[提要] 本文对数学中“问题”的含义和作用进行了探讨，得出了问题是数学的核心的结论。作者围绕着“问题”这个中心，对主要的数学问题集作了简明而深刻的评述。指出在培养数学人才时，应把揭露问题置于比叙述事实更高的地位。并对如何提出高质量的问题给出了宝贵的建议。
引言 从本质上讲数学是由什么组成的？是公理（如平行公设）？是定理（如代数基本定理）？是证明（如哥德尔关于不可判定性的证明）？是概念（如集和族的概念）？是定义（如Menger对于维数的定义）？是理论（如范畴论）？是公式（如柯西积分公式）？还是方法（如逐次逼近法）？
没有这些要素，数学确实不能存在。它们都是不可缺少的。但是这些并不是问题的核心所在。数学之所以存在的主要原因是由于它能够解决问题。因此从本质上讲，数学是由问题和解所组成的。无论怎么说，这样的观点还是站得住脚的。
在大多数数学家的词汇中，“定理”是一个受尊重的字眼。但“问题”却往往并不如此。有时同行们使用的“问题”这个词，是指那些较低级的练习，规定给以后将学习如何证明定理的学生使用。但是，这种富有主观色彩的用语，却并不总是正确的。
自然数的交换律和复数域上多项式方程的可解性都是定理，但前者被视作是明显的（接近于基本定义，易于理解也易于证明），而后者则是深奥的（语句不那么浅显，证明要用到看来关系较远的概念，结果有许多出人意料的应用）。为三T游戏（在井字格上划圈和叉以定胜负）寻求一种不被击败的策略与确定Rieman-Zeta函数的所有零点也都是问题，但一个是明显的（任何一个理解定义的人，几乎不需要动什么脑筋，都能迅速找到解答。不会由此产生什么成功的感觉，结论也没有什么意思），而另一个则是深奥的（虽然有许多人致力于它，却还是没有找到答案。得出部分结果就需要作出巨大的努力，并具有深邃的洞察力。而关于它的确定答案必将包含许多不平凡的推论）。结论：定理可以是明显的，问题也可以是深刻的。相信数学的核心是由问题所组成的那些人并不一定是错误的。
问题集 论述数学问题的文献资料广博而浩瀚，其数量仍在增加，其内容丰富多彩。在这大量文献中，只是浏览一下标号为QA43（国会图书分类）的那一部分，就能给人以精神振奋与难以忘怀的感觉。当然还有散布在其他各个部分的数学问题的丰富来源。下面就对此作一简捷的评述。这里所述及的问题并不是信手拈来的。它们很可能十分典型，不是偶然收集的图书资料就能全面包括的。
希尔伯脱问题 由提供给数学工作者研究的问题所构成的问题集，是最冒风险的。可能也较难赢得荣誉。你的问题可能在几星期、几个月或者几年内即得到解决。于是你的工作就将比大多数的数学探索更快地过时了。如果你没有如希尔伯脱那样的才华，你就难以肯定你的那些问题是否是浅薄的，或者是根本无解的。或是提得很差的，反而使得与我们正在寻找的真理交臂而过——提炼不当，引导无方，没有长远的价值。
对二十世纪的数学研究起过巨大影响的研究问题集，是希尔伯脱于19世纪末在巴黎国际数学大会上给出的。那些问题具有不同的深度，涉及到数学的许多分支。累计到1974的大多数进展已经发表，并被收集在1976的一本文集中。但是数学家的求知欲并不到此为止。那以后又写出了相当数量的解释性的或实质性的论文。
Polya-Szegō 最负盛名内容也最为丰富的问题集，恐怕是Polya-Szegō的那本书（分析中的问题和定理）。它在1925年初版，1972和1976年又重版（英译本）。半个多世纪以来，它作用巨大，是许许多多个研究课题的主要来源，是一本标准参考书，是既力所能及又发人深思的各类试题的几乎取之不竭的源泉。那些问题的水平从中学一直伸展到研究前沿。
