（根据杨振宁博士1978年7月6日在上海物理学会的演讲整理）
〔提要〕现代科学有一个重要的特点：一方面是分科愈来愈细；另一方面是逐步走向综合、走向统一。物理学中的四种基本相互作用，通过规范场的观念而走向统一，这是当前物理学发展的一个引人注目的方向。本演讲简要地回顾了人类对四种相互作用的认识历史，介绍了物理上的规范场与数学上的纤维丛的关系，认为在物理学发展中要保持物理与数学的均衡关系。本文系本刊编辑部整理，未经本人审阅。
物理学是一门相当广泛的科学，可分为宏观物理学和微观物理学。所谓微观物理学，研究的是物质的最小基本构造，有两个基本的方面：一个是研究物质的最基本构造，最后是一些所谓基本粒子，到底有哪些基本粒子？另一个是，单知道有哪些基本粒子还不够，还需要知道基本粒子间彼此是怎样相互作用的，即是怎样的力量把它们联系在一起的。可以用一句简单的话来说，就是，基本粒子的性质和它们的相互作用肯定是微观物理学中两个最主要的问题。
相互作用的问题，在第二次世界大战后有了不少新发展。通过许多实验结果以及理论对实验结果的解释，从1948~49年开始，已经了解一共有四种基本的相互作用：强相互作用、电磁相互作用、弱相互作用和引力相互作用（表1）。
这四种相互作用中，电磁相互作用知道得最清楚，就是电力和磁力；强相互作用就是原子核吸引在一起的力；弱相互作用，等一下我再提到；引力相互作用是物理学中发现最早的相互作用。
表1右边的这些数字大致给出了这四种相互作用的强度的相对大小。如果认为强相互作用的大小是1的话，那么电磁相互作用只有百分之一，弱相互作用就小得多了，只有10-13，而引力相互作用是10-88。这个10-38的意思就是说，假如两个质子相距r，那么它们之间的引力相互作用与电磁相互作用大小之比就是10-36。我们知道，在日常生活中引力相互作用是非常重要的，因为人类最早了解的力就是引力。可是引力相互作用是非常之小的，这是什么道理呢？原因是引力相互作用永远是相加的，而电磁相互作用、弱相互作用和强相互作用都是既有相斥的力也有相吸的力，所以把许多物质放在一起，它们之间有排斥力也有吸引力，彼此抵消掉了。只有引力是继续不断地加上去的，所以在日常生活中，我们跟地球之间的引力是很大的。当然另外还有个道理，这四种相互作用里，电磁力和引力是所谓长程力，而弱相互作用和强相互作用是短程的相互作用。
首先，给大家介绍一下，人类是怎样逐渐了解到这四种相互作用的。第一个有所了解的是引力相互作用。这是在17世纪，牛顿把在他之前的实验天文学家所得到的实验数据拿来分析、研究，得出一个结论：假如两个质量为m1和m2的质点，距离为r，那么它们之间有相吸引的力，它的大小用表2中的公式来表示：F=-Gm1m2/r2。这个公式大家是很熟悉的，牛顿把它的意义写在他的非常重要的Principia（《原理》，即《自然哲学中的数学原理》）一书中。在这部巨著中，牛顿把这一点讲得非常清楚s通过这个公式，可以解释行星绕太阳运动的轨道。这个公式代表了人类认识了自然界中的一种相互作用——引力相互作用。
人类对于相互作用的第二个了解，始于对电磁学中的静电力的了解。这是库仑在18世纪末研究出来的，所以把它叫做库仑定律（见表2）。假如两个质点分别带电荷Q1，Q2，距离为r，那么它们之间的作用力就是Q1乘Q2被r2来除。
库仑的实验方法是很简单的（见图1），他将电荷Q1放在左边，在右边悬挂一个摆，这个摆可以绕O点在水平面内摆动。假如没有Q1的话，这个摆随便放在什么地方都是不会动的，放上了Q1，Q1和Q2之间就有静电力，若Q1和Q2有不同的符号，这个力就是吸引力；如箭头所示的那样，在此情形下就会产生摆动。Q2受到的吸引力就跟一个钟摆受到地球的引力是一样的。大家都知道这个摆的周期是与所受力的平方根成反比：
