的可解性。这个问题是要设计一种算法、一种计算的步骤，以决定一个任意指定的整系数的多项式方程是否具有整数解。讨论正整数系数的多项式方程的正整数解（解在Z+中）在某些方面更为自然，有时在技巧上也较为容易。注意：这并不意味只讨论例如p(x)=0的方程。这问题包括了寻找①使得p(2)=q(x)；更一般地，它也包括了寻找n元数组(x?，…，xn)使得p(x?，…，xn)=q(x?，…，xn)；最一般地说，它意味着寻找n元数组(x?，…，xn)，对这个数组，存在有m元数组（y?，…，ym）使得
p(x?，…，xn，y?，…，ym)=q(x?，…，xn，y?，…，ym)
在后者的意义下，对每一组P与q(n+m个变量)，其解集称之为Z+n中的一个“Diophantine集”。
说存在一个决定可解性的算法，究竟意味着什么呢？回答这个问题的合理途径，是提出集合和函数的可算性的意义，然后再以可计算性来定义算法。
一个从Z+到Z+的函数，或者更一般地，一个从Z+n到Z+的函数什么时候才称得上是“可计算的”呢？目前，关于这个定义已有普遍一致的意见：可计算的函数（也叫做“递归”函数）是由几个容易的函数（常数，后继，坐标）通过三种手续（复合，极小化，初级递归）得到的一些函数。在这里，细节是无关紧要的（至少它们不会被用到），人们可以很轻松地搞懂它，不会有什么困难。如果（在Z+中或者更一般地在Z+n中）一个集合的特征函数是可计算的，则称这个集为可计算的。结果：当且仅当一个集合的余集是可计算的，则这个集合是可计算的。
现在考虑（在上述意义下）一切多项式方程，并把它们整列为（E?，E?…，En…）。（为了使下面所讲到的与算法的直观概念相符合，整列应当在某种意义下是“有效的”。这点能够做到，而且相当容易。）E?有一个解（在上述意义下）的下标K形成Z+一个子集S，希尔伯特（是否有一种算法？）的问题可以表达如下：S是不是一个可算集？回答是否定的，这个答案经过很长一段时间才出现；它是累积了J · 鲁宾逊（1952），M · 戴维斯（1953）、H · 普特曼（1961）和Y · 马蒂加斯维克（1970）等人努力的结果。
整个证明的中心概念是Diophantine集的概念，主要的一步是证明每一个可算集为Diophantine集，在技巧上巧妙地使用了初等数论（例如，中国剩余定理、斐波那契数或佩尔方程的一些理论）。证明显示了某些有趣的Diophantine集，它们的Diophantine特性根本就不是显然的（例如2的幂阶乘和素数）。
证明S（可解方程的下标集）是不可计算的，一种方法是用归谬法。若S是可计算的则（稍微用一点附加的论证）就会得出每一个特殊的Diophantine集（即每一特殊Diophantine方程的解集）是可计算的，因之（由前节的“主要一步”），每一个Diophantine集的余集是Diophantine的集。由于显示了有一个Diophantine集，它的余集不是Diophantine集，这就导出了矛盾。
最后一步使用了熟知的康托尔对角线论证法。其思想是“有效地”排列Z，的全部Dioplantine子集，比如说，{D?，D?，Dn…}，是Diophantine集（用了某种论证），最后证明其余集Zi-D*={n:ng￠Dn} 不是Diophantine集（这就是康托尔出场的地方）。
3. 单群
群是一个集合，其中定义了一种乘法。群中元素可以是数，也可以是矩阵，集合或别的什么。乘法a·b可以是数a和b相乘，也可以是先进行变换b接着进行变换a，以及其他等等。这就使近代数学概念大为拓广。一个群G可以有子群N，即G中一部分元素{N}按乘法也构成群。一个群如除自己和单位之外不能再有“正规”子群，叫作单群。数的乘法可以交换，如2×3=3×2，但群的乘法不一定能交换。对于可交换的单群已弄清楚了，但非交换的单群还不清楚。伯尼赛德曾猜测：每一个非交换的单群是偶数阶的，经过50多年后，两个美国数学家证明它是对的。