Dōrrie “数学的凯旋”是D?rrie那本书的原始标题（德文）。这本书应该受到更多的注意。其内容横贯古今，涉及2000多年的数学史实。它按难度从初等算术的内容一直安排到常被用作研究生课程论题的那些材料。集中的问题较为倾向于几何。书的风格和态度是老式的，但许多问题意义深远。这是可供阅读的一本好书。
Steinhaus Steinhaus的“初等数学100题”是一本波兰著作。它刚好有100个问题（像Dōrrie的那本一样）。这些问题基本上是初等的，且极有趣味。当提到“问题集”时，大多数人所想的就像这一本那样。确实，它是这类书中的一个卓越样本。书中的问题趣味不同，难度各异。此外，它阐述了解题的另一个方面：要猜测一个问题的难度是多么困难，因而又是多么有意思。有时在得到答案以前，几乎不可能正确判断问题的难度。
Glaznian-Ljubiō（有限维浅性分析：问题形式的系统表达）这本书是不同一般的（我不知道是否还有这种类型的其他著作）。尽管有某些缺点，它仍然是呈给问题文献的一本漂亮而且令人振奋的作品。实质上，这本书是（有限维）浅性代数和浅性分析的一种新型教科书。书的主体由问题组成，它们都组织成论断的形式，问题是证明它们。证明未在书中给出，但却附有提示。不过已告诫读者，他不需要寻求提示。本书真正的新思想是在于它的矛头集中：这是一本论泛函分析的书，是写给那些起初连什么是矩阵都不清楚的读者的。作者的真实想法就是要给初学者提供最简单明白的情形。那些能够阐明动机的情形，有限维的情形，那些泛函分析中已经发现的，某些最深刻的分析事实的纯粹代数的情形。应用这本书可以开设出一门漂亮的课程（我乐意承担），在这类课程中训练出来的学生，可望很快地成为一个正在起步的出色的泛函分析家。
Klambauer 这里要进行评述的最后一册问题文献是Klambauer的“分析中的问题与命题”。其内容是关于实分析的。虽然它确有某些初等问题，但总的水平却是较为高级的。这是一册佳作。它收集了一系列发人深省的问题，有流传较广与不那么为人所知的许多例证与反例，有标准的与不那么标准的各种证明方法。它在教分析（微积分以上）的教师，因此在每一个认真学习这一科目的学生的藏书中，都应占有一席之地。
问题课程 作为今天的教师，我们应该如何使用这些问题文献呢？赋予我们的任务就是将数学知识的火炬传给那些技术人员、工程师、科学家、社会科学家，以及传授给明天的数学研究人员。是否这些问题将对此有所助益呢？
是的，确有助益。每一种有意义的生活的主要部分就是解决问题。在技术人员、工程师、科学家的专业生活中，一个占相当分量的部分就是解决数学问题。一切教师，特别是数学教师在教学时，应该把揭露问题置于比叙述事实更高的地位，这是他们的职责之一。也许，步入教室，就Weierstrass M判别法作一番完善的讲演是更易使人得到满足的。而就此作一番探索性的讲解，并以“判别法中的有界性假设对它的结论是否必要”这一问题作为结尾，恐怕就不会有那种满足之感了。但是我坚持认为，这种探索性的，激励学生寻求反例的讲解，不可比拟地具有更高的价值。
我教过这样的课程、它的全部内容就是要求学生解决问题（然后提交全班）。在这一课程中，学生探索的定理总量大约是在讲座中所能讲到的定理数的一半。但是在问题课程中，探索意味着明智地考虑问题的态度，意味着找出要害以获得证明的某些技巧。而在讲座课程中，它所意味的更多地是仅仅了解定理的名称，于是或被它的复杂证明过程所吓倒，或者担心这一内容在考试中是否将被考到。
选择材料 许多教师关心的只是他们在课程中必须包括的材料数量。某玩世不恭者提出了这样一个公式：他说因为平均而言，学生只能记住你告诉他们的40%，故应该在每个课程中，设法塞进你希望教给的250%的内容。这不过是一种取笑而已，当然不可能做到。