根据这个原理，通过测量周期就可以决定出这个力的大小。这样就得到一个公式（见表2）。不过，我曾经把库仑的文章拿来看了一看，发现他写出的那个公式同实验的误差达到30%以上。估计他所以写这个公式，一部分是猜出来的，猜测的道理是因为他已经知道了牛顿的公式。我所以要和大家讲这一点，是因为在所有物理和数学的最前沿的研究工作，很大一部分力量要花在猜想上。在别的方面可能也是这样，不过我不太熟悉罢了。当然这并不是说可以乱猜，猜必须建筑在过去的一些知识上面，你过去的知识愈正确愈广泛，那么猜到正确答案的可能性就愈大。
电磁力方面的第二个基本定律是高斯定律，这也是18世纪末、19世纪初的一个重要发展。高斯定律跟库仑定律是同一类的，就是把两个磁极之间的作用力写出，得到一个公式（见表2），这跟库仑的公式是非常类似的。
19世纪初，安培发现了电磁学的第三个基本定律，即安培定律。如图2所示，如果有一个电流通到纸里面去，或者通出来，那么在它的周围就有一个磁力，画出来就是一个圆圈。这个基本观念说明动的电要产生磁的力，安培定律给出了磁跟电之间关系的定量的根据。这是19世纪的重要发展。
电磁学里第四个重要的定律是物理学家法拉第的贡献，这个贡献可以说是安培定律的相反作用。法拉第用实验方法证明了动的磁也要产生电力，这跟安培定律所说：动的电可以产生磁力一样。
这四个定律是电磁学中的基本定律，到了法拉第的时候，认为对这四个定律的了解已经完成。法拉第是个没有受过很多数学教育的物理学家，他对于太多的数学采取不信任的态度。今天很多有重大贡献的科学家也采取法拉第的态度。
法拉第在物理学方面有很多设想，其中最重要的、影响最大的就是引进了场的观念。他认为两个物体的作用不应该是超距作用，而是一点对它旁边的作用力形成了场的作用，而这个场渐渐地传播过去，就把这个作用从这一点传播到另一点。这是法拉第的物理想法，当时他立刻把它应用到电场和磁场。把铁屑放在磁铁的旁边，就会排列成许多线，这些线就是法拉第所讲的磁力线。
19世纪最伟大的两个物理学家，毫无疑问的应该是法拉第和麦克斯韦。他们两个相差40岁，麦克斯韦还年轻的时候，法拉第已是一个地位非常显著的物理学家。麦克斯韦对法拉第的贡献非常佩服，所以他在20几岁就下了一个决心，要把法拉第的一些物理想法写成定量化的数学公式。他曾写过一封信给法拉第，把这一想法告诉了法拉第。文献上有一封很有意思的信，是法拉第回给麦克斯韦的信。这封信是在麦克斯韦已经把他的工作差不多完成了的时候写的，信的大意是这样：在当初听说你要把物理的想法写成数学的公式的时候，我很害怕，怕这样一来把所有的物理意义都丧失掉了。可是现在看见你所写的公式，我觉得原先的害怕是不必要的，因为我发现这些物理的想法虽然受到了数学公式的攻击，但还是完整的。这些话说明了即使法拉第看见了麦克斯韦方程式以后，还是对数学不太信任。
麦克斯韦到底做了什么事情呢？他就是把刚才所讲的电磁学里的四个定律写成了四个方程式（见表2）。第一个是库仑定律，第二个是高斯定律，第三个是安培定律，第四个是法拉第定律，其中E是电场，H是磁场。
我想如果大家对法拉第的想法有些了解的话，那么都会同情他的。因为数学的公式本身不见得有意思，必须要了解它的精神，而法拉第就是要保护这些精神。不过法拉第的想法也太偏了一些。因为麦克斯韦把这几个方程式写出来后发现了一个问题，这个问题在方程式写出之前大家都没有注意到，法拉第没有注意到，麦克斯韦也没有注意到。麦克斯韦最初写出的四个定律没有ê这一项，写出后他发现这四个公式实际上是不相容的，里面彼此要发生矛盾。如不把它写成数学的公式，单看这四个定律，那就不太容易了解它们之间是不相容的。可是写成了数学的公式，便可以运用数学中积累了好几个世纪的一些知识，作一些运算，这样麦克斯韦就发现它们的不相容。为了使它们相容，他加了一项ê，就是电场对时间的微商。加了这一项，就变成相容的了，而且又不违反原来法拉第的定律和安培的定律。这是物理学史上一个非常重要的发展。
