在最近二十年里，经济分析已变成以数学分析为主了。特别在美国是这样，在美国，博士学位候选人现在已经用各种数学课程来代替至少某一些传统的外语必修课程。经济问题，包括政府与企业作出的最优决策或经济的稳定增长，与早已成功地用数学处理的物理、工程问题有类似之处。但是经济学的发展之快，已超出模仿物理科学应用数学那种办法的阶段。作者提出，在即将到来的时代，经济学可能引起它本身的数学分支，或者为数学上的巨大新发现提供灵感。

经济学是一门数学学科。这句话看来会使传统的政治经济学家感到奇怪，但是在经济学的两百年历史的早期（Cournot，1838），经济学中就已引进了数学方法，而且其重要性稳定地增长。目前，实质上是从第二次世界大战结束以来，数学在美国经济学中已成为主要手段。数学方法原来是在欧洲和英国产生的，但是却在美国开了花，同时受到欧洲移民的不少激励。数学方法在世界正在稳定地愈来愈受到喜爱，尤其是因为在发展着的经济中的年轻一代是接受这些新方法的，又因为社会主义国家已经抛弃了先前反对在经济学中使用数学方法的偏见。显然，在经济学的未来的发展中将看到数学的持续不断的、越来越多的使用，当然，假定经济分析的未来进程会像近二十年那样以数学分析为主是轻率的。

经济问题

人们偏爱的一个经济学定义（Lionel Robbins，1932）是“……研究目的同具有可选择的各种用途的稀缺手段之间关系的人类行为科学”。不管我们是否接受这个包括所有经济学在内的定义，它总是我们讨论数学的作用的一个良好出发点。我想把这个定义搞明确些，只要注意到经济学试图在稀缺资源的各种可供选择的用途之中以这样一种方式作出选择，从而能最有效地（或浪费最少地）利用资源来达到规定的目的。按照这样的解释，我们就清楚地看到经济学包括最优化，而且最优化是产生经济分析原理的动力。我们面临的问题或是个最大值问题，或是个最小值问题，这就是使人非膺服不可的使用数学的理由。一个抽象的经济被看作由许多消费和生产单位组成，在给出了市场价格后，这些单位作出关于本身经济行为的最优决策，然后互相作用，满足市场上的供求以确定价格。

经济理论通常是从分析受到收入限制而试图使自己获得最大程度满足（或者试图获得一定水平的满足而使支出最小）的个别消费者开始的。然后分析在生产技术条件下力求使利润最大（或者在生产技术条件下为达到一定的产量水平而使成本最小）的生产者。这些是经济学中典型的最优化问题。

这些问题的标准数学表述如下。消费者问题是在以固定收入

y=p₁x₁+…+p_nx_n

维持生活的条件下，使所消费的商品和服务的量x₁，…，x_n的效用函数

u（x₁，…，x_n）

达到最大值，前一式中p₁，…，p_n是所消费的商品和服务的价格。生产者问题是在受到所生产的商品和服务的量x₁，…，x_n和生产要素投入l₁，…，l_m的一个技术生产函数

f（x₁，…，x_n，l₁，…，l_m）=0

所加限制的条件下，使收益减去生产成本所得之差

p₁x₁+…+p_nx_n-（w₁l₁+…+w_ml_m）

最大，式中l₁，…，l_m是生产要素的投入，w₁，…，w_m是它们的成本。这两类公式把经济问题提成在受到收入限制的条件下使效用（满足）最大和在受到生产技术限制的条件下使利润最大。我们还能表述最小值问题：寻找生产一组给定产品的最小生产成本和能达到给定水平的效用的最小成本预算。

消费和生产理论的现代论述

效用的主观性质已导出了新方法。Von Neumann和Morgenstern（1944）在《博弈论和经济行为》一书中给出了选择公理。我们现在已见到许多关于选择的代数论证。这种公理系统是在寻找能建立消费者选择理论的最简单的集合时发展起来的。如果把这些公理作成随机的，或者把选择决策作成随机的，那么这个问题还要包括概率计算。看起来这部分似乎是附属于主要的论证的，但结果却对数理经济学比对博弈策略具有更大的影响。

