尼古拉 · 布尔巴基的事业

发布时间：80年12月28日

J. A. 狄多涅编译史树中

[提要] 本文主要介绍布尔巴基学派的形成，对数学的基本观点，著述的指导思想，治学态度，以及选拔成员的标准和方法等。文章生动、内容翔实。由于作者系布尔巴基的主要成员之一，数学造诣也很高，因而他介绍的材料具有一定的权威性，而且内情轶事也不少，是一篇好的数学史料。

译者去年还在巴黎参加了一次布尔巴基举办的学术活动，可见，布尔巴基的事业还在前进中。

本文并不企求论述布尔巴基事业的全部历史，而仅仅想提供。些我所接触到的实际情况。

为了理解布尔巴基的起源，我们应该回顾一下以往，那是1941年战争发生以后的一些年月。当时，我们还都是些学生。对于这次战争，我可以非常肯定地说，它对法国数学家来说是极其悲惨的。我并不想对当时发生的事情进行议论，从而作出道义上的评价。在1914 ~ 1918年的大冲突中，德法两国政府是以不同的方式来顾及科学的使命的。德国把他们的学者投入了用来提高军队潜力的科学工作；让学者们以他们的发明、发现为增强德国战斗力效劳。而在法国，至少在战斗开始的一、二年内，则认为每个人都应走上前线。于是年青的科学家和其他法国人一样，也都在前线尽责。这显示了我们只能对之敬重的民主主义和爱国主义。但结果是法国年轻科学家遭到了一场骇人听闻的浩劫。当我们打开高师的战时名册时，我们可以发现许多黑框，这意味着编制中有三分之二被战争除名了。这个状况对法国数学也有不幸的反响。我们是另一些在直接接触战争时还太小，但在战后的年代里进了大学的人们。我们原应由那些年轻的教学家作我们的导师，并且可以肯定他们中的某些人有伟大的未来，这些年轻人都被残酷地杀害了，他们的影响也遭到了毁灭。

当然，老一辈是留下了，他们中那些大学问家受到我们所有人的敬仰和尊重，但他们都是五十上下的人了。他们和我们之间整整隔了一代。我不是说他们没有出色地教我们数学，我们都是在这些数学家手下学完一年级课程的，但是无疑（而且任何时代都如此），五十岁的数学家知道的只是他在二、三十岁时所学到的数学，而对他目前的时代，即他五十岁时期的数学，通常只有相当含糊的观念。这是我们不得不接受的事实，我们对此是无可奈何的。

于是我们有杰出的教授教我们可以说二十世纪前的数学，但对1920年的数学我们却不能知道很多。正如我前面所说，德国对此有些不同的做法，这使得德国数学学派在战后几年中变得异乎寻常的光辉灿烂。我们只要想想那些最第一流的数学家，如C. L. 西格尔，E. 诺特尔，E. 阿丁，W. 克鲁尔，A. 赫斯等，我们在法国对他们都毫无所闻，就可以说明这一点。不仅如此，我们也一点不知道飞速发展的俄国学派，红极一时的波兰学派，以及其他许多工作，我们既不知道F. 黎斯的工作也不知道冯 · 诺依曼的著作，如此等等。我们被封闭在我们自己中间，在我们的世界中，函数论是至高无上的王国。唯一的例外是厄里· 嘉当；但他超越了时代20年，没有人了解他。我们完全被禁锢在函数论中，尤其是它还被当作数学仅有的部分。

