本文系作者今年在美国举行的爱因斯坦诞生百年纪念第二次M · 格罗斯曼（Grossmann）大会上的讲稿。经作者最近整理定稿后寄来。现译出发表。
引言
本世纪之初曾经发生三次概念上革命，深远地改变了人们对物理世界的理解：
狭义相对论（1905），
广义相对论（1915），
量子力学（1925）。
爱因斯坦个人独力承担了前两次革命，并且影响了并帮助第三次革命的形成。可是，今天下午我并不是来讨论他在这些概念革命上所做的工作。对于它们，已经有了很多著作。倒是，我所讨论爱因斯坦对于理论物理学结构的一些卓见及其对本世纪下半世纪物理学发展的关系。我将分作四点来说，当然它们是互相关联的。
一、对称性支配着相互作用
基本物理学发现的第一个重要对称原理是劳伦兹不变性，它是麦克斯韦方程的一个数学特性，而这组方程又是根据电磁学的实验定律。在这个过程中不变性，或对称性，只是一个第二发现。爱因斯坦在他的自传中归功于敏可夫斯基（Minkowski）把这个程序倒转过来。敏可夫斯基从劳伦兹不变性开始而要求场方程要与不变性协变（表Ⅰ）。
爱因斯坦深深感到了对称原理导致的强有力的物理成果并且力图扩大劳伦兹不变性。这一工作和等效原理一起，引出广义相对论。我们或者可以说爱因斯坦开辟了“对称性支配着相互作用”的原理。这一原理在近年来提出的各种场论上起着重要作用（表Ⅱ）。
二、场论和统一
在1920年以后爱因斯坦在他的论文里和讲演里反复强调场的概念对基本物理学的重要意义。例如在1936年发表在富兰克林学会学报的一篇论文里他写道：
从这种不能令人满意情况下解脱出来的法拉第和麦克斯韦电场理论，表现为自牛顿时期以来物理学奠基石的最深远的变革。
在那个时期的前后已知的两个场的理论就是麦克斯韦理论和爱因斯坦的广义相对论。爱因斯坦把他生命最后二十年放在统一这两个理论的奋斗上。为什么必须这样做他在1934年发表的一篇叫做“物理学中空间、以太和场的问题”中作了说明：
空间存在着两个相互独立的结构，度规-引力的和电磁的我们逐渐相信这两种场必将对应于一个统一的空间结构。
在“相对论的意义”最后一版中爱因斯坦加进了一个附录，在里面他提出一个统一理论，带有一个非对称张量gμv。其反对称部分就是电磁场张量Fμv。这个努力没有特别成功。而在有些时候有些人就有这种印象，认为统一的理想是爱因斯坦在他的老年中的一种痼见。是的，这是一种痼见，但是这种痼见是理论物理应该有什么样的基本结构的一个卓见。并且我要说这个卓见正是今天物理学的一个主题。
不管怎样，爱因斯坦对统一的强调立即产生了后果。它促使许多著名数学家，包括列维齐维他、加当和韦尔，去深入寻求对空间-时间的数学结构可能的增益。
韦尔曾作了努力想把电磁和引力合并起来。他的理想引向所谓“规范理论”。[关于规范理论历史的一个简短叙述，参看杨振宁“New Yorkacademyofsciences”294（1977）86]。这一发展要回溯到1918和1919。既然坐标不变性的正确处理产生了引力理论，韦尔想到一个新的几何不变性可能联系起电磁理论。他的提议是尺度不变性。
现在韦尔看出两点。第一Sμ和电磁势Aμ有同样数目的分量。第二，进一步发展，他证明在尺度变更下要求理论不变时，只是Sμ的旋度出现而不是Sμ本身。这也是Aμ的一个特性。因而他把Sμ和SA等同起来。但是这个想法搞不下去。好几个人讨论了这个问题，也包括爱因斯坦。他表示韦尔的理论不可能描绘电磁，因而韦尔放弃了这一工作。
不久，1925年来到了并且量子力学发明出来了，完全与上面这一发展无关。
我们都知道在经典力学里在电磁存在时，不是动量p单独出现，而永远是组合：
韦尔自己最初把他的理想叫做“Masstab Invarianz”，但是后来变为Eich-Invariance。在二十年代之初在译成英文时才叫做规范不变性。倘若我们今天来重新命名，显然我们会叫它相位不变性，而规范场将被叫作相位场。
—当人们理解规范不变性是相位不变性时，就可以知道关键思想是一个不可积的相位因子。把复数的简单相位换为一个更复杂的相位，即是一个李群的元素，就引向非阿贝尔规范理论，这是1954年首次讨论过的（即是杨振宁 - 米尔斯1954理论——译者注）
1967年温伯格和萨拉姆各自独立地提出一个模型，把电磁和弱相互作用统一起来的理论。这个模型根据两个关键概念：非阿贝尔规范场和对称破缺。最近六年来这个模型得到许多实验的惊人支持。这一成功又引起众多的努力来寻求强，电磁和弱相互作用三者更大的统一。我恐怕我们距离一个成功的更大的统一还有不少路程，而这些相互作用和引力的整体统一就更远了。但是毫无怀疑，爱因斯坦对统一的重要性的坚持是一个深远的卓见，他勇敢地抵抗了所有公开的和不公开的批评。
三、物理学的几何化
对于理论物理学的基础问题，爱因斯坦意识上经常暴露的另一个苗头就是他对几何概念的偏爱。这是不足为奇的，因为是他自己创造出这个深远的概念：前有引力和力学都应该用黎曼几何的语言来描述的。他认为电磁也是几何性的，这从前面所引的他在1934论文里的一段话是很明显的。他说电磁也是空间的一个“结构”。假如我们承认爱因斯坦偏爱几何概念，那么我们可以进一步说他喜欢波动力学，因为它是较几何性的；而不喜欢矩阵力学，因为它是较代数性的。