我特别强调这一点，是为了说明，虽然用太多的数学式子当然是危险的，不过不能因为这样，而认为数学的公式没有用处，走向另一个极端。如果数学公式运用得当的话，那是非常有用的。麦克斯韦把ê加上去以后，他就发现这组公式要产生电磁波。他从这组公式里算出了电磁波的速度，发现跟那时已经知道的光波的速度是一样的，所以他就肯定：光就是电磁波。这是1860年的一个重大贡献，这一发现把物理学中关于电、磁、光之间的关系整个的改观了。如果你想到今天对电子学的了解，对光学的了解，想到今天的通信工程，今天的无线电工程，今天的电视，就可知道这一发展在技术上是多么重大的一次革命。这个发展的由来：一个是法拉第的物理观念——场；另一个是麦克斯韦把它变成数学公式。这两件事是缺一不可的。在表2中，列出了物理的观念和数学的表示，两者之间要保持正确的联系、正确的平衡，在这样情况下才会有重要的进展。
电磁学发展到写出麦克斯韦方程式，可以说暂时告一段落。后面我们还要回过来谈这一点，因为近年来对电磁学有了一些更新的认识。
现在再来讲另一个相互作用——弱相互作用。弱相互作用有很多种，最早是在1898年前后，由法国人贝克勒尔、居里夫妇三人所发现的，即现在所谓的β射线。此后，大家对放射性做了许多工作，在1930到1932年间泡利提出了中微子解释。这是因为在20世纪头30年对β衰变做了很多试验以后，发现其中能量似乎不守恒。玻尔是一个极力主张在β衰变中能量不守恒的物理学家。泡利觉得这个想法不见得正确，他认为能量还是守恒的，我们见到的似乎不守恒的现象，是因为有一个到现在还没有被发现的粒子，把剩余的能量给带走了。这个粒子后来大家叫做中微子，现在已经被正式证实存在了。同时在1932年前后，费米提出了β衰变的基本理论，叫做费米理论。在30年代到第二次世界大战之间，通过费米理论对β衰变做了很多的研究工作，费米理论多次被证明与实验密切相符合。1946年前后，又发现了很多新的基本粒子，这些粒子有种种不同的衰变，这些衰变都是弱相互作用，因为它们的强度都差不多。1946年前只知道一种弱相互作用，就是β衰变，从1946年开始发现了多种弱相互作用。1949年通过一些理论上的考虑，发现这多种弱相互作用都有一个共同的相互作用强度。1949到1967年之间做了不少理论和实验工作。1967年美国年轻的物理学家温伯格和巴基斯坦物理学家萨拉姆提出了一个温伯格- 萨拉姆理论，对弱相互作用和电磁相互作用之间的关系有了一个新的说法。
近来在温伯格- 萨拉姆理论方面做工作的人很多，但这种理论是否真的可以描述弱相互作用，还没有完全成定论。我个人的看法是他们的理论，毫无疑问是在向一个正确的方向前进。当然，不见得已经到达最后的阶段。总的说来，今天知道的弱相互作用的知识很多，但还不能写成像牛顿引力定律F=-Gm1m2/r2那样一个大家都同意的正确的公式。
强相互作用虽然是最强的力量，但却是物理学家最后才了解的。这并不稀奇，因为太强的力量有个倾向，要把东西聚在一起，聚在最小的范围之内，就是在核内。小到这个程度，一时就不容易找到。这样，最强的力量反而倒是物理学家最后了解的。1913年发现了原子核后，才了解到有强相互作用。我们知道，1913年卢瑟福通过实验指出原子是由原子核和电子组成，原子核是非常小的，里头的力量应是很大的。强相互作用是从那时开始了解的。之后，又通过卢瑟福自己的实验跟别的许多实验，知道了原子核可以互相转变，这就使强相互作用有了一些重要的实验研究。其中一个关键性的发展是1935年日本汤川秀树的贡献，他提出了一个理论，解释为什么原子核内部有这样强的力量。