当时唯一通向外部世界的窗户是阿达玛的讨论班。阿达玛是法兰西学院的教授，但他不是一名很杰出的教师。（对我来说，他是一位相当伟大的学者，以致使我能这样说他，而无损他的声誉。）他有一个举办分析当时数学工作的讨论班的想法，看来这样的想法来自国外，因为在法国谁也没有这样做过。在每年年初，他就把按他的判断是上-年最重要的研究论文，分配给所有那些想就某个主题说些什么的人，然后由他们到黑板旁来向大家讲解。这在当时是件新鲜事，对我们来说极为宝贵，因为它使我们看到了许多有不同出发点的数学家。同时，它也立刻成为吸引外国人的中心，他们来了一大群。于是对于我们年轻的大学生来说，它也成了我们大学的正式数学课程中找不到的知识和观点的来源。这样的状态持续了好几年，一直到我们中的某些人醒悟到，如果我们再墨守成规下去，法国数学肯定会走进死胡同。我们并不怀疑，法国在函数论方面还会取得辉煌成就，但在其他方面，法国的数学家将要被人们遗忘。这就破坏了二百多年来的法国传统，因为从费尔玛到庞加勒，最伟大的数学家，总是有博学多才的声誉，他们因为能同时既在数论方面，又在代数方面，或者分析方面、几何方面博学而著名。于是我们就密切注视各种在国外开始出现的新奇时髦的观点。我们中有几个人有机会走了出去，到我们的城墙外面去见识和学习第一手的数学发展。1934年阿达玛退休以后，讨论班在G. 朱利亚指导下以稍许不同的方式进行下去，我们开始以更系统的方式探讨来自各个方向的大量新观念。当我们把这些观念汇成一个总体时，讨论班的形式就不适用了，而需要用书的形式来把握现代数学的原则观念。这样就诞生了布尔巴基的论述。我应该说布尔巴基的合作者们当时都是很年轻的，毫无疑问，如果他们都已经素负盛名；他们就绝不会干这样的事。在商讨计划的第一次聚会上，设想三年内完成论述。在此期间，我们应该描绘出数学基本性质的轮廓。事实和历史作出了不同的判断。随着我们的学术造诣一点一点地加深，我们才逐渐意识到我们所投身的事业是何等繁重，无论如何是不能期望那样快完成的。

说真的，当时已经出现了一些精彩的专著，事实上，布尔巴基的论述开始也是以范德华尔登优美的代数论述作为范本的。我不想贬低他的功绩；但是正如你们所知，他自己也在他的序言中说过，它的论述实际上有几个作者，其中包括E. 诺特尔和E. 阿丁；以至有点像早期的布尔巴基。这种论述给了我正如你们所知，他自己也在他的序言中说过，它的论述实际上有几个作者，其中包括E. 诺特尔和E. 阿丁；以至有点像早期的布尔巴基。这种论述给了我深刻的印象。我记得那时我正在写学位论文；那是1930年，我在柏林，我还记得范德华尔登的书出现在书店里的日子。我当时在代数上是如此无知，以至如果在今天我都不会被大学录取。我匆忙地读了这几卷著作，逐步看到展现在我面前的新世界。

这时，我们就打算作出这种类似的工作。眼前是范德华尔登在使用非常精确的语言，并且使观念的发展和作为整体的著作的各个部分有着极其紧密的结构。这在我们看来是着手写书的最好途径，我们已经拟定要起草不少东西，但以前从未在细节上进行过处理。一般拓扑还只能在少量论文和弗雷谢的书中找到，而实际，尚有大量的毫无层次的结果需要编纂。我可以说巴拿赫的书也是如此，它对于研究工作来说是可以赞扬的，但整体很混乱。其他的科目例如积分学和某些代数问题，也还什么都没有。在布尔巴基的关于多线性代数的章节出现以前，我也不能想象世上会有阐述外代数的启蒙著作。我们参考过格拉斯曼的著作，但那不是十分清晰的。这样一来，我们很快就意识到，我们已经急急匆匆地投入了一次比我们预想不知要大多少倍的宏大规划之中，你们都知道，这项远大规划，至今尚远未完成：在我的文件夹中有第34卷证明，他们是用来写三章李群的。还有许许多多这样那样的预备材料。尽管前面的几卷已有过三、四版，但整个事业的终点还看不到头。

