莱布尼茨

莱布尼茨（Leibniz1646 ~ 1716）德国著名的哲学家、数学家、逻辑学家，是数理逻辑创始者。

莱布尼茨学识渊博，对哲学、物理、工程、生物、历史、语言等都有深入的研究。他与牛顿几乎同时创立了微积分。

主要著作：1. 《单子论》2. 《人类理智新论》。他的逻辑问题的论述主要是在以上作品以及一些短篇文章和通信中。

在他之前，数学家笛卡尔和霍布斯也曾提出过“普遍数学”的设想，但没有去实地尝试构造。莱布尼茨年轻时就认为逻辑可能与数学相匹配，因此在他脑海中迫切希望创造新逻辑。他有一个巨大的计划，要建立一种理想的“通用语言”，利用它来进行推理。在二十岁以前所发表的早年著作《论组合术》中，就提出过改革逻辑的两次计划。其一是创立一套通用语言，以消除现存语言的局限性、不规则性。其二是设计一套推理的普遍演算，把它作为工具去处理通用语言，规定变换规则、运算规则，使逻辑演算按确定的办法进行。这个看法对现代形式逻辑的发展是十分重要的。尽管这两件事没有得到实施，但是其功能已为今天的数理逻辑家部分地加以实现了；也许今天的数理逻辑学家并没读过莱布尼茨的作品，但是他们的研究工作大体上还是沿着莱氏所指方向进行的，为此大家承认莱布尼茨是现代形式逻辑的首创者。

他终身努力的主要动机可以从他自己的一段话中看出。他说：“我们要造成这样的一个结果，使所有推理的错误都只成为计算的错误，这样当争论发生的时候，两位哲学家和两位计算家一样，用不着辩论，只要手里拿起他们的铅笔，坐在计算器前，面对面地说，让我们来计算吧！”

他的具体设想是这样的。所有概念都可归约为几个确定的基本概念，这些基本概念则构成“思想的字母表”；通过相乘，可由基本概念得出复合概念；基本概念之间不得自相矛盾；以此出发，莱氏力图构造形式的演绎逻辑。他认为：“我们所有的推论都只不过是书写符号的联结和代换，而这些符号是代表词语、标记还是图像则可以置之不顾。”

莱布尼茨开始以素数代表基本概念，复合概念由它们的乘积代表，而逻辑的演算则只是算术的乘法。例如：以素数3代表“思维的”，素数7代表“动物”，则“人”作为“思维的动物”，应以21=3 · 7表示。根据莱布尼茨的约定：所有知识是分析的。所有有效谓词都包含在主词之中。命题“所有A是B”为真，如果代表概念A的数，可以被代表B的数除尽。

莱氏在文章中还用符号陈述了四种命题A、E、I、O如下：

A、所有A是B：AB=A或A（－B）=0

E、所有A不是B：AB=0

I、有些A是B：AB≠0

O、有些A不是B：AB≠A或A（－B）≠0

其中AB表示既是A又是B的类，莱氏还正确地推导：如果AB=A（所有A是B），YAB=YA（有些A是B）；但是如果AB=A，不能推出YAB≠YA。因为如果Y=B，仍可有YAB=YA，这是他最为成功的陈述。他的计算原则是这样的：

1、包含在某个变化的字母中的任何事物，也包含在满足同样条件的另外的字母中。例如：由于所有ab是a为真，因此，所有bc是b以及所有bed是bc…为真。

2、字母可以对换；例如ab和ba是同样的。

3、重写字母是可以的

4、把任何数目的主语联成一个主语，把任何数目谓语联成一个谓语，可以组成一个命题：因此：a是b，c是d，e是f，可以换为ace是bdf...

