提要数学的不合情理的有效性，是西方数学基础研究中，受人注目的问题之一。作者首先概要地介绍了该问题的讨论的沿革，然后深入分析了数学的实质，并且在此基础上，提出了自己对该问题的看法：对数学的不合情理的有效性的探讨是有意义的，但很困难，目前离该问题的解决，为期尚远。
跋
本文，明显的是一种哲学的讨论。我不想为哲学辩解，虽然我意识到大部分科学家、工程师和数学家很少关注它；但是我仍将给出一简短的引子来议论一下这种探索的正当性。
就我所知，人总是对本身、周围世界，以至生命疑惑不解的。以往我们曾听到过种种神话，它们告诉人们：上帝为什么创造人和世界、上帝是怎样创造的。这些我们都称之为神学的解释。它们具有的共同的主要特点是在回答事物为什么是他现在这种样式时，还存在一些疑问。因为我们被告知的主要描述是上帝在创造时，就选择了这种样式。
哲学就是从人们开始探究这个理论框架之外的世界时起步的。一种早期的由哲学家描述，的说法，认为世界是由土、火、水和空气构成的。
从这些早期的解释事物的意图，慢慢地发展到了像当今科学那样的哲学。科学并不解释事物“为什么”是这种样式——万有引力并不解释物体为什么会下落的最终原因——科学只给出许多我们感觉到的和我们对为什么它们是这样的理解的详细资料，让我们来弄清这—点。看来科学对世界为什么会像它那个样式所作出的说明，所据有的材料还只是在知识海洋之边。
为科学所需的，对于实现这个棘手的一长串推理的主要工具是数学。确实，数学可以是实现这个目标的智力工具。许多人在他们所处时代，已经被要求回答：“数学为什么是如此的不合情理的有效的呢？”在答复这个问题时，我们较多地注意问题的逻辑方面，而较少注意物质方面。
数学家在数学基础方面的工作主要涉及的是系统自身的-致性和极限性。看来它们并不涉及，世界为什么会容许一种逻辑解释的问题。在某种意义之下，我们处在早期希腊哲学家探求该问题的物质方面时的地位，而我们就逻辑方面的回答。似乎并不比他们的时代来得强一点。但是我们必须在某时、某处开始解释这个现象。世界似乎是按一种与数学如此相仿的逻辑模式组织起来的，数学是科学和工程的语言。
本文是由E.P. Wigner的文章《在自然科学中数学的不合情理的有效性》激励而生。我将花相当多的时间，企图去解释论题所蕴涵的问题。但是当一切解释做完之后，余下的问题仍是如此之大，以至问题在本质上似乎是不可解答的。
数学的有效性
Wigner在他的文章中，给出了大量在物理学中的数学的有效性的例子。因而，使我想借用自己与工程紧密相连的经验。我第一次应用数学去预测现实世界事物的经验，是与第二次世界大战期间原子弹的设计有关的。在原始的计算机上，经过长久的计算得到的数据怎么会如此地吻合于第一次发射试验的结果的呢？当时并没有，也不可能有一点直接检验计算的经验。后来操纵导弹的经验使我明白，这不是一种孤立的现象，我们从数学符号运算所预测到的往往就是在现实世界中所要实现的。自然地，就我为贝尔系统所做的工作，就能提出许多例证：晶体管研究、空间飞行、计算机设计等，几乎所有的科学和工程，都曾被用来扩充数学，并且得到卓越的成果。
你们已知道关于麦克斯韦方程的许多往事，他怎样为了对称起见，作了某些扩充，引进了某个术语，及时地在理论上预见了无线电波，尔后为赫兹发现。
不变性的基本地位为Wigner所强调，它既对科学又对许多数学都是基本的。驱使Lorentz. Fitzgerald，Poincaré和爱因斯坦转向狭义相对论的，是牛顿方程（对于速度需要一个绝对参考系）缺乏不变性。
Wigner注意到，同样的数学概念，会出现预想不到的联系。例如在Ptolemy天文学中出现的三角函数转变成为关于平移不变性（时间不变性）的函数。它们还可表示线性系统的恰当函数。同一数学在广泛的不同场合的巨大的实用性（至今）没有合理的解释。