我们应该有一个出发点；我们知道我们要做的是什么。当然，有过百科全书的设想，而事实上它们也已在出版正如你们所知，这种全书德国人在1900年就已开始动手。撇开他们有名的不屈不挠和勤勉刻苦不说，到1930年，尽管有过多次再版，但还毫无希望地落后于当时数学学科的发展。今天，只要看到每年出版的浩瀚无比的数学出版物，就不会再有人想干这样的不可能的事业。我相信，有朝一日计算机会有思想，而它只要几分钟就能把所有的东西都融会贯通。但我们还远远没有进展到这样的时候，更不要说早在1930年。再说，不顾它的价值已经下降，再去干这种蠢事必定是无用的。即使在那个时期，百科全书也几乎都是当作图书文献索引来使用，在那里可以查到这样那样的结果。不过理所当然的，它不可能包含证明。否则已经有了25 ~ 30卷的庞大全书，又将扩大十倍。不！我们不想编制图书文献索引手册，而要一部有始有终的数学证明文本的书。这就迫使我们作出极其严格的选择。选取什么？对，这才是布尔巴基演变的关键点。立即变为占统治地位的观点是这一著作首先是工具，它应该包含这样一些东西：它们不仅能用到数学的一小部分中，并且也能够在尽可能多的数学场合中得到应用。这样一来，如果你愿干的话，就必须致力于数学的基本观念和本质的研究，就必须拒绝任何纯属第二手的东西，即那些东西没有直接应用，或者不能直接导致有确凿无疑重要性的概念。于是就要有大量的筛选工作，它引起布尔巴基成员的无数次的讨论，也给布尔巴基招来不少敌意。因为随着布尔巴基著作的逐渐为人所知，所有那些发现其心爱的研究科目未被包括的人就不会倾向于去宣扬对这些著作的好感。因此，我想我们可以把某个时期针对布尔巴基的许多敌意（他们还在某些国家中散播），归因于这个极其严格的选择。

那么我们怎样来挑选这些基本定理呢？好，这就带来了一个新的观点：数学结构的观点。我不说它是布尔巴基的原始观念，实际上也不是布尔巴基有什么原始观念的问题。布尔巴基并不打算更新数学。如果在布尔巴基著作中有某一条定理，那么它一定是2年，20年或者200年前被证明的。布尔巴基所做的事只是把已经在长期广泛传播的观念确定下来并加以推广。自从希尔伯特和狄德金以来，我们都已经熟知，数学中的大部分内容都可以从少数精心挑选的公理出发，用逻辑推理来进行富有成效的展开。换言之，给出了公理的形式的理论基础，我们就可以用比我们可能采用的其他样式更易理解的途径来展开整个理论。这就是定出数学结构观念的总的指导思想。现在由于范畴和函子概念的出现，我们可以说这个观念已被淘汰，前两者已把它在更一般和更便利的形式下包括进去。这肯定也将是布尔巴基的责任。正如我下面将要说明的，布尔巴基决不害怕变化，他们将在自己的著作中融合这一理论的确实可靠的观念。

一旦这个指导思想明朗化后，我们就必须来判定什么是最重要的数学结构。自然，这是我们自己取得一致意见以前的许多讨论的根本。我可以说，布尔巴基并不自称是不犯错误的；他在对待结构的前景问题上已经犯了多次错误，并且在必要时认错，抛弃他原来的观念。每次再版时这种变化的痕迹是很明显的。布尔巴基并不妄图要凝固和束缚数学；这将是直接违背他的原始意图的。但是如果有谁不在新的观念面前畏缩，甚至比布尔巴基走得更远，他已经是对传统的不尊重。因此，布尔巴基的这种公开的系统的态度也必然招致敌意。这次是来自部分老一辈的人，他们批评布尔巴基肆意处置他们时代的数学。特别是定义的选择和主题的安排次序是按照是否合乎逻辑和理性来决定的。如果这样的做法和以往不同，好，这就意味着以往所做的都被抛之脑后了，甚至是完全无视长期的传统。