爱因斯坦尽力去寻求可以产生电磁的几何结构。他察觉到劳伦兹不变性是不够产生麦克斯韦方程的：
麦克斯韦方程隐函“劳伦兹群”，但是，劳伦兹群并不隐函麦克斯韦方程。（《关于万有引力的普遍理论》见《科学美国人》，1950）。
比如，标量场比麦克斯韦电磁场是更简单些，并且是和劳伦兹不变性相容的，但是它不是电磁理论的根据。
爱因斯坦也深深感到所寻求的几何结构必须能够给出非线性方程：
正确的定律不能是线性的也不可能从线性关系式中推导出它们来（自传）
现在知道爱因斯坦所寻求的结构正是规范场：它是一种几何结构，如我所将指出的；最简单的阿贝尔规范场就是麦克斯韦电磁场；而非阿贝尔规范场必然是非线性的。
前面我们曾经提到规范场的早期历史。规范场深深关联着纤维丛上的联络的几何概念，直到最近几年才为物理学家们所注意。
为了说明规范场的几何性质，让我们把高斯和法拉第电磁定律写成如下的著名型式：
规范场又和建筑在几何概念上的广义相对论有内在的联系。但是精确的关系式是玄妙的，还是正在探索中。
四、关于理论物理的方法
1933年爱因斯坦在他的H · 斯宾塞讲演的题目就是我用作本节的标题。他分析了理论物理的意义和它的发展。下面我从这个讲演中摘出几段惊人的引文：
……理论物理的公理根据不可能从经验中抽出来而是必须自由创造出来的。
经验或者可以启示恰当的数学概念，但它们是断然不可能从经验里导出来。
但是创造性原理存在于数学之中。所以，在某种意义上，我深信纯粹思想可以掌极现实，正如古人所梦想的。
爱因斯坦是说基本理论物理是数学的一部分吗？是他在说基本理论物理应该具有数学的传统和基调吗？
对于这些问题的回答是个“非”字。爱因斯坦是一个物理学家而不是一个数学家。况且，他也自认是一个物理学家而不是一个数学家。在他的自传里，他用非常深透的方式说出理由：
……这显然是由于这个事实，在数学领域里我的直觉是不够强大到足以清楚地去区别基本上重要的——即是那些是真正的奠基石——与其余多少可以暂置一旁的学问。此外，我对大自然知识的兴趣是无条件的更为强烈，并且在我还是一个学生的时候我并不知道对于物理基本原理更深奥知识的探讨，是和最难懂的数学方法系在一起的。只是在我多年从事独立科学工作后才逐渐明白起来。真的，物理学也可分为分支，每一个都足以吞没一个人短暂一生的工作而还不能满足他对更深知识的渴欲。在这里连贯不够的实验数据资料也是吓人的多。然而，在这个领域里我不久就学会去嗅出那些是能够引向基本的，而从其余的一切解脱出来，从那些凝聚在心头的并足以分散对主要东西的注意力的五花八门中解脱出来……
但是，从他自己的经验以及本世纪初期物理学的伟大革命中，他认清了虽则物理学曾是并将继续是托根在实验定律上，但数学的“美”和简明性正一步一步地在基本物理学的概念形成中发挥作用。他比较了“接近于经验”的理论和较数学性的理论：
另一方面，要退一步说，一个理论假如它的基本概念和基础假设是“接近于经验”的是有其优点的，而给予这类理论以较大的信心是正当的。在这里完全走向错路的危险性是较小的，特别是因为从经验上用较少的时间和精力就可以驳斥掉。然而，当我们的知识深度增加时，我们就必须逐渐放弃这个优点以求得物理理论基础的逻辑上简单性和一致性……（《科学美国人》，1950）。
为了消除他的物理学家同事们的误解，他解释道：
理论科学家在日益增加的程度上被迫为纯粹数学的、形式的考虑所引导。……做这类工作的理论家不应该被讥讽为“空想”；相反，他应该被给以权利在他的幻想上自由驰骋，因为没有别的方法可以达到目的地。（《物理学中的空间、以太和场的问题》1934）。
基本理论物理和数学之间的关系是一个足以迷人的命题。在这一点上我或者被允许告诉你们一个小故事。
在1975年发觉规范场就是纤维丛上的联络这一事实，我驱车到伯克莱附近陈省身教授家里去（我在中国昆明西南联大当学生的时候他是一个青年教授，我听过他的课。那是纤维丛在微分几何中变为重要之前，也是在陈先生对高斯- 邦尼特定理的广义化和第一陈 - 类的贡献而创造了历史之前）。我们有好多要谈的：朋友们，亲戚们，中国。当我们话头转向纤维丛时，我告诉他我终于从J · 萨猛斯学到了纤维丛理论的美妙以及含义深远的陈省身 - 韦尔定理。我说我惊奇地发觉规范场就恰恰是纤维丛上的联络，而数学家在没有涉及到物理世界就能发展了它。我还说：“这既是惊人的又是迷人的，因为你们数学家能无中生有的幻想出这些概念来”，他立刻抗议道，“不然，不然，这些概念并不是幻想出来的。它们是自然的又是真实的”。
虽则数学与物理学之间的关系是深的，但是要认为这两个学科是相互重复那么深就又错了。它们并不重复。它们有它们各自的目标和味觉。它们有显然不同的价值判断，并且它们有不同的传统。在基本概念的水平上它们意外地分享某些概念，但就是在这里，每个学科的生命力是沿着各自的血管流动着。
Ref. TH. 2710-CERN，1979年7月25日