我的文章的主题是数学考古学，我的目的是追述一下两位学者的一部分研究工作。他们是奥托 · 诺基堡尔和他的同事、长期合作者阿伯拉罕 · 萨克斯。前者曾在1979年接受过美国数学学会的功勋奖，对我来说，写作本文也是一个偿还他俩债务的机会。1947年我作为一个新的助教授去布郎大学时，受到了作为数学史和天文学史研究班正式访问者式的欢迎。尽管我始终没有自认是数学史家，然而这段经历却给我提出一个写作本文任务。

让我先列出一张表。图1是一张楔形文字刻片的抄本，大约3×5（吋）大小。记号刻在嵌线湿陶的底部，要确定它的年代不很容易。猜想它可能是公元前1700年，约距今3700年在尼波的阿卡特制造的。

面对象征古代文化的人造物品，人们提出了几个问题：（ⅰ）这张刻片是什么？它的含义是什么？（ⅱ）它的最初的意图是什么？（ⅲ）它将告诉我们哪些有关文化和生产的信息？在科学史上，人们期待的既不是定理也不是严格的证明，而主题是一些充实的假设，甚至是些怀疑；在证明的地方，人们常常找到的只是一些证实：“我相信P蕴涵Q，并且因为我也相信Q，所以我也相信P”。

在图1中，我们画一条竖线，将它分割成第一、二列。在第一列，我们看到的似乎是由1到9的计数符号。与之相对，在第二列我们看到的是9，1和8，2和7，3和6，这启发我们去设想拿到的是一张以9为因子的乘法表。再核查下去，我们看到5和4却在第6行，证实了猜想。但是在下一行，我们看到7旁边的像是一个1和一个3。

我们修正一下我们的猜想；我们正在处理的不是十进位制，而是一种混合进位制。这里有一个十进位的子系统，它用一种符号代表单位，另一符号代表10，但是此系统的较大的进位是以60为基数的，1和3实际上代表60+3=63。因此我们马上猜到：同样的旗形符号被用来表示十进位制数字10，60，(60)²，(60)³等。

因此我们从一张简单的刻片上，已猜测得出了一个完整的六十进位制数系。然后，我们通过核对其它刻片，寻求证实，希望在那里能看到同样的数制。确实在下一世纪制成的数千巴比伦刻片中，看到了一些如同图1中给出的同样类型的乘法表，有许多完全一样的复制品。

我们看到书写巴比伦数字是繁琐的。本文中60个基数将用通常的十进阿拉伯数字（0到59）书写，用符号“/”分割不同的位置。“单位位置”通常写在右边，这样

7/13/28就表示28+13(60)+7(60)²=26008相加是容易的

如果我们把带有乘法表的刻片，按次列出，可以见到某些奇怪的现象。许多9的，12的乘法表发现了。但也有些不大像乘法表，尽管我们不希望它们出现。图2中我们列出那些常见的表。

我们遇到了三个难题：（ⅰ）为什么找不到（例如关于7、11、13、14的）某些表？（ⅱ）为什么有些表带有因子：3/45，7/12，7/30，和44/26/40？（ⅲ）为什么精确相同的乘法表的刻片如此之多？已找到了一些线索。例如：存在含有两种不同类型的同一乘法表的刻片，一种简洁，一种不简洁，甚至也许还带有一、二个错误。我相信你脑中马上会呈现出一幅熟悉的图景。一批学生抄录了教师给出的表。在尼波可能有一所很大的培养官员和僧侣的学校。

为了有助于回答第一、二问题，让我们再来核查一下其它刻片。为了方便起见，我已将它写成阿拉伯记号（见图3）这里再次填上两列已见过的数，我们来寻求一个解释。我们立刻会注意到，在前几行相邻列出的数的乘积总是60，当然，似乎也有些例外，9和6/40这对数的乘积是

如果我们用巴比伦形式写出这些乘积，回答就会明显了；因为60是1/0，3600是1/0/0，216000是1/0/0/0，为了证实，再看看表中最后一行。

（1/21）×（44/26/40）=（81）×（160000）

=12960000=1/0/0/0/0

如果我们现在也沿用巴比伦的消去末尾零的做法，就能看到图3只是一张写成“六十进位制”的倒数表。如果A是一个第一列中的整数，那么选定为第二列中的整数是A^R，使得它们的乘积可以写成“1”，意指是任一个适当的60的幂。在表中出现的这个整数将总可以分解成2，3和5的幂，因为这些数在六十进位制中，总具有倒数。

现在图3可以理解了，我们能回答上页中留下的两个难题。我们看到如在图2中，常被用来生成乘法表的整数，大部分取自标准倒数表（也有些刻片，含有非标准倒数，如7、11等数的倒数）。在浮点法中，B÷A=B×A^R，因此，一组乘法表和一张倒数表结合在一起，能容易地进行浮点除法，倒数表提供形如2^α3^β5^γ的“好数”之一。例如，让我们在六十进位制中用24去除417，即6/57÷24=17/22/30。