5、任何多于一个谓词的命题，可以分成若干命题，其中主语与原命题同，谓语是已知谓语的一部分。如果所有a是bcd，那么可分成所有a是b，所有a是c，所有a是d等。

以上介绍了莱氏的数理逻辑方面的工作，其实他对传统也是作了深入研究的，他对三段论是赞叹不止的，他说：“我认为三段论的发明乃是人类精神最瑰丽、也是最重要的发现之一”，通过研究，他也作了补充，但是他主要贡献还是在数理逻辑方面。

莱氏尽管没有能建立符号逻辑的体系，但是他为建立数理逻辑却作出了许多贡献，“人们提起莱布尼茨的名字犹如谈到日出。他使亚里士多德逻辑开始了‘新生’，……这种新东西是什么呢？就是把逻辑加以数学化的思想。”

布尔的逻辑代数

布尔（G，Boole 1815 ~ 1864），英国著名数学家，创建了以他命名的逻辑代数系统，成为继莱布尼茨之后数理逻辑又一创始者。

主要著作：

1、《逻辑的数学分析，论演绎推理演算》，发表于1847年。

2、《思维规律的研究，作为逻辑与概率的数学理论的基础》。发表于1854年。

随着数学的发展，逻辑学家中逐步酝酿逻辑的数学表示。莱布尼茨首先看到了这种可能，他把逻辑中的合取和析取与数值的加法和乘法作了比较，看到了它们之间的共同之处，但是始终没有找到精确有效的表达方法，布尔不仅也看到了这一点，并且凭他卓越的才干，创建了代数系统，完成逻辑演算工作。“我们能够在布尔的划时代的著作《逻辑的数学分析》中找到一种示范形式展开的清晰表达，这方面它是优于许多后人著作的，其中包括罗素的《原理》”，这是著名现代的逻辑史家波亨斯基对他的评价。

布尔是这样描述他的系统的，他认为作为推理体系的语言的所有运算，都可以由符号构造出来。该系统有

1、文字：X、Y等

2、运算符号：＋、－、×等

3、相等符号：=。

把X、Y叫做选取符号。X代表在论域中选取所有X的结果，Y代表选取所有Y的结果，以XY（即X×Y）表示相继两次选取运算的结果，组成既是诸X又是诸Y的物的类。这样的选取运算，作用的结果与次序无关，即‘既是X又是Y’的类与‘既是Y又是X’的类是一样的。可用下列公式表示

1、XY=YX

同样的分析可得以下公式

2、XY=X

这称为指数律，它是不同于普通代数运算的重要的规律。布尔还用符号‘＋’作为词语“或…或…”所表达的集合运算的记号。这样X＋Y意指‘或是诸X或是诸Y’的事物的类。除外运算由减号表示，这样就还可得其它一些规律。

3、X＋Y=Y＋X

4、Z（X＋Y）=ZX＋ZY

5、Z（X－Y）=ZX－ZY

6、X－Y=－Y＋X

7、如果X=Y，那么ZX=ZY

Z＋X=Z＋Y

X－Z=Y－Z

显然，上述诸项，至少有相当部分与普通代数运算是一致的。

布尔不仅构作了代数系统，而且也十分明白地对系统作了逻辑的解释。他认为通过分析可以看清楚，一个系统可以作多种解释，并不影响所涉及的关系的真实性。事实上他对自己的系统作了类演算、命题演算的解释。

关于类演算：布尔把1看作全类、把0看作空类，将乘、加分别看作合取、析取后，论证了它们也满足七条规律，并用之处理了传统的逻辑问题。

例1：关于矛盾原理。矛盾律断言：对于任何事物，它既具有某一性质，又同时不具有这一性质是不可能的。布尔从指数律X²=X出发，推得X^2－X=0。

X（1－X）=0

将符号X看作具有某种性质，那么（1－X）就是不具有某种性质，所以上列方程表示；同一事物，既具有某种性质而又不具有某种性质，是不可能的。这就是矛盾原理的代数表示式。

例2、关于三段论，布尔把所有Y是X表示成

Y（1－X）=0

所有Z是Y表示成

Z（1－Y）=0

然后，使用自己的展开方法，可以消去Y，解得方程

Z（1－X）=0

它的含义就是：所有Z是X。这样布尔就用他的纯粹代数方法，取消了三段论两前提的中项，得出了三段论的结论。

布尔还把他的代数系统作了命题演算的解释。命题只能接受真、假两种可能情况。真用1表示，假用0表示。这样复合命题的真假就可以通过布尔的演算由成分命题的真假唯一确定。这就是现代所用的真值表的方法。采用这种方法，不仅能处理传统逻辑中的问题，而且还能处理传统逻辑极难处理的问题。布尔自己就举出了将近二十个例子。现引其中之一。设有四种性质a、b、c、d经实验知