在某种意义上，从公理的角度接近问题更为基本。它可以追溯到首批我们都能同意的原理，并根据这种原理并发展消费者行为的规律。更直接的从效用的角度接近问题是假设存在着一个数学上易处理的效用函数，并从求该函数的最大值导出同样的消费者行为的规律。

在公认的经济理论（叫做新古典主义理论）中陈述的生产企业的理论已经受到批评：认为它是不真实的，也不能代表现代企业者或工程师的思想和决策过程。这门理论的非数学形式所受到的攻击和数学表述所受到的攻击一样多，但是数学表述特别由于这样一种意义隐晦的观察而受到批判：大多数制定企业决策的人都不知道怎样求出—个偏导数。在其解中按最优行为法则定义的一阶求最大值条件并没有得到公认。

第二次世界大战期间在美国发展起来（苏联早在1939年就发展起来）的线性规划理论被认为是一个数学模型，这个数学模型更符合工商业计划和决策的实际。原来在美国的发展是与军事决策相联系的，但是在早期，苏联Koнторович（1939）所举的例子是涉及生产经济学的。

典型的规划问题是同混和汽油（炼油生产）和配制牲畜饲料有关的。在后一问题中，我们寻找能满足某种类型最低限度的营养需要的食物最低成本。显然，这个问题的计算结果有助于饲养场的有效经营或饲料生产。这些是在生产企业理论中出现的典型问题。

一个线性规划模型也许可通过分析受到生产力约束的生产过程而导出，如果各过程都能在生产空间中产生一个已知点，则这些过程的线性组合（或平均）确定若干平面，它们构成受生产力极限约束的生产可能性的边界。这些边界约束与各过程的线性组合一起给出一组线性不等式约束。然后在这些约束的限制下求总收入的最大值。

对应于这个受约束的最大值问题，有一个连带的最小值问题。原问题的约束变成了对偶问题的判别函数中的权。相应地，原问题的判别函数中的权是对偶问题的约束。此外，原约束不等式的矩阵中的行元素变成对偶的约束不等式中的列元素。可以把对偶理论用于企业理论来表达求取得一定产量的最小成本点的问题。这样一来，该理论就可以从两种观点来看待——求利润的最大值和成本的最小值。前者对应于原问题，后者对应于对偶问题，一个线性规划及其对偶可以转化为二人零和对策，这一事实使对策论对经济生产分析又起了作用，然而这并不是把对策论用于经济学的原始动机。可是对偶的线性规划理论却是刚才所述的传统理论的现代表述，在这种表述法下，标准的生产企业理论既被叙述为最大值问题，又被叙述为最小值问题。

当我们讨论到对时间的最优化时，在最优化问题中就出现了一个添加的方面，在有些问题里涉及导数或积分，像在资本理论中（股本是过去投资的积分）或在存货理论中（存货的投机买卖取决于价格的变化——导数），在这些问题里最优化程序要求我们用到变分法。

均衡：存在性和稳定性

尽管认识到经济化即最优化（找到一个经济问题的最少成本解或最大获利解）这一点有巨大的价值，这个原理却不是经济学定理的唯一源泉，也不是把数学应用于经济学的源泉。经济学还有一大分支研究市场活动或求出使市场达到均衡的价格。

Walras（1874）把经济学中的一般均衡问题表述为求出一组联立方程的解，从而向前跨进了一大步。最优的消费者行为产生一组商品需求和生产要素供给方程。同时，生产者行为产生一组商品供给和生产要素需求方程（见下表）。

家庭和企业并不以任何特定的方式配对，但是家庭的全体和企业的全体产生市场供需函数。如果我们说共有n种商品和生产要素，那么我们就得到一个由n个市场方程组成的方程组，它的解将是均衡价格。