第二次世界大战到今天，又做了很多强相互作用方面的实验和理论研究工作。现在很多地方造了很大的加速器，目的就是将原子核碰撞，用很强的力量把它打开，看看里面是些什么东西，有些什么力量。对强相互作用，今天所了解的程度还没有达到对弱相互作用的了解的圆满程度。总的说来，弱相互作用和强相互作用都还是不完全清楚的相互作用。
1916年，关于引力场有了一个新的革命性的理论。这个理论是由爱因斯坦引进的，它的贡献不单是对引力场有了新的见解，而且对于整个物理学中相互作用的概念有了革命性的新想法，爱因斯坦把引力和几何概念联系在一起，这个联系是通过非欧几何实现的。毫无疑问，这个想法是20世纪物理学发展到极端的微观领域Lx后，所日益发展的一种趋向。这种趋向，不管你喜欢也好；不喜欢也好，是一个历史事实，而且在数学上有惊人的成功。这是大家必须正视的一件事情。
最主要的有三个发展方向（见表3）。第一就是刚才讲的，爱因斯坦把非欧几何引用到引力场，把牛顿对引力场的观念加以深化，也变得更正确了。有实验数据证明这个修改是必要的。
9年以后，即1925年，量子力学出现了，这时又要引用另一个新的数学观念。在那以前没有一个数学家，也没有一个物理学家会想到这个数学观念会引用到物理中来。这个数学观念就是希尔伯特空间。希尔伯特空间引用到量子力学的经过也是很有意思的。写下量子力学公式的是海森堡，他的数学修养不高，当时写出式子来时，他不但没有听说过希尔伯特空间，就连远远没有希尔伯特空间奥妙的数学概念——矩阵也没有听说过。这又是一个证明：一些基本的物理观念是物理学发展中非常重要的部分。不过在他的方向上继续发展下去是很难的，所以量子力学没有能马上大大发展。后来一些别的物理学家搞清了海森堡所讲的事情可以用希尔伯特空间来描述，量子力学才大大地发扬光大起来。所以说物理和数学这两方面是缺一不可的。
我特别要跟大家提到的是，在70年代百分之九十九的物理学家都相信，另有一个数学观念要引用到物理中来描述所有的相互作用。这个数学观念叫做纤维丛，物理观念叫做规范场。这一点在后面还要谈。
上面所讲的数学观念：非欧几何、希尔伯特空间和纤维丛，其中有两个是基本的几何观念。几何的观念适用于物理，可以说是相当自然的，这在历史上已经有很多人讨论过。牛顿在三百年前就说过：“几何的辉煌之处就在于只用很少的公理而能得到如此之多的结果。”20世纪初，德国的大数学家希尔伯特说：“19世纪最有启发性、最重要的数学成就是非欧几何的发现。”他为什么这样说呢？非欧几何的发现把人们从欧几里得几何的框框里解放了出来。凡是把过去的一个框框打破，而又有了一个新的完整的想法，这通常是非常重要的。希尔伯特特别强调了这一点。爱因斯坦对几何和物理的关系有这样一个说法：“黎曼首先把高斯的想法推广到任意多维的连续空间，又预见性地看出了推广欧几里得几何的物理意义。随之而来的是这一理论以张量运算的形式发展，这主要是由里契和勒维 - 契维塔作出的。”我们大家都知道，这些发展就是爱因斯坦用以建立广义相对论的基础。虽然许多人讨论了为什么几何的想法可以在物理原理中运用，但非常有意思的是却没有一个大家都同意的结论。
下面介绍一下，从物理观点讲规范场是什么，从数学观点讲纤维丛又是什么。规范场一开始是直接受了爱因斯坦的引力场理论的影响。1916年爱因斯坦提出了广义相对论，以后大家了解到几何的想法确实是描述引力作用的一个正确方法。那时对电磁场已经很了解，所以当时就存在一个爱因斯坦特别强调的非常重要的问题：不能把电磁场包括到这个几何想法中去是一个很大的缺点。1916年以后很多数学家和物理学家都致力于把引力场和电磁场联系起来，给出一个统一理论。爱因斯坦在这方面也做了很多工作。1920年魏耳想出一个办法，希望通过它把电磁场跟引力场联在一起。他的基本想法是把电磁场与局部度规不变概念联系起来。度规就是用一根尺来量物体的大小。由这个想法，他理论中的电磁场叫做度规场，或者叫规范场。