我已经告诉过你们，我们进行了选择。下面我要打一个比喻来更详细地解释这个选择。我们很快就意识到不能顾及引入结构的概念。尽管它意味着把科目澄清和分离，但数学是不能分割成许多小块的。另一方面，旧的分类：代数，数论，几何，分析又显然是过时了。我们不想看重这种分类，并且一开始就抛弃它，以至激怒了许多人。例如，众所周知，欧几里得几何是希尔伯特空间中埃米特算子理论的特殊情况。对于代数曲线和代数数的理论也有同样情况，它们本质上来自同一结构。我把旧的数学分类与古代动物学家的分类作了对比。那些古代学者把海豚、鲨鱼和金枪鱼当作类似的动物，说它们都是鱼，因为它们都生活在海里，并且有类似的体型。在他们认识到这些动物的结构并不相似，以至应该作完全不同的分类以前，那样做也是无可非议的。代数、数论、几何和所有那种非理性分类容易与此相比较。应该是看看每一理论的结构，并通过这一途径来分类。虽然这里有点不顾一切，但具体实现起来也不要很长时间。尽管其效果趋向于使结构孤立，然而它们有非常迅速而又极其充分的掺和途径。可以说，数学中许多重大观念都来自几个完全不同的结构的联结。这就是我们现在的数学图景。它是一个乱缠在一起的毛线球，其中数学的所有各部分都是以几乎不可预料的方式相互牵制。所谓不可预料是指不用一年左右的功夫，我们就不能发现新的这类牵制。同时在这个毛线球内，还存在着相当数量的线索，来自各个方向而又不与任何东西相连。不错，布尔巴基的方法非常干脆，我们割断线索。这意味着做什么？让我们看看留下了什么；然后我们列一张留下什么的清单和取消什么的清单。留下的首类结构有（我当然不说集合）线性代数和多线性代数，少量一般拓扑，少量拓扑向量空间，同调代数，交换代数，非交换代数；李群，积分，可微流形，黎曼几何，微分拓扑，调和分析及其延伸，常、偏微分方程，一般的群表示，以及最广义的解析几何，这里我当然是指萨勒含义下的解析几何，这是仅有的可容许的含义。对于有坐标架的线性代数再使用解析几何这个名称是绝对不能容忍的，但它们还在初等书本中称作解析几何。这种含义下的解析几何从未存在过。只有线性代数学得很差的人要取这个坐标架，才把它称为解析几何。去他的吧！任何人都知道解析几何是解析空间的理论，它是所有数学中最深刻最困难的理论之一。还包括代数几何，这是它的双生姐妹。最后是代数数论。

这些就构成了一张堂皇的清单，现在让我们看看排除了些什么。序数和基数理论，一般代数，格，非结合代数，一般拓扑的大部分，拓扑向量空间的大部分，群论的大部分（有限群），数论的大部分（尤其是解析数论）。求和过程以及每一可称为硬分析的科目——三角级数，插值，多项式级数等等。这里还有许多别的东西，最后当然还有全部应用数学。

这里我想稍微说说我自己的意见。我绝对不认为布尔巴基在作这样的区分时，对于按此划分范畴的理论在其精巧性和强度上有过最轻微的考虑。我深信，像有限群那样的分支，按其卓越的成果来说，是当代最深刻最丰富多彩的理论之一，而非交换代数之类则只是中等难度，如果要我作评价的话，我大概会说最有独创性的数学被布尔巴基排除了。