数学基础方面到此为止。阶梯上的第二个题目是代数，在目前的场合，是群论。
每一个群有两个显然的正规子群，即G本身和另一极端子群1。若一个群只具有这两个正规子群，则称它为单群。
单群在两个方面与素数相似：它们都没有真因子，而每一个有限群总能够由它们构造出来（依照一般的约定，平凡的正整数1不叫作一个素数，但平凡群1却叫作单群。这很不协调，但只能如此）。
设G为有限的，令G?为G的一个极大正规子群（说G1是极大就意味着G?是G的一个真正规子群，且G?不包含在G的任何别的真正规子群之中），若G是单一的，则G?=1；无论如何，C?的极大性意味着商群G/G?是单纯的。G，C?和G/G?（群，正规子群，商群）之间的关系有时用下面的话来表示：G是G/G?通过G?的一个扩展。用这一术语，每一个有限群（除了平凡群1）是一个单群通过一个严格低阶群的扩展。它是“每一个正整数（除1而外）是一个素数与一个较小的正整数之积”这一数论命题在群论中的类比。
若G?是非平凡的，上述议论可以继续应用；使得G?是单群G?/G?通过G?的一个扩展，其中G?是G?的一个极大正规子群，这种手续能够重复进行，直到产生平凡子群为止；最终产物是一个链，一个组合列
可交换的有限单群是容易决定的：它们恰巧就是素数阶的巡回群。困难的是要找出一切非变换的。某些单群的例子容易获得：例如，在置换群中，最著名的是5次或5次以上的交替群。已知的单群没有显示出任何模式，关于它们甚至最简单的问题也难于攻破。例如，伯尼赛德曾猜测：每一个非交换的单群具有偶数阶，但这个猜测曾作为未解决的问题经历了50多年。
菲特和托马森（1963）解决了伯尼赛德猜想（它是真的），大大显示了群论的力量。证明占据了《太平洋数学杂志》整整一期（280多页）。这是技巧性的群论和特征标理论。自从它发表以来，已有人对它作了一些简化，但尚未发现简短或容易的证明。这个结果有许多推论，这种方法也被用以进攻有限群论中的许多其他问题；曾被许多人宣布为死亡的一个课题表现出它仍然具有朝气蓬勃的生命。
4. 奇点分解
使二元二次多项式x2+y2-a2等于零的点是平面上一条曲线：圆，其方程是a2+y2=a2。推广这一想法，使一个或一族多项式等于零的那些点，代数学上称之为流形。圆的每个点都有切线，但流形上每个点不一定有切线。y2=x2定又的面线在原点就没有切线，这种点叫奇点。在一般流形V上，怎样判断它有奇点？如果有奇点能否排除掉（即构造另一没有奇点的流形W，使W和V结构基本相同）？这问题从19世纪开始研究，1964年得到了完善的结果：这样的W可以构造出来。
当代数与几何混合起来并应用到几何学上时，它就变得更丰富，更困难了；最丰富的混合物之一就是称之为代数几何这个古老而又非常有生气的题目。本节报导这方面一个古老而又著名的问题的解决。
令K为一个代数意义上的闭域，像通常一样，令Kn为K上n维坐标空间（下面的问题的中心对坚持以复数域作为K的人是看得出的）。Kn中的一个“仿射代数流形”V是指一族系数在K中的n变量多项式的公共零点的轨迹。因为只与零点有关，故这个族本身并不重要，它可以由产生同一轨迹的任何别的族来代替。因此，若R为系数在K中的n变量的一切多项式的环，又若I是R中由指定族所产生的理想，则I将定义同一个流形；因此，不失一般性，开始就可假定这个族是一个理想。
对于流形，人们所关心的对象是它的“奇点”。从直观上说，这是没有正常的“切向量”的一些点，例如，考虑由
y2=x2+x2与y2=x2