此外，数学的简单性长期以来一直成为应用到物理学去的关键。爱因斯坦是这种信念的最著名的倡导者。但是甚至在数学本身中，简单性也是值得引起注意的。简单的数学，终究是人类思维的产物，怎么会在如此众多的不同场合获得如此卓越的使用呢？
由于数学的这些效力，当今有一种强有力的促使各门科学数学化的趋向，它通常被看作为不是今天，就是明天想要达到的目标。借此机会，我还要介绍一些物理的、天文的例子。
毕达哥拉斯是最早有史料记载的，他曾清楚地说过：“数学是理解世界的方法”。他说数学既是强有力的又是清晰的，“数学是万物的量度”。
开普勒是另一位持这种态度的著名的典型。他深深地相信：上帝亲手做过的事，只有通过数学才能理解。
伽利略说过：“自然界的规律是用数学语言写就的。”牛顿同时用了开普勒和伽利略的结果，推导出了著名的牛顿运动定律，这些定律和万有引力一起，也许是在科学中数学的不可理解的有效性的最著名的事例。它们不仅预测了已知行星的位置，而且还成功地预言了未知行星的位置，以及各种星球、潮汐等的运动。
科学是由一些规律组成的。这些规律的基础是少量的、精确地选萣的、通常是原始的不很准确地测得的一组观察材料。但是后来发现，这些规律可以应用到甚为广泛的观察领域/并且证明它要比原来的更为准确。确实，这些不是总能解释清楚的。
在三十年的工业数学实践中，我常常为我所作出的预言担忧。我在办公室里做的数学，大胆地预言着某些未来的事件——如果你按此做了，你就会看到——它常常能证明我是正确的。怎样才能使现象符合我已做出的预言（基于人为的数学），使得能支持我的预言呢？事物就是按这种方式发展的，这种想法可笑吗？不！不管怎么说，数学对世界上所发生的如此之多的事情，总提供了一种可靠的模型。
数学是什么？
我们已经讨论了一下数学的有效性，现在需要看一看“数学是什么？”这是Courant和Robbins的著名的书的题目。他们在书中并不试图给出数学的一个形式的定义，而只是给出许多例子，由它们的内容来表示它。相仿地，我也不给出一个综合的定义，但是我将比他们更为紧密地结合我所看到的数学的显著特点加以讨论。
也许探求数学是什么的问题的最好方式是从起源开始。在远古史前时期，已经有了四种对数学的概述。第一，它是一种不断进行着的一长串严密推理的能力，这种推理，今天看来很能刻画数学特征。第二，它是导致连续和拓扑等概念的几何学。第三，它是数，导致算术和代数等。最后，它是艺术体验，按现代数学眼光来看极为重要。当然在数学中有多种不同类型的美。在数论中，它看来主要是几乎无限的数据的美；在抽象代数中的美，主要是普遍性。因此在数学各领域有着各种美学的标准。
最早的数学史，由于目前不存在任何实际的，令人信服的证据，当然必定都是些推测。但是，在最初等的原始生命中，只是为了生存的目的，也已经有了一种内在的对原因和结果的理解。当这一系列的痕迹逐步增长以至超过了对“如果这样，那么那样，因此能进一步推得……”等问题所作简单的观察时，我们就达到了数学的第一个特点，一长串严密推理这一路子上来了。
几何学如同产生于装饰墙、罐、器皿和衣服的表面一样，也产生于为了诸如宗教典礼、社会事务和吸引异性等各种目的而对人体进行装饰的需要。这也蕴涵了我所注意的第四方面的艺术体验，这是数学的深刻的基础之一。大多数教科书重写了希腊人的说法，认为几何学发源于埃及在每次尼罗河泛滥后的土地丈量，但是我却把它更多地归因于美学，较少地归因于直接的可利用性。
第三方面，数来源于计数。数是如此的基本，一个著名的数学家曾经说过，“上帝创造了整数，人类创造其余。”整数对我们来说是如此的基础，我们期待着，在世界上凡能找到智能生命的地方都能找到它。为了计数、抽象出整数既最可能的也是有用的。6只羊加7只羊为13只羊，6块石头加7块石头为13块石头，这是毫不足奇的吗？世界可能像简单地抽象出一个数那样地被构造，这不是一个奇迹吗？对我来说，这是数学的不可理解的有效性的最强有力的例子之一。确实我发现数学既是强有力的又是不可解释的。