魏耳所讲的是度规变换，而实际上由表4可看出是相位因子变换。从这个观点来讲，魏耳并不全错，只是把度规变换改成相位因子变换就完了。了解了这一点，我们就知道电磁场不是魏耳所说的度规场或规范场，而应叫做相位因子场。今天大家叫规范场，这个名称有错误，应叫相位因子场。因为大家已经沿用了这个名字，所以也就叫规范场了。
大家仔细想想，相位因子这个概念不但在近代物理学中有极为重要的意义，而且在工业技术上也有极为重要的意义。任何有波动的现象就有相位，电磁学中有波动，所以它有相位。今天，我们知道激光是非常重要的新技术，激光所应用的基本概念就是相位，全息照相最基本的概念也是相位。大家知道，约瑟夫逊效应在今后20年内要大量引进到计算机元件中去，约瑟夫逊效应中最基本的概念也就是相位。所以，很多新的技术都直接或间接跟量子力学中的相位因子发生关系。
知道电磁场是一个相位因子场以后，就会知道规范场可以怎样推广。这个推广是在1954年开始的。当初推广的办法，不是用这个观念引进的，那时的想法是下面这两种想法。而今天我来描述的时候，可以说这三种想法都会得出同一个相位因子场即规范场（见表5）。
第一就是把相位因子的概念扩充一下。相位因子是什么意思呢？就是说这个因子是单位圆上的一点；在复数中，单位圆上的任意两点乘起来就在圆上运动，大家知道这就形成了一个群。所以很自然地想到，一个普遍的相位因子，就是另外一个群。单位圆是最简单的一个群。而假如有一个比较复杂的群，那就有一个比较复杂的相位因子，就可以得到一个比较复杂的相位因子场，这就是普遍的规范场。这个普遍的相位因子就是李群里面的一个元素，在这里援用了19世纪一个基本的数学观念，李群的概念。用了这个概念，通过跟电磁学的发展一样的理论上的发展，就可以推出普遍的规范场。这样做是没有任何灵活性的，只要你一有这样的想法以后，下面的事情就一步一步地做下去，不能够任意改变。所以虽然是一个很简单的想法，却把以后所有的东西都决定了。非欧几何也是一样，只要把观念引了进来，以后的发展就都是必然的了。
第二个想法也是从电磁场来的。把电磁场的一个特别的概念扩广。这个概念就是电荷守恒。守恒的电荷自己要产生一个电磁场，这是通过p减去(e/c)A这个数学概念产生的。这是在麦克斯韦方程建立后，在19世纪末和20世纪初大家做了很多工作之后才有所了解的。在1954年产生了一个很自然的问题，因为那时发现除了守恒的电荷以外，还有别的守恒量，譬如说同位旋也是守恒的。那么，守恒的同位旋是否也要产生一个场呢？用同样的办法，即P减去(e/c)A的方法来产生。这个问题一当提出，就像上面第一个想法一样，也是不能任意改变的，必然会引出一系列的理论想法，最后得到的也是推广的规范场。
1954年还有第三个想法，这个想法也导出了规范场。它的着重点不是守恒的电荷这个概念，而是如下的想法。当时已知同位旋守恒，同位旋守恒的物理意义是说质子和中子基本上是对称的，如果有一点不对称，那就是质子带电荷。可是电荷的力是很小的，在原子核中可以把它忽略掉。假如把质子的电荷完全取消的话，质子和中子就是不可区分的，两者是全同的。现在就来讨论这种假想的情形。在此情形下是不是还是知道有两个不同的质子或两个不同的核子呢？回答是肯定的。什么缘故呢？因为譬如说He4核内有一个质子自旋向上，一个质子自旋向下，一个中子自旋向上，一个中子自旋向下。这是在最低的S轨道上。如果把质子的电荷取消，你发现还是有四个，而又得服从泡利不相容原理。因此，必须有两种不同的核子，才可以有两个不同的自旋向上，两个不同的自旋向下的状态。所以虽然把电荷取消掉，并不是就不知道有两种质子、两种核子。但有个问题，那就是你不知道哪个是这一种，哪个是另一种，哪个叫质子，哪个叫中子，因为它们是完全相同的。既然都没有电荷，又没有方法来分辨它们，这是说有了一个自由度，可以随便选择，你可以叫这个是质子，另一个是中子，倒过来也可以，甚至把它们作为一个线性组合也可以。根据量子力学的线性迭加原理，可以把两个加起来叫做质子，两个相减叫做中子，所以有个很大的自由度。假如我现在决定了叫某一个为质子，叫另一个与它正交的为中子，那就有个问题：我这样选定了，那另外一个人，例如做实验的人是不是还有自由度？还有没有选择余地？当然有两种观点，一是认为我这样选择了，他就得这样做。另一种观点认为我有自由度，他也有自由度，第三个人也有自由度。时空中的每一点都有一个独立的自由度，这第三种观点叫做局部不变性。
