〔提要〕当前数学的研究涉及广泛的各种互相关联的思想，包括古老的和新兴的。例如，关于在代数几何中由多项式方程定义的曲线和曲面研究的成果，已经出现在物理学的孤立波和规范理论研究中。几世纪前提出的古老的数论问题有些已经解决了，而另一些则显得不可解；一切有限单纯群的分类已接近完成（完整的叙述篇幅将会很长）；群表示理论，有助于对称的研究。这些发展以及许多其它的发展，证实了数学的生命力。
今天，在各个领域中的数学研究，仍然活跃非凡（1）。有些领域建立已久并且较为具体，如几何学、数论或微分方程。另一些领域是新的，而且显得抽象一些，如泛函分析或代数K - 理论，今天，人们在几乎所有这些主题方面，都取得一系列令人振奋的进展。有些完全和应用有着联系，如线性系统理论的情况。另一些活跃的领域，如代数几何，似乎离应用较远。但是，这些课题之间正在出现令人惊异的联系，如最近发现从代数几何中形成的概念，可以用来解非线性偏微分方程（孤立子）也可用到规范理论中，它们在理论物理（与瞬时子和Yang-Mills方程有关）中，占据中心的地位。在表面上相距甚远的纯粹数学分支之间，也有类似的令人惊奇的相互影响，例如，后面将讨论的Smith猜想，或《今日数学》（2）中的例子。
数学，近几年来取得了极不平常的进步，如我们已得知的，有大量的著名问题和难题获得了解决（2，3），或者有许多值得重视的新概念得到了发展。我先给出一些已获解决的问题和在进展着的概念。然后我想更为详细地给出某些新的数学研究领域的例子。首先我考察几个新近解出的古老的问题。
有些数学问题提出时很自然，但是它们却很难对付，有时确实是不可解答的。如富利埃级数，用它描缚周期现象将近200年了。对于这种级数的基本收敛定理，直到1910年才由俄国人N. Luzin提出了猜想，然而直到I966年，才由Carleson（4）建立起来（给定在L2上的函数，“几乎处处”收敛）。
四色猜想首次提出是在100年前；它断定任何画有地球上多个国家的地图，都可能用四种颜色对每一国家的土地着色，使得没有两个有共同边界的国家，具有同样的颜色。许多试图证明该定理的人失败了，但是现今Appel和Haken（9）成功地证明了这定理，他们使用了一个古典的方法，对2000张专门的图形，利用计算机经过大量的计算而得到的。
在闭流形的分类方面，几何学取得了长足的前进。在两维时，这些流形是闭曲面，如球面，环面（内管形），以及如具有两个孔，三个孔的法国号等等。实际上，这些被列出的，可以证明是一个双边曲面的完全的分类。这个曲面的分类属于拓扑（单纯连续几何学）这一主题。在高维时的流形的相应分类是难以理解的。现在，通过应用各种各样代数的和几何的技巧（其中之一是成形术），在这种分类方面取得了几次值得注意的进步，对于3维的情况，有一些新的重大成果。但是对于4维流形仍然特别困难（10）。
乘法能够不可交换，如对大家熟知的四元数的四个基元1，i，j和k的公式i2=j2=-1，ij=-ji=k。这些公式得到了推广（在三十年代），用来定义某些有更多的基元的“叉积代数”。可以设想每一适当的代数（这种代数在基域上有中心的且单纯的），都有一个如此的叉积代数。由于Amitsur的工作（11），我们现在得知这是假的。
四元数有逆运算，所以可构作除代数。多于四个单位就不存在这种除代数的著名定理，新近由于在拓扑学中Hopf不变量的深刻结果得到了阐明（12）。
曾经限制在3维的几何学，现在扩充到了无限维数的空间，如量子力学中使用的Hilbert空间。另一个无限维空间的例子是Banach空间，它是在研究函数的性质中提出的。一种已知类型的一切函数f，每一函数都可给予范数||f||，这样就构成一个Banach空间。它使人设想每一Banach空间都有一个基（一个适当的无穷多个坐标轴的集合）。我们现在知道这是不真的（13），然而Banach空间上的算子在泛函分析中仍然极为有用。
在代数学中，一些数或者其他对象，具有一种满足某些条件的加法运算，被称为交换群，如所有的整数或者所有的实数的交换群。具有基底的交换群称为自由的。J. H. C. Whitehead有一个似乎正确的猜想；有一个刻划自由群的良好特性（每一以整数加法群为核的扩充是分裂的）。现在，S. Shelah得到了一个结果（14），这个猜想既可真也可假。在一种集合论模型中它是真的，在另一种集合论的模型中，它是假的。更为一般地，另+些著名的，如连续统那样的假设有的不存在确定的答案，有的肯定不可解。
六十年代时，幼儿园学生已经学习集合，这是一种对新数学的理解方式。今天我们认识到集合只是一种陈述数学基础的方式，因为还可有另一种有效的范畴方法，如在（15）中所示。