在数学的发展中，下一步遇到的是这样的事：长度单位的整倍数并不恰好能量完要度量的长度。测量导出了分数。分数不是计数的数而是测量的数。
毕达哥拉斯号称是第一个证明了正方形的对角线和正方形的边是不可公度的人，它们是无理的相关的。这一考察，在希腊数学中明显地产生了一个意味深长的激变。当时，离散数学和连续几何是平行地发展着的，相互冲突之处很少。不可公度的危机阻滞了欧几里得对数学的探求。早期希腊人试图用他们感到较为确定的几何学（Eudoxus）来代替不确定的数，以期达到数学的严格性。这即使对欧几里得来说，也是一件大事，作为一个结果，你们可以在原本中看到大量的、现在看来是数论和代数转化为几何的形式。与怀疑实数系统存在性的早期希腊人相反，我们已肯定，应该存在能测量一个单位正方形对角线长度的数，并且大概也总能把有理数系扩充到包括代数数。这样做是为了实现一个简单地测量长度的愿望。不管是谁，怎么能否定可以量度任意直线段的长度的数的存在呢？
但是用圆的直径去度量周长，立即迫使我们去考察π这个比值。它不是一个代数数，因为没有一个以整数为系数的π的幂次的线性组合会严格地等于零。一种长度是曲线，如圆，另一种长度是直线，如直径，尽管它们比值的存在的可能性比正方形的对角线和它的边长的比值的存在的可能性要小；但是看来总应该存在这样的数。超越数就渐渐地加入了数系。
对数系进一步的考察与零和负数有关。这次扩充要求我们放弃对简单的数零实施除法。这次似乎完满地为我们做成了实数系。不！我们没有到达这一天，对于实数我们并没有牢固的、逻辑的、简单的基础。芝诺悖论，甚至在二千年后，还仍然以二种新鲜的方式，在作弄着认为已经理解离散数系和作为模型的连续油线之间的一切关系的我们，从非标准分析那里，我们知道逻辑学家能作出把未来的实数还置放在实线辱上的公设，但是至今只有少数人想接受这条道路。顺便提一下，有座数学家还在怀疑普通实数系的存在，少数计算机理论家仅承认“可计算数”的存在。
Cauchy通过实函数沿实曲线的积分问题，恰当地导出了复变量理论。他发现，通过复平面上的曲线积分能解实积分问题。
复数在量子力学中处于中心地位。它们在许多其他应用领域，诸如电子学，场论等是一个自然的工具。
总之，从上帝赐予的用作为计数的整数，我们对数的概念作了各种扩充，使它包括了更多东西。有时扩充是考虑到美学的原因而作出的，通常我们总要获得较早数系的某些性质。因此我们甚至在数学自身之中，也达到了不合情理的有效的数系；我们看到许多使用复变量来解决的数论问题。
从上我们知道，数学的主要构成部分之一是由熟知的概念向新的场合的扩充、推广、抽象。尽管老证明不能一概适用于新的场合，令人惊奇的是几乎所有定理仍是真的；问题在于妥善安排证明，经典的例子是欧几里得原本。我们已看到，为了满足证明的近代标准，原本必须补充几条简单的公设（或叫做公理）。怎么会发生这样的事情，年原本十三卷中没有一条定理，现在看来是假的呢？尽管通常由欧几里得给出的证明现在看来并不真，但是现在没有发现一条定理是错的。这种现象并不限于过去。《数学评论》的一位编辑曾说过，当前发表的尽管证明是错误的新定理，可以断言有一半以上本质上是对的。如果数学是从假定的公设和较早的结果所作出的严格的推理，怎么会发生上述情况的呢？数学显然并不是同初等教员所说的那个样子，它明显地是某些别的事物。
这个“别的”是什么？当你一旦去考察你所发现的事物时，如果你只着眼于公理和公设，那么你很少能推得什么。此时，第一个重要步骤是要引进从假设中导出的新概念。对于固有概念和定义的研究是作出重大数学成就的主要特点之一。