这看上去像是个描写经济学的问题，它表明可以求出使市场处于均衡状态的价格，但是也可以给它一个关于福利经济学的最优解释。它具有这样一种意义，即满足这个方程组的价格导致经济社会中资源的最优配置。这是Pareto的观念，他说，如果达到了这样一种状态，社会上没有人能不使别人境况较坏而使自己的境况较好，那么最优性存在。于是它便是福利经济学中这样一个问题：证明（在竞争社会中）使市场达到均衡的价格按Pareto意义实际上是最优的。

在Walras方面，把经济学想象为一个联立方程组是一大进步，但是他满足于计算有多少方程和有多少变量，我们后来认识到这是远远不够的。许多经济学家认识到证明均衡的存在性这个数学问题。但正是Abraham Wald首先发表了关于一般均衡问题解的存在性的严格陈述。后来在这个问题的陈述中有了许多改进，同时使用了线性规划论（解线性模型）、凸集的性质和不动点定理。

如果可以证明均衡是存在的，那么均衡稳定的条件是什么呢？人们给予“供需法则”明晰的数学表述来处理这个问题。在一个竞争社会如果在任一市场上供给（需求）过多，则价格下跌（上涨）以使市场达到均衡。这个反作用并不是建立在最优性理论的基础上，而是被当作描绘了竞争市场的活动方式。相应的数学表述是一个微分方程组。已经导出了使这种微分方程钽的解为稳定解的条件。

在分析均衡及其稳定性时，我们可以看到在社会主义国家的计划社会中数理经济学方面的许多工作。虽然一种竞争经济的市场方程组的解可以是稳定的，但是它们可能振荡。这早已作为以经济周期知名的经济现象的一个源泉而为人们认识到了。如果现实生活中的真实经济不完全是竞争的，那么我们可以发现不稳定的振荡；此外，“竞争振荡是稳定的”并非已经确立的定理，稳定性仅仅在特殊情况下得到了证实。最后必须认识到，价格的变动可以在随机的或非确定性的环境下出现。如果微分方程组是非线性的，则我们一般不能说出在随机的冲击下它的稳定性是怎样的。

社会主义经济学家们之所以一直在谨慎使用市场机制来解决分配稀缺的资源以达到给定目标的问题，就是由于不稳定的缘故。他们可以模拟市场或依靠计算机寻求均衡方程组的解，从而得到没有振荡的、没有可能会发生不稳定变动的价格，不管怎样，一个社会主义计划工作者必须把经济学想象成一组Walras方程，并寻求把他带向既定目标的动态解。这将是他们的一个数学问题。

宏观经济学

借助于紧凑的矩阵和矢量记法，一个复杂的经济生活数学模型，即使在一般均衡的水平上，也可能写成导致误解的简单形式。我们可能会忘记，这些紧凑的表达式涉及无数的家庭、企业、商品和价格。为了得到简单得足以让人类智力理解的表达式，我们就必须进行含并。这就是经济学中的聚合问题，或指数问题。我们必须使用在微观经济学与宏观经济学之间架起一座数学桥梁的概括性理论。人们通常是用物价指数、产量、工资率或类似的经济量来代替全部详细分量的。

显然，在一种精密的形式下，聚合关系的存在性条件将是高度限制性的。有一些充分条件是可以确定的。例如，Hicks证明了消费者行为的复合商品定理，它说，在推导市场需求的数学规律时，可以把其价格都在同一比率下变化的一组商品作为单一商品来对待。但是物价并不顺当地以这种方式变化，而其它的充分条件也同样受到限制。所以我们不得不认为宏观经济学的方程是近似的。存在着一个聚合的错误，我们一般是以从那些个别理论类推的方式来建立宏观经济学的方程组的。在从这种方程组推导命题时，我们必须记住，它们是不精确的，处理这个问题的方法可以是把这种方程组作为随机方程组来对待。这就把一个新方面引进对方程组性质的分析中去了。