所定义的曲线。（因为基本域是限于代数封闭的，故这些方程所联系的实平面曲线并不是真正要考虑的对象，但它们比复平面上的复曲线更容易考虑一些。注意！复平面有四个实维数。对代数几何学家来说，分析学中熟悉的“复平面”是复直线。）这些曲线的第一条是以斜率2从第一象限到达原点，在左半平面中具有一个回路，然后经原点以斜率-2进入第四象限；这条画线以原点作为一个二重点。另一条曲线以斜率0从第一象限到达原点，然后以同样方式进入第四象限，它以原点作为一个尖点。
（从代数上定义奇点的计划中的）第二步是要造出一个新的环，以研究α附近函数的局部行为。这个想法（粗略地）就是这样：（i）考虑配对(U，f)，其中U是α的一个邻域，又f是在U中无极点的一个有理函数。（ii）当且仅当存在一个α的邻域U″包含于U∩U′，使得在U″上有f=f′时，对于配对定义一个等价关系，写作(U，f)~(U'，f′)。（iii）等价类（“芽”）组成一个环（例如具有[(U，f)]+[(U'，f)]=[(UNU′，f+f')]）称为α处U的“局部环”。
从代数观点来看，前面的拓扑考虑只是启发式的，它们将用一个代数结构来代替。这一过程被称为“局部化”。（i）考虑配对(f，g)，其中f与g都在R中，且g￠Nα。（ii）当且仅当存在一个不属于Nα的h使得h ·(fg'-gf')=0时，对于配对定义一个等价关系，写作(f，g)~(f'，g')。（iii）将(f，g)的等价类写作f/g。这个等价类组成环Rα（具有分数运算的通常规则）。环Rα确实是通常代数意义下的一个“局部环”，它有唯一的极大理想，即由α处等于0的Rα的元素组成的一个理想。
为了启发下一步，我们再次认为论题不是代数几何，而是解析几何。在这种情况，Rα就由在α近旁为收敛的α处的泰勒级数所组成，又α处等于0的芽所组成的理想Nα就是常数项为0的α处的泰勒级数所组成。在某种意义下，泰勒级数的线性项是一阶微分。抓住这些项的一种方法就是要“忽略掉”高价项。更精确地说，考虑理想Nα2，在解析的情况，它是由常数项和线性项都为0的泰勒级数所组成，然后构成Nα/Nα2。
现在就容易写出定义了。V的维数d是指一切商空间Nα/Nα2的维数（当然是在域K上的）的极小值。如果dim(Nα/Nα2)>d，就是说点α是“奇点”。不难看出，对于上面例子中提到的二条曲线，原点确是这个定义意义下的一个奇点。
代数几何的主要问题之一是去除掉奇点。为了这一目的，将讨论限于“不可约的”流形，即Rv为整域的流形，换句话说，也就是Nv为一个素理想。这种情形，构造Rv的分数域Fv。若Fv与Fw同构，则二个流形V与W为“双有理等价”。粗略地说，这意味着：V与W除有限个位置外能用有理映射来互相参数化。奇点分解问题就是要寻找一个非奇性流形，它双有理等价于V。
这个题目已有一段很长的历史了。马克斯· 诺脱在十九世纪曾处理过曲线。曲面则曾是意大利学派许多几何讨论的课题；严格的证明曾为R · J · 沃尔克（1935）所发现。对于特征为0的域上的任意维数的流形，查里斯基的工作促进了最后的胜利，它为广中所赢得。
5. 魏尔猜想
在解方程之中，给定α，b，c三实数，则αx2+bx+c=0有两个根（实根或复根）。这里α，b，c和根取值范围是全体实数或复数，其数目是无限多的。假若我们限制方程的系数和根的值只能在有限个数中选取。那么这种方程有没有解？这就是有限域上多变量多项式解的问题。1949年魏尔证明这种方程解的个数满足某些条件，并且猜想这些条件对于解方程组也是必需的。1974年德利涅证实了这一猜想。
当一个数学家通过类比猜测到这个情况应当与那个情况完全一样时，他的工作常常是很困难的（也是很值得的）。1949年，魏尔以这种方式来推理，提出了三个猜想，从而深深影响了过去25年来代数几何的发展。