因此，我们不能对分类说成：在我右边是好的，在我左边是坏的。我们不想扮上帝，我只是认为，如果我们希望能给出一分现代数学的报告书，满足建立中心的设想，而其他数学由此而展开，那么必须去掉许多东西。在群论中，尽管其中已经证明了不少出奇地透彻的定理，但是并不能说我们有一般的进取方法。虽然我们有好几种方法，但总给人以这样的印象，它们像是一名巧匠施展了全副解数的结果，这就不是布尔巴基所能推荐的东西，布尔巴基只可能，而且只希望陈述合理组织的理论，其中方法是由前提自然推出的，并且几乎不为任何奥妙的技巧留下地位。

于是，我重复一下，布尔巴基所推荐的这些内容一般都是已经几乎完全功到渠成的数学理论，至少其基础是如此。这里问题只是在基础，而不是在细节。这种理论都已达到这样的地步，以至它们可以按完全合理的途径来勾画全貌。毫无疑问，群论（更有甚者是解析数论）恰好是相反的成就，那里的结果二个更比一个出奇，因而是极其反希尔巴基主义的，我再说一遍，这绝对不是意味着对他们看不上眼。相反，一个数学家的著作就是要体现他有创造发明的能力。布尔巴基的第二步目标就在于收集数学家所使用的探索过程，看它们是否能整理成首尾一贯的理论，和按逻辑排列的，容易陈述和容易使用的形式。

在布尔巴基中使用的工作方法，其拖泥带水和折磨重重令人吃惊，但这几乎是由其意图本身强求的。在我们每年二、三次的会议上，我们每次总或多或少会一致认为有必要对这样那样的主题写一本书或其中几章。于是起草的任务就落到某个愿写者手中。然后，他就按照相当模糊的计划去写出所提议的一章或几章的初稿。这里一般来说，他要插入或删去什么是随意的，正如你们将看到的，完全由他自己去冒险乱闯。一、二年以后，工作完成了，初稿就提交布尔巴基会议，并在会上大声朗读，不放过任何一页。每个证明都被逐点地考察，并被毫不留情地批评。只有亲临布尔巴基会议才能体会这种批评之严酷，并且知悉它是如何远远超过任何外来的攻击。其语言是不可能在这里重复的。年龄上的悬殊也不起作用。布尔巴基成员年龄变化显著，但是甚至当两个人相差20岁时，也不能使年轻者停止对年长者横加指责，只要他感到对问题毫不理解。一旦搞清楚了，他就又面带笑容接受下来。在任何情况下，反驳总是不落后的，没有那个可以夸口在布尔巴基成员面前能够不败，到最后，不管争论是多么冗长而又极其空虚，总会一切完满就绪。

某些请来旁听布尔巴基聚会的局外人，总是带着出席了疯子集会的印象而离去。他们不可想象，这些人对于数学问题如此大喊大叫，有时还同时出现三、四个声音，怎么可能有几分理智。这大概是个秘密，但在最后一切都会平静的。一旦第一稿被撕成碎片（归结为一无可取），我们就挑出第二个合作者要他从头开始。这个可怜虫知道以后会发生什么，因为他虽然力图追随新的指示去写，但与此同时会议的指导思想也在变化，到明年他的文稿也将撕成碎片，第三个人再开始，一如既往。可以把它想象为一个没完没了的过程，周而复始。但是事实上我们总是由于纯粹人为的原因而停止，当我们把同一章反复了六、七次、八次或十次；以至每个人都感到厌烦，这才一致决定把它付印。这并不意味着它是完美的，而极为经常的是使我们意识到，不管所有预先的警告，去着手写如此之类的教程是错误的。于是在下一版中就又有不同的观念。不过最困难的当然在第一版的付印上。