现在我们转而去考察某些活跃的新的数学分支和一些已经改变了我们传统的做法的新概念。例如，代替寻求满足微分方程的函数，现在更为有效地是研究“可分布”的解或者广义函数。通过这些方程表示的微分算子已经推广到了具有更为灵活的性质的拟微分算子。富利埃变换就是系统地用来化简方程；在实际情况下，它是快速富利埃变换的补充，快速富利埃变换最早由高斯发现，而最近又重新发现的（16）。
当微积分最早发现时，微分运算是用无限小的实量所刻划的；后来因为它们不严格而不承认它们。这种限制后来没有长期采用。现在有实数的“非标准”模型（17），它们能同实无限一样地处理微积分。这些模型是通过逻辑的技巧构作成的；这样的模型也可以由流形上“无限邻近”的点的思想（18）发展而得。
这些仅是新领域的简述。为了说清这些，我试图更为详细地描述几个方面的数学研究：用群来研究对称，用另一些（如变换群）来研究表示一个数学对象（如群）的方法，流形，局部与整体之间的对照，这些思想在基本粒子物理学中的应用，分析的进步，孤立波的新理解。这些主题并没有提及所有纯粹数学的新领域，或在应用数学和计算机科学中值得注意的新进展。
群和对称
对称在数学上可以用群来分析。例如，一个等边三角形有6个对称，3个关于中心旋转角为120°，240°和360°的旋转，加上三个相应于三角形三个高的反射。一个对称接着一个对称的复合运算也是6个对称中的一个，这6个对称关于复合运算（乘法）构成一个群。这里一个对称s和一个对称t的复合，可以将它写成s · t。
用一个有12个顶点、20个正三角形面、并且在每一顶点有5个面相交的正20面体可以展示出一大批对称。为了计算对称的数目，任选一顶点V（由于所有顶点都类似的），总存在着一个把V对应于12顶点中任意一点V'的对称。这样做了后，20面体还可绕着这个顶点旋转，致使任何一个面对应于这5个面之一；因此，所有这一切告诉我们，有12×5=60个旋转对称（它们可以适当地表示成5个数的一切偶置换）。再有，一个接一个的两个对称的结合也是对称，所以这些旋转对称构成一个具有60个元素的群。
更一般地说，一_个群G是一个以s，t，…为元素的任意集合，这些元素可以相乘，给出乘积st，它们除交换律外满足通常数乘的规律，这是因为st不必要求与ts相等。当一个群如前述两例有限时，在G中元素的数目称为群的阶。也有许多重要的无限群，如3维空间内关于原点的一切旋转组成的群。这样的无限群称为李群（意指连续群），因为每一旋转都有邻接的旋转。一切可能的单纯李群的分类系统是已知的，并已广为应用。
在群论中新近取得了一些值得重视的进展。我们尚不能描写一切可能的有限群，但是我们大体可以说正在发现一切有限单纯群。一个群G称为单纯的，如果它不能装入一个更小的群H，即不能把群G的每个元素映射到一个H的元素上，使得乘积映射为乘积。例如，三角形的群就不是单纯的，因为它可以装入一个2元群，±1，当S翻转三角形时，令S为-1，反之，给S以+1（因此，关于三角形高的发射是翻转三角形的对称）另一方面，我们能证明20面体群是单纯的。
一系列相当多的有限单纯群已经为人所知。对于每一素数p，具有p个轮辐的轮子的p个旋转构成一个单纯群。对于每一个整数n!≥5，总有一个n!/2阶的单纯群，由n物件的一切偶置换组成；当n=5时，它就是正20面体群。通过对某些熟知巧李群，把普通的实数改动得适用于恰当的有限数系；人们可以系统地构造出一列有限单纯群，称之为李型群。但是，这还不是一切；除了这些已经系统列出的之外，至少还有24个另外的单纯群，称为零星群。一个这样的有7920阶的群，是由H. Mathieu于1861年发现的；他随即又发现了4个。直到最近15年之前没有新的发现，自1965年由Z. Janko的175560个元素的群开始，19个群跟着被发现了。猜想还存在其他的群。其中之一称为子Fischer-Griess“大怪物”，它大约有8 · 1053阶。较为精确地说，它的阶数是下列素数幂的乘积：
246· 320· 59· 76· 112-133· 17 · 19 · 23 · 29 · 41 · 47 · 59 · 71
今年一月我们见到了消息（从R. L. Griess，Jr处），这个群已造出，与某些前面叙述过的零星单纯群一样，它是通过手算而不是通过计算机获得的。
一批活跃的德国、英国、美国数学家一直在证明这一系列单纯群是完全的。这些结果的论证等，已清晰地勾划出来了（19），除了_、两件正在做的工作之外，它包括了大部分需要的已证定理。当这工作做完时，全部证明所用的过细的数学论证大约有10000页。这个对于一个结果的证明，其规模之大是前所未见的。