这些猜想发表在题为《有限域中方程解的数目》的一篇论文上，这篇文章表面上是以前工作的一篇概述。计算有限域上多变量多项式方程的解的数目是一个古典的问题，曾为高斯，雅可比，勒让德尔等人研究过，但魏尔采取了一个新的观点。为了了解他的研究途径，考虑一下齐次方程的特殊情况：
(*)α0x0n+α1x1n+ …+αrxrn=0
其中系数α1是在p个元素的素域F中。基本问题是要计算F中解的数目，但对数学家来说，计算在F的任一个有限扩张域中解的数目是一样重要的。回忆一下，对每一个正整数k，存在F的具有pk个元素的唯一扩张域Fk。魏尔所做的就是计算在每一个域Fk中解的数目，然后把这一信息编入生成函数。
为了简约地做到这一点，考察一个方程(例如*)的解集。当然，平凡解总是有的，即x1全都为0。若(x0，x?，…，xr)是一个非平凡解，且若0≠c∈Fk，则(cx0，cx?，…，cxr)也是一个非平凡解。这样，每一个非平凡解产生pk-1个另外的非平凡解，将它们分开来计算是没有价值的。因此，自然要考虑r维“射影空间”Pr(Fk)，即Fk的元素所组成的r+1元的非平凡有序组，两个有序组是相等的，如果其中之一是另一个乘上一个标量（这完全类似于熟知的实和复射影空间）。用这些术语，问题就是要计算Pr(Fk)中是（*）的“解”的“点”的数目。
那就是魏尔所做的事情。他令Na为（*）在Pr(Fk)中的解的数目，考虑生成函数G，
则Z是有理的。函数Z满足一个类似于黎曼ζ函数所满足的函数方程，因之将Z看作与方程（*）相联系的ζ函数是适当的。由黎曼ζ函数所引起的经典问题的启发，魏尔研究并确定了Z的零点和极点的若干性质。
这就是魏尔文章所达到的最高点。魏尔想把关于（*）的结果推广到Pr(Fk)中的代数流形，即推广到r变量齐次方程组的解集。最初由黎曼所定义的ζ函数的概念，曾由Dedekind推广到代数域上，曾由Artin推广到函数域上，现在魏尔把它推广到代数流形上。（所考虑的流形应当是非奇异的，那个条件的一般定义在这里是无关紧要的；对绝大多数域来说，通常能够以方程组的雅可比式在每一点具有极大秩的要求来定义。）给定系数在F中的一组方程，像前面一样，令NR为Pr(Fk)中解的数目，魏尔提出了下面的猜测。
1. 像前面一样，由
所有这一切似乎远远离开了通常所考虑的几何学，而且尽管有一些例子已为大家所知，但似乎魏尔所作的猜测没有什么依据。猜测的背景究竟是什么？答案包含在魏尔论文的最后一节中，那里他提示说：在这些流形（对特征为p的域）的性质与古典流形（对复数域来说）的性质之间是有类似性的。
1960年，德沃尔克建立了有理性猜测（没有假定非奇性条件）。最后的胜利是1974年来到的：使用格洛辛狄克学派20年来的结果，德利涅证实了魏尔的全部猜测，或许更重要的，他还证明了特征p的域上的流形理论与古典代数几何之间有着美妙的联系。柏拉图说：“上帝是几何学的化身”。雅可比说：“上帝是算术的化身。”而魏尔猜想则表明：好得很，上帝竟能够同时兼为两者。
6. 李群
一个集合可以有两种结构：一是代数结构，如加减乘除等；一是拓扑结构，即每一元素附近存在一套邻域系统，可用来研究无限接近等问题。如果一个集合，它对乘法构成群，又有一邻域系统使这一乘法是连续运算（即x很靠近α，y很靠近b，则x · y很靠近α · b），这种群称为拓扑群。如果这个乘法运算不仅是连续的，而且是解析的（满足无限多次可微分等条件），则叫做李群。一个拓扑群什么时候是李群？希尔伯特提出的第5个问题说：如果一个群，它的每个元素附近都和通常欧几里得平面上的小圆有同样结构，则一定是李群。1952年几个美国数学家证明这是对的。