当谈到证明时，经典几何学是从定理开始，然后尝试着找出证明的。直到1850年才认识到相反的方袪也有效。通常生成一条定理就是一个证明。我们了解我们能证明什么，然后去检验我们，已经证明了些什么。这些通常被称为“证明生成的定理”。一个经典的例子是一致收敛概念。Cauchy已经证明了：各项连续的收敛级数，收敛于一个连续函数。同时大家也知道：连续函数的傅里叶级数收敛于间断的极限。把它当作Cauchy的证明的检验，错误被发现了，通过把定理的假设改动为“一致收敛级数”问题可以得到解决。
更为近代些，我们已经认真地研究过数学基础是什么的问题。我的看法，它应该是数学城楼的巅峰，而不是基础。它是一个有意义的领域，然而在这里，却找不到对数学的主要成果的改善。我们并不简单地抛弃，在基础研究中呈现出来的许多不管如何缺乏逻辑根据的数学。
我希望我已说明白了，数学不是通常想象的那种事物，数学是经常变动的，因此，即使我们今天已对它作出了成功的定义，也并不一定能适用于明天。与严谨的观念一样，它有一个变动的标准。在科学中，占据支配地位的态度是，我们并不是宇宙的中心，我们不是唯一的天之骄子，同样的我也很难相信，我们现在已经达到了终极的严格性。因此今天的定理证明不会是一成不变的。确实对我来说，似乎：
数学的公设并不建立在摩西取自西奈山峰的石碑之上
这是必须强调提出的。我们开始时头脑中只有一个含糊的概念，后来我们创造出各类公设组，并且逐步挑出一个特殊组。现在在严格的公理方法中，原始概念已为公设规定的内容所代替，这使得概念的进一步展开有点困难，结果迫使数学的进展缓慢。这不是说公理的方法是错误的，而只是说应该明确地承认，它是武断的。当需要出现之时，我们应该准备好变动公设。
三十年来我一直做着这种评述，如果你走进我的办公室，向我介绍Cauchy定理是错的一个证明，我将很感兴趣，但是我相信分析到最后，我们能改动假设，直到定理为真。因此在数学中有许多结果是独立于假设和证明的。
在一个“转折关头”我们将怎样决定，保留哪一部分数学和舍弃哪一部分数学呢？一个主要的标准是使用性，但是一般来说，它对创造更多的数学比把数学应用于现实世界更为有益！
几点不全面的解释
我将列出四个方面的数学的不合情理的有效性。
1. 我们明白我们所期待的是什么。没有人会感到惊奇，如果我们把草皮涂上蓝色，世界将呈现蓝色。我打算说明某些与此种类型极为相像的真实性的例子。
让我们考察伽利略，我们曾试图穿上彻利略之靴，因为它使我们能感受到他是怎样发现自由落体定律的。
伽利略是一个受过良好的教育者，他掌握经院派的论证方法。他很清楚怎样去证明一根针尖上有多少天使，怎样去论证任意问题的两个方面，他在这种技艺方面受到的训练，远较我们所知道的当时的任何人要来得好。我们可以描绘一下，一天他一手拿着一个轻球，另一手拿着一个重球，慢慢地摇晃着，他举起它们，并说：“对任何人来说都很明显，重物比轻物落下得快，不管怎样，这是亚里士多德说的”。“但是假设，下落的物体破裂成两块，当然两碎块将以较慢的适合它们的速度下降。但是进一步假设，一个碎块又碰上了另一个碎块，现在它们又成了块了，那么速度会加快吗？假使我用绳把它们绑在一起。怎样才能把它们紧紧地绑在一起呢？”
进一步思考这一问题，两块变成一块就变得不合理了。因此，落体经历的别无他途，只能是以同样的速度下落，除非有外力的作用。他后来可能做了某些实验，然而我强烈地意识到我们想象的情况，实际上是发生过的。后来在Polya的书中找到了类似的故事。伽利略发现它的定律，不是通过实验，而是通过简单的、平常的思考，通过经院式的推理。
我知道教科书通常是把自由落体定律当作实验观察提出的；我却断言它是一个逻辑定律，一个藉思考而得的结论。
假如你不喜欢这个例子，那么让我转向受到高度赞赏的近代的定律——测不准原理。最近我正专心致志于写作论述数字滤波的书籍，发现三角函数是既适用于数字滤波理论、又适用于量子力学的特征函数。
