数学在许多科学的发展和形式化过程中起了整合的作用，因而，自然地会讨论到数学和系统科学的关系。系统科学已经大量地使用了数学，尽管把系统科学看作是属于数学的和逻辑的领域（伯林斯基，1976）肯定是不恰当的。系统科学向来被看成是哲学、数学和方法论的一部分（贝塔朗菲，1969），它研究的是构成——客体或现象的组成部分之间的相互关系。许多系统方法已从较为传统的科学，如数学、生物学、工程技术和物理学中发展起来。传统的科学方法倾向于在实验室研究组成部分及其孤立行为，而系统科学的方法则倾向于在其自然的前后联系中来研究组成部分的相互联系作用。许多传统方法是还原论的，而系统科学的许多方法是综合的或整体的。这两种方法（还原论的和综合的）是互补的，它们共同对实在现象给出了更复杂的理解。在传统学科方法和系统科学方法之间，有相当大一部分迭交，虽然在这些学科内部，对各种方法的侧重面不一样。数学的方法被广泛地应用于传统学科和系统科学之中。任何人都不能像伯林斯基那样（1976），断言数学方法对某一学科不适用，因为在一个学科的范围内，要涉及到数学的各种不同分支。例如，像微积分、自动机理论、集合论、群论和图论这样一些数学分支，就被应用于系统科学之外的许多学科。

由于数学的高度复杂性。新奇性和精确性，许多人对之望而生畏。但是在科学上，各种不同的数学形式，为我们提供了描述和预言的工具。一种数学关系，常常能够对科学研讨的规律提供一种形式表示。有时，数学的关系被误认为是它们所描述的实在现象。的确，从毕达哥拉斯和亚里士多德时代以来，这一直是个错误的和争论不休的问题（邦格，1959）。函数离开了它们从中展开的数学框架，孤立起来是没有意义的。任何数学关系都能描述许多实在现象，反过来，任何实在现象，也都可以用许多数学关系加以描述（波普尔，1959）。同函数相关联的语义描述，在描述科学规律时，其重要性至少不亚于该函数。语义学把数学同实在世界联系起来；语义学和数学共同为科学家提供了有用的解释和预言。

如果一种数学形式（无论是方程还是等式，是微分还是非微分）的因果解释是合理的，那么它一定是加到该数学实体上的。像对应这样的语义规律（属于上述的综合形式），常常要借助于文字来表达；换句话说，这一解释并不属于数学符号本身，而属于将符号同物理的、化学的和生物的实体联系起来的（语义的）系统或关系（邦格，1959）。

语义学也许是描述科学规律的更普遍的方式，因为有许多语义的表示，用数学是无法适当地表达出来的。一般地说，数学能使语义学更加精确而不含糊。

数学能表明它是会束缚科学的视野的，特别是，如果科学家所熟知的只是少量的技巧时；数学的人造物能对实在作出特殊的解释（邦格，1959）。不管一个科学家是不是倾向于连续而不随机的模式，他都能有力地影响一个实验的设计、数据的解释或新假设的产生。我们无法证明实在的真正性质是连续的还是非连续的，是决定的还是随机的，是有限的还是无限的；这些特点是数学的特性，而不是实在的特性（邦格，1959；卡斯蒂，1979）。在数学上，不连续的模式常常能产生和连续的模式等价的结果（反之亦然），同样，或然的模式也能产生和决定的模式等价的结果。尽管罗素说，微分方程是表示自然规律的唯一适合的工具，而大多数哲学家都一致认为这是一种夸大其词的说法（邦格，1959），原因是许多数学关系都有表示一个自然规律的适合形式。

微分方程不仅不是科学的唯一数学工具，而且它们并不反映因果关系——决定的一种最简单形式。其实，微分方程，即使以实质语词得到了适当解释，并不是说变化是任何事物引起的，而只是说，它们是伴随或跟随某些其它变化而产生的……总之，微分方程不是一般的生成的镜像，也不是特殊因果关系的镜像；有时借助于特设的语义学规则，我们能够赋予它们一种因果的意义，但这只有通过其它数学对象形式才能办到。简单说，因果性问题不是一个句法问题，而是一个语义学问题，它必须和理论的解释发生关系，而无须和理论的表述和表示发生关系（邦格，1959）。