为什么我们必须把希望学生最后将要习得的所有内容都包含进去呢？假设在一学期中，有40个学生必须掌握的重要考题，是否我们必须给出40个完备的讲座，并希望所有的学生都能专心致志呢？换一种做法是不是会更好些呢？对20个课题，只是每个花十分钟时间提及一下（名称、语句、指示一下应用它的某个方向），而对其他的20个课题，则深入研究，让学生解决问题，学生构筑反例，学生发现应用。我坚信，后一种方法会教得更多，教得更好。某些材料确实没有包括进去，但是许多东西却被发现了。因为方法本身可以打开探索的大门。在牢固建立起来的固定的事物结构的后面，竟然存在这样的入口处，这可真是没有预料到的啊；至于Weierstress M - 判定法本身或需要进行教学的别的什么材料——书和杂志都放在那里，学生只要研读一下就会知道的。
问题研究班 问题课程可以是讨论一个集中的课题，也可以通过讨论遍及几个领域的某些问题，致力于促进那种探讨问题的态度与改善技巧。那样的技巧课程有时称为问题研究班。它可以适用于各种水平（初学者，博士学位研究生或任一中间程度的团体）。
主持一个问题研究班的最好途径当然是显示问题。但是就如一个无所不知的教师在讲座课程中讲个没完一样，如果一个学识渊博的教师在问题研究班中问个没完，那同样是不恰当的。我强烈地推荐这样的方法：在问题研究班中，应该鼓励学生自己去发现问题（可从对在别处已接触过的那些问题提出修改问题开始）。对这些发现应予以公开表扬。就如你不应该把所有的答案告诉学生一样，你也不应该把所有的问题都交给学生。解决问题的最困难的一个方面，就是提出恰当的问题，而学会这样做的仅有途径就是实践。特别在研究水平一级，如果我向研究生提一个确定的论题，那我就不是在教他如何从事研究工作。一旦我不再管他，他将如何选择下一个研究课题呢？
不存在教会一个人如何提出高质量问题的简单方法，就如在教游泳或拉大提琴时没有捷径一样。但这不能成为无所作为的借口。你不可能代替别人游泳。你所能做的就是怀着同情的态度进行指导，并用赞同这个手段来强化他所摸索到的正确方向。有时你可给以劝告，帮助他从坏的提法中得出好的问题。但是没有任何方法可以替代反复的尝试和实践。一个明显的建议是：一般化。而不那么明确的建议则是：特殊化。一个比较高级的建议是：寻找推广的非明确特例。另一个众所周知的忠告是属于Polya的：把问题搞得容易一些。（Polya的格言应该被反复宣传，讲得详细一点，这是指：如果你不能解决一个问题，那么必存在一个尚未解决的较容易的问题，你的第一步工作就是找到它！）我最欣赏的建议是：提得尖锐一些。这是指不要立即致力于原始的问题（是什么……？何时是……？是多少 ……？）而是先集中到一个较容易的（但不那么明显）是非问题（是否是……？）。
跋 我确实相信，问题是数学的核心。我希望，作为教师，无论是在教室里，在研究班里，还是在我们所写的书籍文章里，都应该反复强调这一点。应该把我们的学生培养成比我们更好的问题提出者与问题解决者。
[American Mathematical Monthly，1980年87卷6期]
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* Paul R. Halmos在伊利诺大学获博士学位，曾任Von Neumann的助手。现在是印地安那大学的教授，Guggenheim会员。曾获得美国数学学会的Chauvenet奖金，并二次得到Ford奖。是英国爱丁堡皇家学会的会员，匈牙利科学院院士，1982年1月起任“美国数学月刊”主编。Halmos主要研究测度论、概率论，各态历泾理论，拓扑群，布尔代数，代数逻辑与希尔伯脱空间算子理论，有过许多著作和论文。他的“有限维向量空间”（1958）“测度论”（1950），“朴素集合论”（I960）与“希尔伯脱空间问题集”（1967）等八部著作已被广泛采用。