从我们开始动手写一章的一瞬间起，到它出现在书店的一瞬间为止，平均需要8~12年。现在（1968年）出版的一些书照例是在1955年前后第一次讨论的。

布尔巴基成员有一个最大年龄限制。一个五十开外的人可能还是一位很好的极其多产的数学家，但是对他来说，不大会去采用新观念，采用比他年轻25年到30年的人的观念。现在像布尔巴基那样的事业追求的是持久。这就不能把数学束缚在某个时期内。如果布尔巴基陈述的数学不能较长时期适应时代的潮流，那么工作就是无益的，并需要重做。这样的事已经对布尔巴基的好几卷著作发生过。如果有早期的布尔巴塞成员在场，他们就会倾向于制止这种健康的趋势，因为他们深信年轻时代的一切都是美好的，没有理由去改变他们。但是这将是一场灾难。于是为避免如此之类的以至迟早要引起布尔巴基破裂的紧张局势，在这个问题提出来后，当时就决定，所有布尔巴基的合作者要在50岁时退出。

而这就是说，目前布尔巴基的合作者都在50岁以下，当然，奠基成员几乎在十年前都已退出，甚至那些不久前被当作年轻人的成员也已超过球将要达到退出年龄。于是就有一个替换离去成员的问题。我们该怎样做呢？呀，没有什么章程，因为在布尔巴基中仅有的正式章程就是我刚才对你们说的，50岁时要退出。除此之外，可以说只有一条章程，那就是没有任何章程。没有章程的含义就是从来不表决，我们必须对每一点都取得一致。每个成员都有权否决他感到不行的任何章节。这也可以用来解释写作过程的漫长——事实是我们有这样一个对最后定稿一致同意的艰难时刻。

我们的成员更换问题，我们不能正规的更换：不存在像科学院那样的候补席位。因为布尔巴基大的多数成员是教授（在巴黎居多），他们很有机会观察年轻的数学工作者，显露头角的青年很快就会受到注意。一旦碰上这样的人，他就像一头豚鼠那样被请来参加会议。这是传统的方法。你们都知道豚鼠是什么，它是我们用来试验各种病毒的小动物。不错，这里多少有点类似的东西；不幸的年轻人就是来接受布尔巴基讨论所燃起的熊熊烈火的考验。他不仅必须理解，而且必须参与讨论。如果他沉默不语，就多半不会再被邀请。

他还必须显示某种品质。缺乏要求这种品质的倾向已被许多参加布尔巴基的可贵的大数学家所制止。在会议上，章节是按日期次序讨论的，而不是按部分次序讨论的。在进程中，我们从来都不知道这次会议是否将只讨论微分拓扑，而在下次讨论交换代数等等。不！一切都是错综交叉的。我打一个同样的比喻，可以象征布尔巴基的标志是一个毛线球。因此，一个布尔巴基成员要被设想为对他听说的每件事物都感兴趣。如果：某人是位狂热的代数学家，并且宣称：“我只对代数有兴趣，其他任何什么都谈不上。”够了，他就不能是布尔巴基的成员。作为成员首先必须对每件事物都感兴趣。一个人不可能在所有领域都有创造，这当然完全正确。这里并没有要求每个人是万能数学家，那只能限于少数天才，而布尔巴基成员不是天才。但每个人还是应该对每件事物都感兴趣。而且当时机来到，还能够写一章论述，即使其内容并不属于他的专长。这是实际上会对每个成员发生的事情，而且我想他们大多数人已经发现这样做极其有益。

在任何情况下，就我个人经验来说，我深信，如果我不履行起草我一无所知的课题的义务，不去尽力克服困难，我就不会在数学上做我目前所做的工作的四分之一，甚至十分之一。当有人开始写—个他一无所知的课题时，如果他是数学家，他就要迫使自己去搞懂它。这是数学家的特性，结果他试图去解决它，这就导致与布尔巴基无关的多少有点价值的个人工作，不过也是布尔巴基的产物。这样谁都不能说这是个不好的制度，然而也存在着那种不能适从这种义务的卓越学者。存在着这样的坚硬的代数学家，他从未容忍过分析；也有这样的分析学家，对他来说量子化的领域是令人厌恶的。这些数学家可以是第一流的数学家，超过布尔巴基的大多数成员，但是他们从来都不可能考布尔巴基的成员。