带几何或不带几何的代数到此为止。下一个题目指向代数与拓扑混合起来的后期解析方面的问题。像其他的极少数卓越的数学结果一样，这个结果似乎不花代价就得到了什么，至少是用很低的代价得到了许多东西。这类结果中最著名之一出现在复函数论教程的开始部分；一个在复平面的开子集上可微的函数必然是解析的。
希尔伯特的第5个问题就是要求这类不花代价就得到的结果。背景是拓扑群的理论。一个拓扑群是一个点集，它既是一个豪斯道夫空间，又是一个群，而群的运算：
所以乘法和逆运算显然都是连续的。
这个例子有一个重要的特性，即在每一点都有一个邻域同胚于（2维）欧几里得空间中一个开球，从这个意义上说是“局部欧几里得的”。（等价地：每一点有一个“局部坐标系统”。）这个例子的一个更重要的特性是：看做适当的欧氏空间上的函数的群运算，它不仅是连续的，而且甚至是解析的。若一个群是局部欧氏的，即如果群能够被坐标化，则完成的途径有许多条；倘若它们之中至少有一条能使群运算是解析的，则这个群就称为“李群”，希尔伯特第五个问题是，是否每一个局部欧氏群都是李群？
这个问题与复函数论中的一个问题十分相似。二阶可微函数是解析的，这是相当基本的；早已知道，若一个拓扑群具有充分的可微的坐标，则它一定具有解析的坐标。
在哈尔测度发现之后不久，冯· 纽曼（1933）就用它来证明希尔伯特问题的答案对紧群是肯定的。不久之后，庞特尔贾金（1939）解决了交换群的情况，薛瓦利（1941）解决了可解群情况（很遗憾，这里“可解”是一个术语，而且不可避免地要使用它）。
一般情形是在1952年由格利森，蒙哥马利和齐平联合解决的，希尔伯特问题的答案是肯定的。格利森所做的工作是把李群特征描绘出来（定义：若一个拓扑群的恒等元具有一个不包含大于1阶子群的邻域，这个拓扑群称为不具有小的子群。特征：一个不具有小的子群的有限维局部紧群是一个李群），蒙哥马利和齐平利用几何拓扑工具（以及格利森定理）达到所要的结论。
注意：上述论题不能被认为已经终结。这个问题无论在理论上还是在实际上都能够得到有价值的推广。群能够代之以“局部群”，又抽象群能代之以作用在流形上的变换群。最好的一类胜利是指出向何处去寻求新的有待征服的领域，对于希尔伯特第五个问题的胜利正属于这一类。
7. 彭加勒猜想
拓扑学是研究图形结构的。在平面上，一个圆和一个正方形可看成同样结构，因为它们内部都连成一片（连通性），且图形各点彼此联系很紧密（紧致性）。平面中的圆和圆环、空间中的球和环（形如车胎）虽然都有连通性和紧致性，但它们的结构显然不同。拓扑学上把平面上的圆叫单连通，圆环叫二连通，空间的球叫单连通，环叫三连通。那么高维空间的情形怎样？彭加勒猜想在n维空间中的一个点集若是n-1连通的紧致流形，则必定是n维球。1960年斯梅尔证明当n≥5是对的，至于n=3，n=4的情形，至今尚未证明。
“流形”是一种局部欧氏的拓扑空间（精确地说，是可分的豪斯道夫空间）。许多年来，流形曾经是——而且现在仍旧是——拓扑学的中心论题。希尔伯特的第五个问题是关于流形的；彭加勒猜想是关于光滑流形的连通性质。“微分流形”是赋予局部坐标系的一种流形，而且从一个坐标邻域到另一个有重迭的坐标邻域的坐标变换是光滑的。这里，“光滑”一般被理解C∞的简写，即表示无限的可微。
欧几里得平面几何的公理指出了平面的特征。这类工作（找出一个论题的中心，把它抽象出来，并将其结果用作特征化的公理）在数学中是经常的和有用的。因为一大部分拓扑学的主要概念是球，因而很自然地要将球也纳入公理处理方法之中。有人曾做过尝试，而且大体上是成功的。
例如：1球（即圆）是一个紧致、连通的1流形（即维数为1的流形），这样就足够了，因为在同胚的意义下，每一个紧致、连通的流形是一个1球。