局部不变性是与电磁场的基本观念相吻合的，在1954年就提了出来。对于同位旋守恒这个问题，也认为我的自由度与另外一个实验工作者的自由度是不相关的，都可以同时自由地来选择。这个想法一经引入，也是没有其他的可能，就得到了规范场的观念。这里所讲的第一个方法、第二个方法和第三个方法都引进了同一个规范场的观念。这并不奇怪，这三个方法彼此都包含着很深的物理思想在里面：一个守恒量是跟一个相位因子不变性密切相关的。因这三个方法基本上是一样的，所以在表5中我用虚线把它表示出来。在这三个方法中随便你着重某一个，最后得出的结果都是一样的，都得到普遍规范场的观念。
为了看出普遍规范场跟电磁场之间的非常密切的关系，我不加说明地来把麦克斯韦的四个方程式改写一下。电磁场可以写成fμv，fμv代表了电场E和磁场H，那么可写成
近七、八年来，在物理方面对普遍规范场讨论得非常之多。最初跟大家讨论的，在基本粒子之间有四种相互作用：强相互作用、电磁相互作用、弱相互作用和引力相互作用。其中电磁相互作用是一个规范场，就是因为电磁场的构造，才最早引入了规范场。引力根据爱因斯坦的理论是非欧几何的理论，这个理论，毫无疑问是一个规范场，不过是怎么样的一个规范场，现在还没有完全解决，里面还有一些复杂的物理的和数学的问题，还有待于大家的努力。我想这个问题在5年或10年后是应该可以解决的。强相互作用和弱相互作用是不是规范场，是最近七、八年来最热衷讨论的物理问题。弱相互作用刚才我说过了，通过温伯格 - 萨拉姆的想法也要把它变成一个规范场，不过这还没有成为最后的定论。强相互作用现在大家也都相信是规范场。总而言之，所有物理里的基本相互作用都是规范场，这是很多人的想法，不过这还是很不成熟的想法。是否有一个总的规范场，能够同时产生出所有的规范场，这当然是一个雄心勃勃的计划，恐怕一时还不见得能完全解决。
现在接下来给大家引进纤维丛的概念。纤维丛是一个数学上的概念。这里最令人（包括我自己在内）惊奇的是：规范场这一概念是完全从物理上导出的，每一步都是从物理观念出发推演出来的；而纤维丛的概念是数学家与物理学家完全没有关系，独立地发展出来的。这两者竟会如此_切地联系起来，这是当初所没有想到的。
什么是纤维丛的概念？正确的讲法应是：普遍的规范场等同于纤维丛上的连络。不过纤维丛上的连络跟纤维丛概念之间的关系，在这里不准备仔细讨论。给物理工作者介绍纤维丛概念的一个最简单办法是通过磁单极的概念。磁单极在物理上当然是很容易想象的，因为高斯定律跟库仑定律是多么相似。所以，在18世纪，有人想到电的单极的时候就联想到磁的单极。到19世纪，通过安培定律和法拉第定律，知道电和磁是密切相关的。最后了解到一块磁铁有南北极，并不是真有一个磁单极在那里，而是因为在磁铁内有电子在运动。从那时开始，物理学家一致认为世界上没有磁单极。
到了1931年磁单极又被狄拉克重新引入物理学。他有一个非常巧妙的想法。他觉得如果世界有一个磁单极，当然磁单极是很少的，但只要有一个的话，就可以解释为什么世界上所有的电荷都是量子化的。就是说，电的单位要么是e，要么是2e，要么是3e，4e……，没有一个在e和2e或2e和3e之间的电荷。他的这个想法很简单。我在这里介绍的方法跟狄拉克当时想的方法不一样，因为我们要通过它来引进纤维丛的概念。而这个想法事实上比狄拉克当时的想法反而来得更简单。如果存在磁单极，要研究它附近的电的作用，例如电子的运动，就必须写出磁单极的量子力学的运动方程，即薛定谔方程·