注意系数196884。上面曾注意过的大怪物群，可以描写成在196883维向量空间上的线性变换群。把送个维数加上1就是上述公式中q的系数，这奇怪的事实不是一个巧合。M在数学家正在紧张地寻求对这个事实以及怪物群和数论之间的联系的解释。
群表示
对群的深入的理解通常依赖于用变换所作的表示。这指的是一个向量空间到它自身的一一变换，如空间的旋转和反射。在n维空间上的每一个如此的变换，都可以表示为一个n×n个数（实数、复数，也可以有限数系）的矩阵。因此群G的表示是一个用n×n矩阵S（或相应地变换）去代替群G的每个元s的过程，使群元的乘积st用矩阵乘积ST表示。把任何一个如此的表示分解成较为简单的表示（通过把每个n×n矩阵，分解成较小的方块），这是很重要的。最简单的，不可能再进一步分解的表示称为不可约的。每一个不可约表示都可由它的特征来概述，特征是一个函数，它对每一群元给出的值，是该群元的表示矩阵的对角线上的项的和。对一切有限群的这种表示和特征，对各种数系来说，都能决定，它对诸如上面讨论过的怪物群等特殊的群的刻划，具有基本的作用。
无限群可以有可能“有界”的连续结构（术语是紧致李群）。它们也可以通过表示、特别通过旋转（即酉变换）进而用特征来分析。在许多重要场合，所涉及的几何问题可以通过所谓李代数，进行纯粹代数地处理。关于这种代数的结构，许多已经（和正在）发现了。甚至“较大的”无限群。如一切刚体运动（包括平移）组成的群或相对论中的Poincare，群也有了已分析过的重要表示，这开始于1939年E. Wigner的工作，这些群要求在无限维空间（希尔伯特空间）的表示，它们出现在量子力学和物理学的其他领域（正道）中。
上最近，Harish-Chandra已经研究了，用迹（广义特征）和分布（广义函数）对任意的“半单纯”李群的无限维表示。这个工作加强了分析中的问题的联系，也加强了雅广用普通的三角函数作为一个普通的圆的一切旋转θ所组成的（李）群的表示的方法的问题的联系；这种表示给每一个旋转角θ以cos2nθ+isin2nθ=e2inθ，恰如富利埃分析用来研究周期函数那样。在一系列文章中，Harish-Chandra（20）已完成了这个调和分析，如同在有限群的情况下通过适当的特征作为表示那样，他是在一条涉及“不变特征分布”的定理中完成的，并且提供了一种适当的分解成不可约特征的办法。近十年来，在R. P. Langlands和其他人的工作（20）中，已经揭示了和数论（自同构型）有着更完美的联系。在这方面的工作，大概可望继续到下一世纪。
流形和拓扑
连续几何学（即拓扑）使用精巧的代数方法和有关流形的深刻结果，已经取得了发展，并且还将不断扩展成绩。一个拓扑流形可以被描写成粘合在一起的欧几里德空间中的块块（例如，一个环形圆形曲面就是自身衔接起来的管）。当块块用线性映照粘合在一起时，它的结果叫作分段线性流形。类似地，可微的粘合就给出了一个可微的流形。例如，一个普通球面可以用几个两角形（或两个重迭的半球面）粘合成；它们都给出了在这个（二维）球面上的同一可微结构。
一个著名的，长期未解决的基本猜想断言：任何分段线性流形必有一个本质上唯一的三角剖分（一个线性粘合）。新近，D. Sulliran对一大类流形证明了该猜想。Kirby和Siebenmann（21）证明了大部分拓扑流形，实际上可以三角剖分（22），但是他们也找到了没有这种三角剖分的例子。当J. W. Milnor发现了惊人的事实：普通的7- 维球面有多于一个可微结构之后，可微流形成了中心议题。
流形的分类最初所用的，是流形的简单性质一测得的数，如连通块的数。现在连通性的量度，用了更为精确的代数不变量，它能作出更细致的区别，给出在形变（或同伦）之下的不变性。
新的范畴论的思想，能专门用来描写映射一个域到另一个域的过程，如使拓扑映射到代数上，而且范畴理论自身，现在已发展成了一个有趣的学科。
也许，拓扑学最值得注意的方面是这样一种有效的方法，其中几何的和代数的技巧首先用来把流形论中的分类问题转换成同伦论中的问题，然后用代数拓扑不变量的方法解出后者。
上面谈及的进程，使人感到：从代数几何到泛函分析，大量的近代数学有一个共同的基本属性。在特殊的具体问题的一再的激励下，数学家被引着去发明极深刻和美好的更为抽象的理论，这些理论将具有与原来提出的问题极为不同的新的应用。为了简单和可接受起见，我在这篇文章中，对数学中的最为中心的和最为成熟的领域只能给以不多的注意，因为精确地叙述需要涉及极为抽象的思想和技术，不易概述。
[Science，1980年7月4日]