对2球来说，事情比较复杂：2球S2与环T2(=S1×S1)都是紧致连通的2-流形，但它们并不互相同胚。为了区别S2和T2，或更一般地，为了区别S2和带环柄的球，就必须注意到：虽然S2和T2两者是连通的，但S2更为连通。用恰当的术语来说，就是：S2是“单连通”的，而T2则否。确切的定义可叙述如下。设X与Y都是拓扑空间，又设f与g是从X到Y的两个连续函数：I为单位区间[0，1]。若存在一个从X×I到Y的连续函数h，对于一切x，h(x，0)=f(x)，h(w，1)=g(x)，则函数f与g是“同伦的”（直观地说，f能够连续地变形到g），若S1到Y的每一个连续函数都同伦于一个常数，则空间Y是单连通的（直观地说，每一闭曲线能够收缩到一点）。一旦有了这个概念，2维球的特征就容易叙述了；在同胚态意义下，每一个紧致单连通的2流形是一个2球。
1维与2维的讨论尚不能对猜测一般情况提供坚实的基础，但至少使得下面的概念似乎是可取的。存在着定义k-连通的一种途径，它拓广了“连通”（k=0）和“单连通”（k=1）：即以Sj，j=0，1，…，k，来代替单连通性定义中的S1，因之，若对0≤j≤k之间的每一个j，从Sj到Y的每一个连续函数都同伦于一个常数，则空间Y是k-连通的。
一般的彭加勒猜想是：一个光滑紧致（n-1）连通的n-流形同胚于Sn。对n=1和n=2，这结果是早已知道了的，对一切n≥5，结论成立的证明是新近的一大进步。这个证明是斯梅尔（1960）所获得的，以后不久，在听到斯梅尔的成功之后，斯托林对n≥7给出了另一个证明（1960），齐曼将它推广到n=5和n=6（1961）。对n=3（彭加勒原来的猜测）与n=4，还是未知的。
实际上，斯梅尔证明了一个更强的结果。他指出：某些流形能够由粘合圆盘而得到。他的结果为单连通流形的分类提供了一个出发点。
8. 怪球
在拓扑学中，如果一个图形可一一对应地双方连续地变到另一图形，则称两图形同胚。例如平面上一个圆（用橡皮圈表示）慢慢绷成一个正方形，手一松又可变回到圆形，则我们说圆和正方形是同胚的。这种图形之间的变换可用连续函数来描述。如果进一步假定，描述图形变换的函数与逆函数不仅连续而且可以微分，则称微分同胚。同胚和微分同胚究竟有没有本质差别？1956年米尔诺提出两者有根本差别：在，八维空间中存在一个流形和八维空间中单位球的边界S?同胚，但和S7不微分同胚。这就是所谓“怪球”。这个证明曾有力地推动微分拓扑的发展。
二个微分流形之间的“微分同胚”是映照和逆照都光滑的一种同胚。同胚是流形之间的一种等价关系；等价类（同胚类）由具有同样拓扑性质的流形所组成。类似地，微分同胚是微分流形之间的一种等价关系，而等价类（微分同胚类）包含了具有同样微分性质的流形。这两个概念真的不同吗？微分同胚真的比同胚要求更严格吗？答案是肯定的，即使对拓扑性质很好的流性来说也是如此，不过很不显然就是了。米尔诺在1956年所构造的例子是令人震惊的，用哈斯勒 · 惠特尼的话来说，那一孤立的例子招致现代微分拓扑的旺盛发展。
米尔诺的例子是7-球。对于任何整数n，将n-球Sn自然的方式安装在（n+1）维欧氏空间中，这样一来，Sn当然具有一个自然的微分结构。米尔诺指出：存在一个微分流形，它同胚于但并不微分同胚于S?；这种流形后来就叫做7-怪球。
为了证明这个断言，有三个问题需要解决：（1）找出一个候选者，（2）证明它同胚于S?，（3）证明它不微分同胚于S?。第一个问题是容易的（事后来看）；候补者是拓扑学家几年之前就熟悉的一个空间（4-球上的一个3-球束）。米尔诺用莫尔斯理论解决了第二个问题。微分流形上的莫尔斯函数是一个只具有非退化拐点的实值光滑函数。n-球具有一个不多不少带二个拐点的莫尔斯函数（投影在最后一个坐标上，并考虑两个极）。G · 里比的一个定理适用于另一方面；若一个微分流形具有一个刚刚带二个拐点的莫尔斯函数，则它就同胚于一个球。米尔诺证明他的候补者具有这样的一个莫尔斯函数。第三个问题最难。米尔诺利用了二个事实：第一，S?是R8中单位球的边界；第二，他的候补者是一个8维流形W的边界。若该候补者微分同胚于S?，则利用微分同胚，我们就能将单位球粘合在W上，并得到一个不能存在的（如米尔诺所证明的）8维流形。