从已经给出的例子可以得出：原初的现象是从我们使用的数学工具中，而不是从现实世界中产生的。
近年来，呼声最高的宣传物理规律的简单性的是爱因斯坦，他像数学家那样地利用数学极大地开阔了人类的认识，当检验他的狭义相对论文章时，人们感到这是在和一个经院派哲学家的方法打交道。他预先知道了理论的样子，然后，他用数学而不是用实验作工具去揭示理论，他是如此地确信相对论的正确性，哪怕还不知何时能作出实验检验。他对实验结果并不这么感兴趣。他说必然会因某种方式得到错误的实验。许多人相信，两种相对论依靠哲学基础的程度比依靠实际试验更甚。
因此我对数学的不合情理的有效性所蕴涵的问题，作出的第一个答复是：我们探讨心智系统的情况，使得我们仅能发现在许多场合我们所做的结果。它们既是简明的又是有限制的。我们所想象的科学的基础是现实世界的实验，只是部分的真实的。Eddington想走得更远些；他断言一个足够聪明的脑袋，可以推演出一切物理。我仅设想它能推演出一个令人惊异的总的意思。Eddington对此还给出了一个可爱的比喻。他说：“某些人在大海中网渔，在仔细察看了捕获的东西之后，他们就断言，这是海洋中最小的鱼。”
2. 我们为应用，精选出了各种数学。数学并非总是适用的。当我们发现标量不适用于力时，我们发明了一个新的数学量——向量。进而我们发明了张量。在最近我写的一本书中约定，普通整数被作
为标记，实数用于概率；但是相反地在这本书中出现的一切算术和代数都具有规则
1+1=0
因此，我的第二个解释是，我们所选的数学只适用于某些场合，以为同一种数学能到处适用，显然这不可能是真实的。
3. 事实上科学所能回答的问题是不多的。我们曾经设想，科学已经回答了我们的大多数问题，其实不然。从最古时代起，人们已经在深思真、善、美是什么。但是就我至今所能见到的，科学对这方面的贡献并不多，以我看来在不久的将来，也不会作出更多。长期以来，只要我们使用数学，其中整体总是部分之和，我们不大可能在检验这著名的三个问题时，把数学当作一个重要的工具。
确实、推而广之，我们在这个世界上的几乎一切经验，都不能量于科学和数学的范围之内。此外，我们从G?del定理得知，符号的纯逻辑运算是有确定的限度的，数学的范围也是有限度的。认为世界可以用数学能把握的一些简单的词项来说明，这是凭借对部分科学家的信仰的行为，当你考察了许多科学所不能回答的问题时，你就会相信，我们的成果并不如此令人满意。
4. 人类进化提供的模型。我们曾经接触过人类进化的一座问题。我们议论过最初的生命形式，已必定具有初步的创造能力、推理能力。有些人还进一步断言达尔文进化论是对心智上具有最好的现实性的模型的生命的竞争形式作出自然选择，所谓“最好的”是对生存和繁殖而言的。无疑，这里有某些真理。我们发现：我们能思考某些事物，当它与我们自身的尺度以及我们独自的意识可比拟时。但是当它们的尺度很小或很大时，我们的思想就有很大的苦恼。我们似乎不能够恰切地思考超过规范大小的事物。
恰如我们不能而狗能嗅到有些气味那样，为什么对于大脑，它的联结方式我们说“或许有我们不能思考的思想”就会使你感到如此惊奇呢？至今，进化也许可能使我们沿某种方向达到可能思考；然而存在不可思考的思想还是可能的。
结论
从所有这些，迫使我们作出两点结论：数学是不可理解的有效的；数学是我已给出的一切解释，简单地加上我曾说过不能解释的那一部分。我感到：我们必须试着解释为什么科学的逻辑方面（主要意指数学）是揭示我们当今宇宙的真正工具。我想我的解释很难与早期希腊人所作的那些解释媲美，这些解释说到了问题的物质的一面；世界的本性是土，火，水和空气。世界的本性的逻辑方面尚需进一步揭示。
[American Mathematical Monthy，1980年5月]