如果人们记住30=2^R，在计算中的最后一步就更容易，因为用30去乘是和用2去除是一样的（当然抄写员必须精确地保持实际长度的空白处和位置）。

根据一个相当重要的发现，用这种方式作出的普通的计算变得更为巧妙了。这是一个经雕刻过的圆柱，在它表面布满了一张标准倒数表和一张标准乘法表的抄本（在图4中我们展示了这个存储信息，每一乘法表都由它的因子表明）借助这个圆筒，也许要爬上支架，一个抄写员能够容易地求得税款和工资数；也许这里就是巴比伦算尺和台式计算器！

在对巴比伦算术作了一个大致的介绍后，我们转到另一张刻片上，它的数学含义直到涅基巴尔和沙切斯之前，未能研究出什么结果。它保存在哥伦比亚大学乔治 · 阿 · 泊里姆屯收藏的罗尔书籍和手稿图书馆中。通常称它为泊里姆屯322。这张刻片的左边有些腐蚀；在左棱上有用现代胶水胶合的痕迹，使人想到最初贴合在这里的刻片角已经遗失或被偷。由于它是从市场上买来的，对它的真实来源和日期只能作些估测，尽管按文学的风格，我们猜想它在前1600年。由于和大部分刻片相比，它已经有了假设性的一般说明并且已被编入目录报告。我们试图说明，人们为什么可以由它引出另外一些设想。

首先让我们把它译抄成阿拉伯记号，如图6所示。我们已经重写了三个主要的列，现在标以A，B和C。我们注意到在A列，由于腐蚀有些空隙。但是它还是显示出了这些数在平稳地减少，我们注意到有些数长，有些数短，它们是任意的。与此相比，在B列和C列中出现的数都是比较短的，我们没有看到它们有单调性。

由于对我们来说，使用阿拉伯数字工作较为方便，让我们把B、C列转抄成阿拉伯数字，并且来寻找它们的模式（见图6）。我们立即见到B列的数比C列小，只有两个例外。经考察还发现B列只含一个素数541，而C列却含有8个素数。

在前20000个整数中，大约有2300个素数，约占10%；因此从一整数区间中，任意选出15个整数，我们可以期望其中有一个或二个素数，而确实不会有八个素数1这立即告诉了我们，这张刻片的含义是数学，而不只是算术（你可以设想，这正是在按前几个零星单纯群的次序列在刻片上的）。

人们渴求寻找较为明显的模式。例如，通过各种方式把B列和C列组合起来，最简单的试验一下马上成功了。在图7中，我们写明了C+B和C－B的计算结果。如果你有意识地去算一算，就会注意到，在几乎所有的情况下，每个数都是一个完全平方数的二倍。

如果C+B=2a²和C－B=2b²，那么B=a²－b²和C=a²+b²，因此这些列中的数，可由整数对（a、b）生成的。

在图8中，我们已重抄了B列和C列，并且将估算出的可能的数对（a、b）放在一起，作一个进一步的证实。我们把它放在右边，发现在每个数对中，数a、b都是“好数”，即可以因子分解成2，3和5。有5行，这种模式遭到破坏，没有数对出现。如果我们能说明这些差异是由于抄写员作出的错误，那么上面的设想就能进一步得到证实。我们作一简单假设，并且假定B和C中每一个都可由数对（a、b）独立地计算出，还假设这几个错误只涉及一个数。因此对每一空白处，我们假设B和C，其中之一是正确的，另一是错误的，并且试着去复原这个正确的数由于我们尚不知正确的数对，也必须去寻求它；考虑到表中其余数所显示出的性质，我们坚持：一个可以被接受的数对，必须由六十进位制中的“好数”组成。

首先我们来看第9行；这里B=541，是B列中仅有的素数，因此我们假设B是错误的，C是正确的，因此写出C=769=a²+b²，它只有一个解，为数对（25，12），（我们也要注意它们是六十进制中的好数）。如果这是正确的，那么B应是(25)²－(12)²=481，用它代替541。对这个错误有一明显的解释吗？有的，因为在阿拉伯记号中的541=9/1，481=8/1。这个在第9行中的异常，看来只是一个抄写错误。

现在看第13行；这里B大于C，和模式相反。假设C是正确的B是错误的，试试看C=289=a²+b²，有“好数”的唯一解（15，8），用此我们可以得B的正确值是(15)²－(8)²=161，我们马上会再问，为什么会达到已给出的不正确值25921，有没有一个明显的说明。一个回答立刻来了：(161)²=25921；由于某种原因，抄写人员把B误写成了它的平方。

继续看第15行，由于B=56和C=53，成了B＞C，不符合一般模式。但是，是B太大还是C太小这是不清楚的。先试一下假定C是正确的，解53=a²+b²，得唯一解为（7，2），由于7不是一个六十进制好数，我们不能采用它。再假设B是正确的，写成56=a²-b²=(a＋b)(a－b)，有两个解（15，13）和（9，5）。我们拒用第一个而用第二个，得到9²+5²=106，把它作为C的正确值。再寻寻解释看，注意，由抄写员写出的53恰好是这个正确值的一半。