1、如果a、b同时出现，则c、d必有且只有一出现；

2、如果b、c同时出现，则c、d或同时出现或同时不出现；

3、如果a、b均不出现，则c、d也均不出现；

4、如果d均不出现，则a、b也均不出现。

问如何由b、c决定a。显然，传统逻辑对此是无能为力的，使用布尔代数，可以得到正确答案：当b不出现而c出现时，a必出现；反之当a出现时，b和c中必有一出现。

当然布尔当时所建的系统，由于过于追求数学化，并且采用了排斥析取，使问题的解答过程过于复杂，带来了一些不必要的麻烦，这为后人所克服。但是不管怎么说，布尔确实建立了一个完整的代数系统，并且作了逻辑解释、这样就为现代形式逻辑的发展奠定了基础。

弗雷格的贡献

弗雷格（G. Frege1848 ~ 1925），生于德国，1874年在耶拿

2、《算术基础——对数概念的逻辑数学研究》（1884）

3、《算术的基本规律》（1893）

弗雷格的主要贡献如下：关于演绎体系的构造：在他以前逻辑学家所考虑的主要是像几何学那样，如何由公理推出定理。而并未把逻辑学本身也表示为一个由公理和定理推导出的演绎体系。他的方法的基础是系统地列举一些有关简单命题的可能的真值，并进而列举它们所有可能列举的真值，用它明晰地定义各种真值函项关系，由此确立简便的演算规则，构造了最早的命题逻辑的公理系统。

在他的命题逻辑系统里，初始概念是否定和蕴涵两常项，有六条公理，两条推理规则。六条公理是

两条推理规则是分离规则和代入规则。

在此基础上引进了量词，再增加三条公理和两条推理规则就构成了一阶谓词演算。三条公理是：

弗雷格还区分了一阶逻辑和二阶以及高阶逻辑。他用一条垂直短线加上一条水平短线——表示右方的记号或记号组会（代表命题）是被断定的；垂直短线“∣”称为判断短线，水平短线“－”称为内容短线。把连结两条水平短线的垂直短线称为条件短线。

由于他的符号较为难懂，因此他的著作长期不为人采用，对逻辑界影响较少，直到罗素大力提倡后才为人们重视。

关于涵义和指称。弗雷格从考察专名和摹状词着手，区别了名称的涵义和指称。名称的涵义是名称所表达（意谓）的东西；名称的指称是名称所指的事物。弗氏指出“昏星”和“晨星”有不同的涵义，但有相同的指称——金星。然而规定了所有真命题指称为真，所有假命题指称为假。他提出了外延论题：命题的指称是它的真值，当某个命题的成分用具有同样指称而不具同样涵义的等价式替换时，其真值不变。例如：从“晨星是太阳所照耀的物体”替换为“昏星是太阳所照耀的物体”后，意义是变化了，但其真值不变。弗氏的涵义和指称理论对于现代逻辑语义学的形成有重要影响，许多论述被现代语义学采用。

最后我们还要说一下弗雷格的数学可以归结为逻辑的思想。他认为算术连同其它数学都可以化妇为逻辑，并且致力他的引人注意的发现。这就是后人所称为的逻辑主义思想。一般来说，算术是数学中的最基本部分，其它数学都可以用适当的办法划归为算术。故如何从逻辑导出算术这是最重要的问题。为此他着力研究了自然数的纯逻辑定义的问题。他提出了解决的方法：先通过一一对应定义两个集合的等价，然后把集合α的基数定义为所有等价于集合α的集合。这样就定义了自然数，使得算术的定律可以转换成逻辑的定律。从而推导出许多定理。但是由于存在着罗素悖论，他的从逻辑到数学的想法并未实现。尽管如此，他的理论在逻辑史上发挥的巨大作用是不容抹煞的。

现代逻辑的巨匠——罗素

罗素（B. Russell 1872 ~ 1970）英国现代著名的哲学家、数理逻辑学家。曾于1950年获得诺贝尔文学奖金。他在数学基础和数理逻辑两方面，基本上总结了前期的成果，并且作出许多创造性的贡献，对现代逻辑学的发展起了很大的推动作用，他集现代符号逻辑之大成，被誉为符号逻辑发展的金字塔。他在逻辑方面的主要著作有：