1/2m(p-eA)2ψ=Eψ
这个p-eA就是前面提到多次的，只是取c=1的单位。因此很重要的一点，就是有了磁单极，要想了解它周围电子的运动，就必须先了解这个A是什么？A就是它的电磁势。A的定义是A的旋度等于磁场（强度），这个磁场（强度）当然是知道的，就是gR/r2。所以现在第一步要把这方程解出来，然后可以根据这个方程研究电子在磁极附近的运动。狄拉克做了一下，发现A不可能在每个地方都没有奇点，A要有一系列的奇点，这一系列的奇点是一连串的，所以那时叫奇点线。这是狄拉克在1931年引进来的概念。如果我们对这个概念分析一下，就会接近于纤维丛的概念。
现在先来证明为什么必定有奇点线。证明是很简单的。如表6所示，在磁单极g旁边画一个球。如果能找一个A，这个A是没有奇点的，那随便画一个纬度，把上面的一块叫做α帽子，下面的一块叫β帽子。在α帽子上，A没有奇点，所以可以用斯托克斯定律算出磁通量Ωα；同样在β帽子上也没有奇点，也可以用斯托克斯定律算出磁通量Ωβ。把两式相减，当然左边等于零。右边就是α的磁通量减去β的磁通量。β的磁通量是向上的，负的β的磁通量是向下的，所以两个一减就是整个向外的磁通量，这刚好等于4πg，不等于零。所以我们得到了零等于一个不为零的东西。这是不可能的，这就证明刚才的假设是不对的。换句话说，A必须有个奇点。Aμ在这两个帽子加起来的球面上必须有个奇点，而球的大小可以随便取，每个球面上都有一个奇点，所以点加起来就有一条奇点线（见图3）。关于这个问题的分析，吴大峻和杨振宁在《物理评论》D16，1018（1977）上有一个讨论。
可是，磁单极附近是没有奇点的，因为磁单极附近是球对称的，所有方向都一样。所以，这个奇点是人为的，也可以说是庸人自扰。事实上，这问题是大家在中学念书时就很了解的。如图4所示，假如这个球面是地球的表面，要在地球面上取一个坐标系，譬如说经度和纬度。经度和纬度是个很好的坐标系统，只是有个缺点，就是它有奇点，因为北极和南极在此坐标系中显得非常特别。有一个拓扑学的定理，就是在球面上不可能有一个二维的坐标系统，其中每一点都不是奇点。不必一定取经度和纬度，可以随便取，但至少有一个奇点。地球表面是没有奇点的，所以刚才所讲的北极和南极，也是人为的奇点。那么怎么解决这个问题呢？数学家对此已经了解得很清楚了，问题不在于地球有没有奇点。地球上是没有奇点的。问题出在你只要一个坐标系。如果只要一个坐标系，那就要出奇点；如果你有两个坐标系，就不一定出奇点。譬如说，如图4所示，你把上面的橡皮膜画上坐标，把它拉开，覆盖在上半球，比上半球还大一些。另外拿一个薄膜也画上坐标，拉开覆盖在下半球上，这样就有个双坐标系。在北半球有个很好的坐标系，在南半球也有个很好的坐标系，在赤道附近有两个坐标系。一点有两个坐标系，并不是一个困难的问题，只要这两个坐标系之间的变换是很清楚的。这样就把奇点问题解决掉了。那么，怎么解决磁单极问题呢？这可如法炮制，我们不要找一组电磁势而是找两组电磁势。k找一组就必然出现奇点线。这两组电磁势，如何找呢？必须分成两块，如图5所示，分成两个圆锥，一个向上，一个向下。向上的圆锥的上部区域用实线表示，叫做a区域，向下的圆锥的下部区域用虚线表示，叫做b区域。在a区域中取矢势Aa，在b区域中取矢势Ab。矢势在a区域中没有奇点，如果延伸到b区域就要出现奇点。既然有两个势，在中间赤道附近就要重迭。两个区域中的矢势（Φ分量）分别为