数学和自然规律间的这种关系，应当由系统理论学家在其致力于探索和描写支配具体系统行为的自然规律中加以研究考察。数学为描述这种规律提供了最有效的方法。

邦格把实际支配存在和生成的规律（规律1或客观规律）同哪些由人的思想重建的规律（规律2，科学规律或规律陈述）区别开来。客观规律（规律1）实际上是科学家试图用科学规律（规律2）描写的不可知的关系。科学规律只能是客观规律的粗略表示或近似。按照阿科夫的做法（1962），科学规律又可进一步分为概念的范畴和操作的范畴。概念规律指的是那些自然构造的规律，操作规律通过测量或其他方法论活动，把概念规律和实在联系起来。数学是表示概念的科学规律和操作的科学规律的工具，但是方程本身不是支配实在的客观规律。把规律分为客观的范畴和科学的范畴，就是把系统分为具体的（客观的）系统和概念的系统（米勒，1978）。具体的系统是一些由能量和物质组成的客观的、相互作用的客体；而概念系统是一些建筑在人脑中的客体。系统科学的目的，是在一个单独连贯的理论内，发现和描述支配具体系统的行为和结构的客观规律。尽管有人把具体系统同方程系统相提并论（伯林斯基，1976），但这是不恰当的。方程系统是概念的，它们和实在的客观的（具体的）系统，仅具有某种有限的共同特性。拿方程来证明实在或反证实在，是不会有什么结果的。尽管可以用方程来为实验——它们可以证明一个有关实在的假设或理论——指出方向（波普尔，1959；普拉特，1976）。

数学作为描述的方式不是任何具体科学固有的。然而，数学的不同分支对每门实验科学说，多半是适用的。代数方程，单微分、差分方程和概率函数，对天文学、物理学和化学一直是适用的，至少到目前为止是这样。多值统计方法，微分或差分方程组，模糊集合论，以及其他更抽象的数学分支，对于描写和分析经济学、生态学、社会学和心理学这样复杂的客观系统，往往是必不可缺的。复杂的客观系统模型，往往要涉及到许多时空极为集中而变化的变量。这些变量通常与大规模的散射现象有联系，这种现象用传统方法处理是困难的。所以，模糊集合论和多元多值统计理论，可能常常要比像代数、微积分和有限机器这样的决定论方法更适合。这些规律被认为普遍适用于不同领域的大数量的客观系统。尽管传统技巧经常能派用场，但还有必要发展和采纳其他领域的新技术。为了描述实在的现象，其中许多技巧被用于数学模型中。

数学模型，如果它们普遍到足以描述大数量的物理现象，那么，就可以把它们看作是按层次组织起来的规律陈述。因为表示多个客观系统的数学模型数量很大，分析的解法往往是不可能的：因此，就需要计算机解法（模拟）。处理复杂系统的模型框架，如J. W. 福雷斯特的必威在线网站首页网址 模型（福雷斯特，1961；皮尤，1976）和H. T. 奥多姆的能量模型（1972，1976），已经发展来处理一般客观系统中的能量、物质和信息流。但是，这些框架也可能会束缚研究工作，因为它们迫使科学家用一种特殊的、有限制的方式来阐述问题。例如，这两种模型语言是必威在线网站首页网址 的，没有明确地考虑空间变化，而这种空间变化，对于说明许多发展的、进化的和组织化的现象，常常是必要的（普利高津，1980）。实际上，这些模型框架的创始人，已为它的使用者（他们不赞同系统成分必须相互作用的这种方式）做了大量的概念构思工作。如果对这些限制和假设给以说明，它们可能成为有用的模型工具。它们的确只是对实在的粗糙的、概念的近似，但我们不应当因为它们不能随时精确地预言或考虑到实在的所有重要特征而小看它们。工程技术人员，用线性系统理论的技术（札德和德塞尔，1963；梅莎罗维奇和塔卡哈拉，1975）和控制理论的技术（贝尔曼，1967；迪斯特范诺，1963；斯图贝鲁德和威廉斯，1967）来处理人造客观系统，这种线性技术有可能束缚科学的发展，如果模型超出了线性表示便不能前进的话。许多工程技术，如拉普拉斯变换，博德分析，尼奎斯特分析和矩阵分析，在现代计算机技术出现之前就发展形成了；今天，它们已不再像以往那么有用了。使用线性数学，不是说所模拟的现象是线性的，而是说，模拟的现象能够通过线性数学接近。线性数学的运用，是朝向数学形式化的科学进展中的一个初始阶段；非线性的高阶项，以更精细的方式加入了数学，而且得到了度量。