一旦知道了7-怪球的存在，当然要问它们有多少个，即有多少个微分流形类。米尔诺与克维尔证明有28个类。其他的球怎么样呢？米尔诺与克维尔又证明：微分n-球以微分同胚为模进行分类能够做成一个有限交换群，它以“自然”球作为零元素；群运算是“连通和”，就是将流形粘合在一起。对n<7，这个群是平凡的；对于n=7，群的阶是28。n=8时，阶数为2，n=9时，阶数为8，n=10时，阶数为6，n=11时，阶数为992。对于n=31，就有超过一千六百万个怪球（的微分同胚类）。
9. 微分方程
微分概念到处都起着重要的作用，包括纯代数和拓扑学。微分方程推动着社会的前进，因之，任何要想预测或部分地改变世界的人都必须懂得一点微分方程和它们的解。
根据在微分方程中涉及到的独立变量的数目，和未知函数进入的方式，人们以奇妙的原始方式将微分方程加以分类。一方面是以“一个”与“多个”来分类，另一方面是以“好的”与“不大好的”来分类，或者以应用到方程上的对应的形容词来表述，一方面是以“常”与“偏”来分类，另一方面是以“线性”与“非线性”来分类。这篇报告只涉及线性方程，不考虑非线性方程：常微分方程只在开始时出现一下，以确定论题的范围。
线性常微分方程理论的开始部分是简单和令人满意的；我们能够在初等教科书中找到。若p为一个多项式
为了避免某些不特别有启发，也不特别有用的同ε打交道的毫分缕析，习惯上常取g（从而找u）要么在约束最多的类集中，要么在约束最少的类集中。约束最多的类集是由任一种所考虑区域（Rn，Rn中一个开集，一个流形）上的光滑（无限次可微）函数所组成；另一极端则是由L · 许瓦尔兹广义函数所表示。（广义函数论的核心思想是：函数f引导出C∞上线性泛函Φ→?Φ(x)f(x)dx。“广义函数”是一种适当的线性连续泛函，不必是由一个函数引导出来的。这种推广与其源泉之间的类比提示了广义函数微分法的一种合适的定义，而采用那个定义，偏微方程理论就得以活跃起来，并迅速前进。）
偏微分方程是一个古老的课题，又是一个广泛被应用的课题，但令人惊奇的是基本定理还是很新的；只是在不久之前埃伦普赖斯（1954）与马尔格兰奇（1955）才证明了每一个常系数线性微分方程是可解的。若右端是光滑的，就有一个光滑解；即使右端被允许是一个任意的广义函数，仍有一个广义的函数解，这个论题在埃伦普赖斯的书（1962）中已详细讨论过，并且可以看作是已经终了的。
到此为止，一切都很好；证明是比常微分方程难得多；但事实还是令人愉快的。变量（即函数）系数的理论就更难得多，知道得很少，没有一处接近完成。50年代后期关于这方面的两件激动人心的工作表明旧的猜测和旧的方法是非常不合适的。
关于旧的猜测：汉斯· 卢伊提出了（1957）一个既有启发性又非常简单的变系数（但非常光滑）偏微分方程根本没有解的例子。卢伊的多项式是一次的，
卢伊所证明的事实就是：对于C∞中几乎每一个g（在贝尔分类的意义下），都没有广义函数满足方程pu=g。
差不多同一时候（1958），考尔德伦曾研究了某些重要的偏微分方程（在适当初始条件下）解的唯一性。实际上，他证明：pu=0，对t≤0（直观上，这里“t”是时间）具有u=0，则对某些正的时间t，u仍局部地为0。考尔德伦的方法是从调和分析中移植过来的；这些方法将奇异积分引进到微分算子论题中，从而，稍后就出现了拟微分算子和傅立叶积分算子。从那时以来，这些思想控制了微分算子的论题。