这组方程式就是规范原理，最早写这个规范的就是魏耳。这里的a就是刚才的a，所以指数上就是i2egΦ，Φ是方位角。这里得到一个基本观念，写在方框里面，就是围绕在一个电子周围，波函数不能写成一个，只写一个就要出奇点。要当成两个波函数，一个在下面的b区域，一个在上面的a区域，而在重迭的区域内是通过一个相位因子把它们连在一起的，就是这个S。两个不同的波函数在重迭区域用一个相位因子把它联系起来，这个观念就是纤维丛的观念，数学家叫它截面。如果我绕赤道走一圈的话，由于赤道完全在a里面（也完全在b里面），波函数又回到原来的值，即S绕一圈也要回到原来的值。S=ei2egΦ，绕一圈方位角要增加2π，即Φ增加2π就必须回到原来的值，这个充分条件是2eg=整数（见表7），这就是狄拉克当时的一个基本公式。由此公式可知e必须是1/2g的整数倍，这样就得到狄拉克的基本想法：假如有一个磁单极，则所有电荷都是一个最小电荷的金数倍。这个想法再发展下去，就可以建立一个不是波函数的希尔伯特空间，而是一个波截面的希尔伯特空间。只要引进这观念之后，就可以把以前波函数的概念推广到波截面的观念，这个推广现在文献上已经有了，在此不再讨论了。
再讨论一下这与纤维丛有什么关系，以及什么叫平凡的纤维丛，什么叫做不平凡的纤维丛。图6a是个圆筒子，这叫做平凡的纤维丛。图6b是缪毕乌斯（Mobius）带，是一个不平凡的纤维丛，数学家叫做最简单的不平凡纤维丛。缪毕乌斯带子就是把一条带子的两端一正一反连接起来，而成的带子。图6a中的这个圆柱体可以把很多直的棍子绕成一束，所以叫做纤维丛。因为它是好好地连起来的，所以叫平凡纤维丛。不平凡的纤维丛也是把很多直的棍子捆起来，不过在后边是把它扭了一下再连接起来，这就叫不平凡的纤维丛。平凡的纤维丛和不平凡的纤维丛的差别是什么呢？如果沿虚线切开，两个带子就都割成两个纸片，这个带子的两个纸片跟那个带子的两个纸片是分不清的。所以平凡的纤维丛和不平凡的纤维丛的差别不在这里。那么，在什么地方呢？是在它们接触的地方。换句话说，一个纤维丛最基本的性质，不在它的某些部分，而是在它的连接方式上。如果接起来好好的并不奇怪，就叫做平凡的纤维丛。如果接起来的时候要把它扭一下，就成了不平凡的纤维丛。
那么纤维丛跟磁单极有什么关系呢？这关系是很清楚的。在通常波函数的情况里，譬如说氢原子里的波函数，这是个普通的波函数。如果把它看成是上面一个和下面一个波函数接起来的话，那在接触的地方，它的ψa和ψb是一样的：ψa=ψb。可是如有磁单极的话，那这个磁单极不仅是个波函数，而且是波截面，所以在接榫的地方不是ψa=ψb，而是ψa=Sψb，S与磁单极的强度有关，S不能是1。所以，这两种情况是不一样的。通过这样的想法，就可以知道为什么从数学的观点讲起来，磁单极的问题和电磁场的问题都是纤维丛。在没有磁单极时，是个平凡的纤维丛，因为它的接触是1。有磁单极时，因为它的接榫S不等于1，所以是不平凡的纤维丛。不平凡的纤维丛这两年在物理学中有很重要的发展，因为大家引进了广义规范场以后，就发现虽然普通的电磁学是一个平凡的纤维丛，而在一个比较广义的，比较广泛的规范场里不可避免要产生不平凡的纤维丛。最近这两年，有个新名词叫做瞬时子，瞬时子在西方研究得很多。最近两年中国在上海的复旦大学、在北京、在合肥也都有好多人在研究。它的前途如何，因有许多奥妙还未研究出来，所以现在无法预测。
总的说起来，规范场的观念是从电磁学来的。而电磁学是由四个主要实验总结出来的、是通过实验，得出四个定律。这四个定律由麦克斯韦把它数学化。把这个数学化的观念再去想一下，就发现它是个相位因子的想法。通过相位因子的想法，最后得到了普遍的规范场的想法。这些想法每一步，都是因为想把物理现象用数学语言描述出来这个基本要求促使我们这样做的。数学家研究纤维丛已经有四十年了，他们想法的起源与实际的物理现象是一点关系也没有的。但目前绝大多数物理学家都认为规范场和纤维丛的观念引入到物理中来是一个大家都已接受的事实。关于这一点，我常常觉得这是很可以使我们反省或使我惊讶的一件事情。