必须看到，线性系统理论本身不是目的，它可能会限制科学的发展。线性系统分析对现代技术的发展作

出了重要贡献，这一事实证明，线性近似是富有成效的。如果因为线性系统理论在过去很少处理非线性问题而说它是“低下的”（伯林斯基，1976），这是不恰当的，我们据以评判科学技术的最终标准，是它在同现实世界打交道中的成功，而不是数学的精确性。线性数学有支持它使用的丰富哲学历史，因为直到最近，因果关系还被看作是一种线性算子（邦格，1959；帕顿、博塞曼、芬恩和卡勒，1976），而且，现代科学在它的影响下进展良好。但是，要把非线性数学从科学中排挤出去是不合理的，随着系统科学的成熟发展和为了进一步提高描述客观系统的能力，将不可避免地会有更多的非线性技术增加进来。

在系统科学和其他学科中，数学曾经是并且将继续是科学描述、探索的有用工具。但是必须持谨慎态度，防止数学或模拟工具的这种特性左右科学家的视野。数学和自然规律是不一样的，尽管它们在描述中都可以是重要的工具。数学和实在的客观系统不同；它们之间仅仅具有某些原始的共同特点。系统科学家把他们的数学、他们的模型和实在系统的特性区别开来。阿考夫（1962）的下面一段话，适切地表达了现象的定性特征和定量特征之间的关系。

重要的是必须看到，定性预言可能涉及量化……能够定量表示的任何特性，也能够定性地加以处理……同样地，任何有限制的特性，都潜在地能在这一范围内按一定标量表示出来。照这种办法，我们说不定永远也无法说明所有的质，不过，随着科学的发展，它将会把越来越多的质转变为等价的量的表示。但这不是一种片面的发展。因为科学在研制出更多的度量方法时、它还需要新型的定性判断/任何阶段的定量都依赖于定性。在这一阶段是定性的，在另一阶段可能是定量的。但是，不论在哪个阶段，都需要某些定性判断。因此，科学的进步不仅表现为有效定量表示（度量）的能力的提高，而且还取决于有效的定性表示能力的增强。

数学描述虽然是我们可能采用的最有用的描述方法之一，但为了使数学描述有意义，语义描述仍然是需要的，然而，为了使语义描述有意义，数学却往往不是必要的。

总之，数学在系统科学以及在其他科学中的作用，一直存在着争论。的确，系统科学由于它运用某些数学学科而不断地遭到激烈的攻击（伯林斯基，1976）。在系统科学中，如同在其他实验科学中一样，绝不应该把数学误认为是科学描述和科学探索的一种唯一有用的工具。

尽管科学哲学家有过长期而有说服力的讨论，某些科学家还是一再地把数学方程和函数误解为他们所要描写的自然规律。公式虽是科学家的重要描述方式，但它们本身是不完备的；为了使公式不含糊而有意义，就需要有语义描述。许多哲学家和科学家认为，定性描述比定量描述优越，因为方程离开了使它自身和实在世界相互联系的语义描述，是没有意义的。

科学及其数学工具之间的关系不是静止的。应用数学的发展必须同科学的进步并驾齐驱。所以，不同的科学学科，总是与它们的特殊问题最密切相关的数学分支联系在一起的。系统科学，过去，已为数学的应用和描述提供了新的、富有成效的途径，今后，它将继续提供这样的途径。

[Behavioral Science，1981年10月第4期]