10. 指标定理
函数论研究性质特别好的函数，称为解析函数，它无限多次可微分，而且能展为幂级数。每个解析函数有和它相应的黎曼曲面。但曲面的结构又是拓扑学所研究的。这样，在函数论和拓扑学之间产生了深刻的联系。古典的黎曼-罗赫定理得到了一个刻划解析指标和拓扑指标关系的公式。1963年把这个定理作了全面的拓广。这种横跨两个数学分支的深刻结果，指示了客观世界数量变化规律之间的本质联系。
阿蒂亚- 辛格指标定理（1963）横跨了数学的两个领域，拓扑与分析。这不是技巧上的偶然事件，而是论题的性质。具有这样广阔视野的定理，通常都是最有用和最精美的，指标定理也不例外。然而，这个定理的宽阔性要求从侧面进行阐释性的概述。下面我们首要地描述历史上的概念上的先兆，黎曼-罗赫定理，然后简短地指出阿蒂亚-辛格定理如何推广了它。
古典的黎曼-罗赫定理处理了黎曼面的二重性（拓扑上的和分析上的性质）。每一个紧致的黎曼面同胚于一个（二维）有柄的球。柄的数目完全决定曲面的拓扑性质。这部分是容易的。分析结构是较复杂的。它由有限个开集的覆盖和由从复平面C到每一开集的显同胚所组成，这显同胚在重迭处定义了全纯函数（不妨利用同胚来把覆盖中每一开集与C中的开集等同起来；下面默认做到了这一点）。例如若曲面为球（没有柄），将C看作通过赤道割开来的一片，并利用球极平面投影（朝着北极和南极）作为同胚。这里有两个开集，北极的余集和南极的余集；在重迭处的同胚函数由w(z)=1/z给出。
黎曼面上的一个光滑函数可以被看作C中开单位圆（对覆盖的每一个开集有一个）上的一族函数，它们是光滑的（C∞），并且在由重迭处引出的变量变换下互相变换。如果f与g是二个这种函数，w是圆上的变换，这种变换是经由适当同胚到对应于f的开集并从那与对应于g的开集的重迭处返回这样的关系所引出，则f(z)=g(w(z))。若圆上每一个这样的函数都是全纯（或半纯），则黎曼面上的函数称为全纯（或半纯）。黎曼面的解析研究的另一个概念是光滑微分的概念：那就是形状为p(x，y)dx+q(x，y)dy的表示式，其中P与q为复值光滑函数，在重迭处满足变量变换的连锁规则，全纯微分是形状为f(z)dz的一个微分，其中f为全纯，且dz=dx+idy（在上面所用的记号中，这些微分于重迭处的变换关系成为f(z)dz=g(w)dw=g(w(z))w′(z)dz；函数f与g不再是仅仅互相之间变换，而且也由于微分所参加的一份而改变了）。
黎曼面的解析性质是全纯（和半纯）函数的性质和黎曼面所具有的微分性质。一个熟知的结果是紧致黎曼面上的唯一全纯函数是常数：那实质上就是利乌维尔定理所陈述的事实。黎曼-罗赫定理陈述得更多。在最简单的形式中，它涉及亏格为g的紧致黎曼面S和S上N个点z?，…，zn。令F为在zi处（再没有其他地方）有阶数不超过1的极点的曲面S上的半纯函数所组成的向量空间；令D为在zi处（也可能在别处）有阶数不小于1的零点的全纯微分所组成的向量空间。结论：
dimF – dimD =1+n-g
（在古典利乌维尔定理的情况，g=0，n=0，和dim D=0）这个结论的重要方面是：完全以分析术语所描述的一个量能够光用拓扑数据来计算。
甚至在它较短的生命中，阿蒂亚-辛格指标定理已有重要而有意义的影响，至少人们已用三种有启发性的不同途径证明了它。最新一种与流形上热传导方程的研究有关。
结语
概念、事例、方法和事实继续地被发现：问题得到反复地陈述，纳入新的课题中，人们更好地了解它，并且每天都在解决它。我们希望上面的10个范例至少表达了我们时代数学的部分广度、深度、成就和力量。数学是活的，本文就暂写到此。
（程其襄、张奠宙、应制夷译校）