现在转到图8的第2行，我们有B=3367和C=11521，其中或这个或那个是正确的。假设C正确的，C=a²+b²，有两个解（100、39）和（89、60），其中100，60是好数，但是39和89却不是。所以不能用这些数对，再假设B是正确的，写出3367=(a－b)(a＋b)，用所有方法分解，可得四个解：（1684、1683），（244、237），（136、123），（64、27），其中我们能接受的只有最后一个数对。这样就有(64)²+(27)²=4825是正确的C，与刻片中出现的数11521相比较，我们不能立即得出对这个错误的朴素解释。例如由于4825=1/20/25和11521=3/12/1，这不能看成是抄写上的错误。在第2行合数的重新构造中，没有一个能使我们多少有点相信的解释。

在表中最后—个错误在第11行、这里有B=45和C=75，这也是不平常的，因为这里B和C有一公因子。这里不适用平方的和差模式，因为B＋C=120和C－B=30，都不是平方数的两倍。但是，我们转回到六十进制记号，并且记住我们使用的浮点，事情就变得清楚了；因为120=2/0，是1/0的两倍，后者可以写成1，显然是一个完全平方数；同样30是15的两倍，可写4^R是2^R的平方，这样模式被保住了，不正确地给出了结合数：用a=1=1/0和b=1/2=2^R=30=0/30。我们有a²=1/0，b²=0/15，且

C=a²＋b²=1/0＋0/15=1/15=75

B=a²－b²=1/0－0/15=1/45=45

（第11行结合数另外的含义在以后再说）

做了这些以后，我们已经完成了对这些原始刻片的编纂工作。在图10中，我们给出了B列和C列的正确的表，和测算出的数对放在一起。

现在提出第二个问题：这个表所隐含的目的是什么？在这个方向上的猜测不够严格，因为路子并不同上那样明显。我们可以从探究形如a²－b²和a²+b²的数，是否具有特殊的性质着手。在如此做的时候，我们宁可用二十世纪的眼光来审视一下古巴比伦的工作，而不用原始的观点。此外，一种既涉及代数又涉及几何的联想是极为主观的。对于任意数（整数）a和b

没有什么独特的信息表明，当时在巴比伦已经知道了这些事实。我们猜想这些刻片在较后才被抄出，尽管他们的代数学已能处理二次方程的求解。如果这些刻片确实和这种看法有联系，那么未知的A列上的数应该以某种方式和同一个三角形有联系。因此下一步应如前着手去试验B，C和D的多种不同的组合，希望其中之一将能接近A列中的数。斜度和斜率显然是一个出发点，所以人们去计算C÷B，C÷D，B÷D等。不顾几次失败，人们达到了组合(B÷D)²。在图11中我们给出了这个式子的值，它是从B的正确值和使用（a、b）为假设值算得的乃计算得到的。

如果我们现在回到图6，并且将在A列中给出的数与那些在图11中出现的数作一比较，我们就看到它们几乎完全一致。例如，在第10行，我们有一精确的八位的六十进制数的复本。在这种可能是独特的基础上，这是一个毋庸置疑的证实。当然在刻片的顶部由于腐蚀有些空隙，图6和图12也不尽相同。但是明显地图11中算出的数据可以填入空隙。两种表中有两个小的差异。在第13行，刻片未曾表明在图12中出现的一个内含的“0”，这可能是抄写人员在做此类工作时的一个习惯。第8行应是连贯的两数“45/14”处，抄写员写了一个数“59”，由于59=45+14，不难发现几个地方出现过类似的错误。

应该看到诺基堡尔和萨克斯，并不使用(B÷D)²代表A列，而是用(C÷D)²。由于B和C之间的关系以及公式（*），可见(C÷D)²=(B÷D)²+1，因此仅有的影响是在图12中出现的一切六十进制数之前加上了一个“1/”。这样选取的理由是他们相信，对Plimpton（泊里姆屯）刻片中的A列，这样取值是正确的。当然另外一些也核看过刻片的人并不同意这种看法。

现在，参照图11我们知道A，B和C列的关系。C是斜边，B是垂直边，A是三角形斜率的平方，用现在的记号：A=tg²θ。观察第11行的差异是有趣的，B=45，C=75，表明是为大家熟知的3，4，5三角形。在巴比伦，它应看作是3/4，1，5/4三角形，由于45=3×4^R和75=1/15=5×4^R，当然这三角形，D边和参数（a，b）都是我们构造的，并不在原始刻片中直接出现，我们无需论争而能断定的一切只是A=B²÷(C²－B²)。

这些复原，如是正确的，必将有助于理解巴比伦数学家思考的深度，为呆滞的算术注入新的生命力。

[The American Mathematical Monthly，1980年]