在必威在线网站首页网址 经济学中对经济周期进行的研究传统上是以宏观经济学的方程组为基础的。N. Kaldor（1940）有这样的一个简单的整体经济模型，它是

在研究一般均衡的稳定性时，这个简单的聚合，模型类似于上述确定物价的必威在线网站首页网址 理论。通过聚合，这个模型把对经济整体的研究化为与少数聚合变量发生联系的若干关系。这个模型虽然看来是简单的，但是它在揭示经济的许多经济周期过程时是强有力的。这个模型原来的表述是作为J. M. Keynes（1935）的静态理论的必威在线网站首页网址 推广而为Kaldor提出的，Kaldor证明，如果f和g有一些好像讲得通的非线性形态，又如果h是I-S的正函数，而

O=h（0）

那么这个模型就能产生一个类似于经济周期的自持振荡。

当这种类型的模型与工资率、物价水平、分开的生产部门、货币关系、对外贸易、公共政策变量和更多的增长要素相联系时，模型要变得复杂得多。实际上，最末项这个题材——经济增长已经引起经济理论家的爱好，他们已把注意力从经济周期（假设经济周期在现实生活中已被克服）引向成熟经济中增长的数学模型和发展中经济的发展的数学模型。

有两大问题似乎已支配了增长的数学分析。Von Neumann的一篇著名论文讨论了扩展中的经济的一个一般模型，这个模型包含许多相互有关的部门。他导出了这种经济有一个“均衡增长途径”，和这种经济的各部门都是以同样速率扩展的，而这种共同速率都等于利率的条件。这个一般结果激起了人们在构造具有均衡增长性质的两部门与三部门的聚合模型。

这里仅在一个方面讨论了宏观经济学和指数构作法，即构造并分析整体经济的聚合模型。另一种用处是关于理想的计量问题。大多数人都熟悉“生活费用”这一概念。经济学家有一种专门办法来计量这个概念。他们寻求与基本情况B相比，一个人在情况A下为了达到像在B下同样的生活标准，必须花的钱的指数。这就要求我们表述间接效用函数

U[x₁（p₁，…，p_n，y），…,x_n（p₁，…，p_n，y）]

和定义为

Du=0

的那个微分方程的积分。这个问题的解表明，真正的“生活费用”可以用个别需求函数

D_i=X_i（p₁，…，p_n，y）

的参数来定义。

在指数构造方面的其他理想计量形式包括计量产量、成本和生产率的指数、这些取决于企业数学理论的结果，就像构造生活费用指数要取决于用户数学理论的结果一样。

计量经济学

尽管许多人都把“数理经济学”和“计量经济学”作为同义语来使用，我们仍要指出它们的区别。有些人对这两个领域同样精通，计量经济学会的会员资格也包括这两方面；但是计量经济学家主要仍研究经济学中的计量——怎样在理论上作出计量，并把这种计量用之于实际。在某种意义上，指数构造和资本计量的问题是计量经济学问题，但也可以把它们作为在福利经济学或增长系统的抽象分析中的纯理论问题。在计量经济学中的计量问题通常是以实际应用为目的而提出的，至少在原则上是这样。

计量经济学的一项功能是估计经济学理论的数学方程。这种估计通常采取在误差范围内确定参数数值的形式、需求方程、生产关系或宏观经济学模型的方程是计量经济学估计的主题。

—般方法是把数理经济学重新铸造成一种随机的形式。这在计量经济学中是十分必要的，虽然大部分数理经济学都是确定性的。我们据误差分布律，遵照确定的数理统计原则来估计经济参数。绝对有必要研究随机关系的理由是存在着聚合误差和略去的变量、我们所作的经济生活的简化数学表述不可能详细得包括影响经济行为的所有变量。

在最简单的水平上，我们面临着根据子样观察来估计形如

y_t=f（x_t；α）+e_t，t=1，2，…，t，

的经济关系的问题。这些子样可以根据不同的时间点（时间序列子样）或不同地点（断而子样）或二者的结合来采集。它们可以是对个别经济单位或社会聚合物的观察资料。随机误差用e_t表示，而α是应估计的参数。如果我们注意到子样几乎总是不可试验的，那么上述问题就是一个具有某种特殊重要性的数理统计问题。