1、《数学的原则》（小数学原理）发表于1903年。

2、《以类型论为基础的数理逻辑》发表于19昍年。

3、《数学原理》（与怀特海合著，共三卷，）发表于1910 ~ 1913年。

4、《数理哲学导论》发表于1919年。

他的主要成就介绍如下：

展开命题演算系统。再在此基础上加以扩充后展开谓词演算系统，这样他就在逻辑史上第一个建立了完全的两个演算系统，这些还一直沿用至今。

2、建立类型论，历史上很早就发现了说谎者悖论。到1897年意大利数学家布拉里－弗蒂（Burali－Forti）再度发现了它，康托于1899年发现了集合论中的最大基数悖论。这些都没引起逻辑学家和数学家的足够重视，因为它们或对当代的数学和逻辑研究关系不直接，或因为用到的概念不是基本的。但是到了1901年，罗素发现了“一切不是自己分子的类所合成类”的自相矛盾后情况就不一样了，由于他只用了最基本的概念：类和属于关系。这引起了数学界、逻辑学界极大的震动。弗雷格甚至感到他的一生事业将告失败。罗素尽管自己发现了悖论，但对他自己来说，能否解决悖论问题，也是一个严峻的考验。他积极研究，逐渐发展了类型论。

罗素正确地指出，悖论产生的根源在于下列假设：一类事物可以包括本类的整体作为分子。承认这种“不合法的整体”就要引起“恶性循环错误”，导致矛盾。他把类或谓词（使该谓词为真的全体外延组成的集的意义之下）分为不同类型时：

类型0：个体

1：个体的类

2：个体的类的类

3：个体的类的类的类

等等。并且认为只有在适当的类型之间才能有属于关系。只能考虑类型n的对象是否属于类型n＋1。这样当然不能考虑某一类是否属于该类本身的问题。从而可以排除康托、罗素悖论。这种简单类型论已为大家公认。罗素为了进一步克服其它一些悖论（如理查德悖论）时，还提出了分支类型论，但是由于问题较多，一直没有被大家承认。

3、在逻辑与数学的关系方面，他也提出了逻辑主义的主张。弗雷格和罗素都提出了数学和逻辑相同，数学可以从逻辑推导出来的主张。罗素走得更远。罗素认为“逻辑即数学的青年时代，数学即逻辑的壮年时代，青年和壮年没有截然的分界，数学就是逻辑”。并且还详尽地作了推演，成果反映在《数学原理》之中。由逻辑要推出数学看来问题不少。在书中，人们可以清楚地看到，逻辑要想推出数学，必须借助两条公理：无穷公理和乘法公理。所谓无穷公理，就是要承认宇宙间的个体的个数是无穷的。罗素本人对此也持怀疑态度，他说，在他的逻辑体系中能够导出“全集与空集不同”，是因为无形中假设了“至少存在一个个体”，这个假定，在他看来是破坏了逻辑的“纯粹”味道的，这是他系统的缺点。乘法公理也叫选择公理，这也涉及到与无穷有关的断定，这也是一个与数、量有关的存在假定，不是思维的规律，不能看作是逻辑。

无穷公理和选择公理确实显示了逻辑和数学的紧密相联和区别。单纯从逻辑推不出数学，至少要增加这两个公理（其实对增加了此两个公理后能否推出数学，看法也还是不同的），可见数学和逻辑并不同，这样罗素的逻辑主义主张是失败了。但是他做的大量工作却显示了逻辑和数学之间又是密切相联的。这是科学的，这是罗素的一个十分重要的贡献。

4、关系逻辑和摹状词理论。关于关系的理论，是古典逻辑和现代逻辑的根本区别，罗素总结了前人的成果，建立了完全的关系逻辑，无论对数学研究和日常思维都有重要意义。哥德尔也说“新的工具丰富了数理逻辑。”

罗素对摹状词理论也作出了重要的贡献。摹状词是指某一个具有某种性质的事物，它所指称的事物应是唯一的。当摹状词所需要的唯一性不存在时，含有它的命题的意义可以有不同的理解。弗雷格，皮亚诺都讨论过摹状词理论。罗素的摹状词理论成了后来研究的基础。