一般说来，在经济关系中、有许多非独立的变量和许多关系同时起作用产生我们不可试验的经济数据子样。T. Haavelmo（l944）对经济关系的计量经济学做了Walras在以前年代对经济关系的数学所做的同样的事。Haavelmo为计量经济学得出经济生活中的同时性的逻辑结论，倘若我们不能通过实验得到观察数据的话。因为y_it在整个系统和各个方程中互相确定，所以我们不能使用通常的办法，把一个y_i回归到该方程中所有别的y_i和x_i上而作出估计。Haavelmo表明，应当从考虑该方程组的性质和各y_t间的相互关系来估计系统内的一切方程。他的模型总是采取

f_i（y_1t，…，y_nt；x_1t，…，x_mt；α₁，…，ατ）=e_it，

i=1，2，…，n，t=1，2，…，T

这种一般形式。在这个模型里，n个依赖变量（y_it）和m个独立变量（x_it）间有n个关系。这些关系是随机的，并受到n个随机变量的干扰。

迄今已提出了各种各样的参数估计法，并被用于很大的方程组，现在有些方程组由300个方程组成**。

估计方程组的计量经济学研究的目标是赋予数理经济学理论以经验内容，还跟踪现实世界中发生的整体或其市场部门的经济事件。应用计量经济学的结果已被政府、国际机构、企业或社会团体用于制订经济政策。经济关系及其推论的一项仔细的数学表述，与统计推断的数学理论一起，最后将产生真正可用于重要的社会问题的经济生活估计模型而得到报偿。数学是不能单独做到这一点的，但是数学在应用经济学的帮助下借助于精心汇集的数据、计算机化和一般经济思想的进展，看来像是适当的结合。

并非所有的计量经济学都用统计推断法来研究如何估计经济关系。计量经济学中一个重要的描述性问题是试图表示经济量的分布特点。就像我们刚才看到的那样，这些分布函数在估计经济关系时起着重要的作用，它们在上一节里提出的整个聚合和指数理论中也是非常重要的。经济福利显然依赖于整个经济生活中的报酬分配方式。所以它是一个长期存在的问题，这个问题从Pareto研究如何说明人与人之间的收入与财产的分配时就开始存在了。能表示企业大小的分布或物价变动的分布的特点同样是重要的。

W. Leontief发展了一门学科，叫做投入-产出分析，这门学科的工作偏离了把计量经济学作为统计推断的观点，投入-产出分析是非常详细的经济计量，已经导致了浩瀚的数学文献。它大体上是非随机的，但能给出一种概率解释。投入-产出分析在计量经济学中的目的是追踪一种相互紧密联系的复杂经济中各生产者间的中间商品流。我们把从生产部门i运到j的货物记为x_ij。第i个部门的总产出是x_i，对它的产品的最终需求是F_i。所谓最终需求，我们指的是运到其他生产者这种中间目的地之外的货物。我们打算把货物运载到家庭、政府或外国人之类的最终用户那里。据定义，我们有

这是分析一种经济时的一件必不可少的工具。许多国家已在计算并维持了大系统（在100×100到500×500之间）。在新兴国家制订发展计划时，在发达国家制订紧急计划时，这种系统都是有用的。现在它正同由推断法建立起来的聚合模型结合起来，二者一起使我们能估计经济活动的总水平能动性及其工业组成情况。社会主义计划工作者在开展他们的几年计划时，正在大量使用投入——产出分析的结果。

[Mathematical Sciences，1971年]

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*作者克莱因是著名美国经济学家，宾州大学经济系纪念富兰克林荣誉教授。1979年10月他率领美国经济学家代表团访华，介绍宏观经济计量模型的有关模型。今年他又到北京为中国开设计量经济学学习班，并担任讲课。

**目前大型的（世界）模型包含5000个以上的方程——译注。