（提要）本文论述了数学在物理学史和现代物理学中的巨大作用，尤其是高能物理学中的三种数学方法：场论，S矩阵理论和群论。

1910年，数学家O · 维布伦和物理学家J · 琼斯进行讨论普林斯顿大学数学课程表的修订事项，琼斯说：“我们也可以去掉群论，这一门学科对物理学永远也不会有什么用处。”当时维布伦到底有没有反驳琼斯的观点，或有没有基于纯数学的理由为保留群论而作过辩解，这没有记录。我们仅知道，群论课程还是保存下来了。而维布伦置琼斯的提议于不顾的做法，结果在普林斯顿的科学史上甚有重要意义。作为命运的嘲讽，群论以后竟成为物理学的中心主题之一，并在现在支配了我们这些为理解基本粒子而奋斗的人的思想。也巧得很，H · 魏尔和E · P · 维格纳，这两位从二十年代起到现时在物理学上群理论的先驱者，都是普林斯顿的教授。

这个小故事有几重教训。第一个教训是，科学家不应对他们非专长领域作信口开河的评论。琼斯为我们提供了一个很好的教训，说明了武断的习惯的恶劣影响。

然而，琼斯的错误是不足为怪的。在那时，略知物理学和群论的结合将会产生成果的人就寥寥无几。所以这个故事的第二个也是更严肃的教训就是，科学的前途本来就是预料不到的。数学在物理学中的地位是不能一下子加以确定的。数学和科学的相互影响，如同科学本身的机制一样，是复杂多变的。

贯穿整个物理科学的曲折变化的历史，有一个仍然不变的因素，就是数学想象力的绝对重要性。每个世纪都有它特有的科学预见和它特有的数学风格。每个世纪物理科学的主要进展是在经验的观察与纯数学的直觉相结合的引导下取得的。对于一个物理学家来说，数学不仅是计算现象的工具，也是得以创造新理论的概念和原理的主要源泉。

几个世纪以来，数学反映物理世界行为的能力是使物理学家惊奇不尽的源泉。十七世纪的伟大天文学家J · 开普勒说大自然是用几何的艺术表示出来的。在更理想主义的十九世纪，德国物理学家H · 赫兹（正是他显示出电磁波的存在，因而首先证实了麦克斯韦电磁方程）认为数学公式具有它们自己的智慧。最后，在这个理性主义的二十世纪，维格纳把数学比作为能开启知识之门并取得意想不到的成功的钥匙。

开普勒的数学、赫兹的数学和维格纳的数学几乎没有共同之处。开普勒关心的是欧几里德几何，圆、球和正多面休。赫兹则考虑偏微分方程。维格纳所写的是复数在量子力学上的应用，无疑他也有将群论引进物理学的许多领域的辉煌成就。欧几里德几何，偏微分方程和群论这三个数学分支，相互差异之大，似乎是分属于不同的数学世界。但结果表明它们三者是密切地包含在我们这个统一的自然世界中。这是一个令人惊异、无法完全理解的事实。从这些事实，看来只能得到一个结论，人的思想远远还没有完全理解自然世界，或数学世界，或这两者的关系。

数学何以能对物理学起这样大的作用，在这篇文章中我不试图对此作深入的哲学的讨论。事实上，在每个世纪，能够真正深入到知识基础和哲学难题的物理学家也只有屈指可数的几个。我仅仅面对关系到数学概念应用于物理学的具体方法这样一个实际问题。数学对物理学家所要求的趣味和判断的标准是什么？哪些数学对于理解新的物理是更有希望的？最后，既然一个具体的例子胜过一大堆议论，我将概述群论在物理学中所表现的作用，它导致有名的“八重法”这个基本粒子理论。这个理论，由蓋尔曼和尼曼各自独创，由于欧米加负重子的发现而得到光辉的证实。

在详细讨论这个问题之前，我引用几个历史的例子来说明数学的趣味和偏见对于物理学的影响。为了对非专业的读者解释专业知识，去考察以往的历史并描述过去和现在的问题之间的相似之处，这样做是有助益的。但我要告诫读者，不要把历史的相似看得太认真。很少有活跃的科学家是很通晓科学史的，并且几乎没有一个是根据历史的相似来直接引导他们的研究的。在这方面可以将科学家和政治家相对照。一个非常通晓历史的人由于太受过去的束缚，以至不能成为一个有创造性的政治家或有创造性的科学家。至少，在科学上、如果想要取得伟大成就，应该听从W · 布莱克的忠告：“要在尸骨上面驱车开过去。”

数学想象力成功地应用在物理学上最壮观的例子仍然是爱因斯坦的引力理论，即广义相对论。为了建立这个理论，爱因斯坦应用非欧几何作为他的研究工具。爱因斯坦所迈出的革命性的一步是将我们的时空看作一个弯曲的非欧几里德空间。整个理论都是爱因斯坦根据很广泛的论证和美学的判断完成的。对这个理论的观测和检验则是在它基本上完成之后的事，对它的创造过程没有起任何作用。看来爱因斯坦本人是如此坚信他的数学直觉，以至他对任意观测结果都不表激动。最后观测的结果不出他所料，这最有力地说服了其他物理学家。

广义相对论是由于数学的“创造性的飞跃”而建立的物理学理论的一个主要例子。如果在世界上从来就没有像爱因斯坦那样具有特别想象力的人存在过，也许它的发现至少要推迟一个世纪。至于二十世纪物理学的另一个主要成就——量子力学就不同了。量子力学是由W · 海森堡和E · 薛定锷各自独立地从十分不同的观点创立起来的，它是好多人合作的结果。然而量子力学发展决定性的一步也是由于数学想象力的一个纯理论的飞跃，这从薛定锷的研究中尤其看得清楚。

薛定锷所根据的是光线理论和粒子轨道理论之间数学形式的相似性，这种相似性是早先由爱尔兰数学家W · R · 哈密尔顿发现的。薛定锷看出光线理论是光波理论即麦克斯韦和赫兹的理论特殊的极限的情形。薛定锷论述：为什么不能存在一种粒子波理论，它对于粒子轨道的关系有如光波之对于光线的关系呢？这个纯数学的论证导致他建立粒子波的理论，就是现在的量子力学。对这个理论立即用关于原子行为的著名实验结果来进行验证，其符合程度甚至比起广义相对论的情形更令人信服。在物理学上常有这种情形，根据某些一般的数学理论，结合一些实验结果而产生的理论，能万无一失并精确得出奇地预见更进一步的实验结果。

广义相对论和量子力学是成功的事例，表明了数学直觉的卓有成效和解脱束缚的作用。然而，有不幸的另一方面。数学直觉更经常的表现是保守而非革命，是阻滞而非解脱。物理学史上所有挫折中最坏的事例就是亚里士多德和托勒密权威性地采用地球中心的天文学，其中假定所有的天体是在球面和圆上运动。亚里士多德的天文学使科学陷于愚昧之境几乎整整一千八百年之久（公元前250到公元1550年）。造成这过长的阻滞自有多方面的原因，但必须承认，亚里士多德的天文学流行的主要原因是由于一种迷误的数学直觉，即仅以球和圆为完美的数学直觉。

当开普勒由于发现了行星轨道是椭圆，最终于1604年推翻周转圆的宇宙观之时，他并非在数学上偏爱椭圆运动。相反，他被迫与自己固有的数学偏见相斗争。只是经过多年与各种周转圆系统的思想斗争之后，最后他才有勇气克服他的保守习性来考虑椭圆系统。在物理学的各个伟大思想变革中，出现这种数学保守主义是概无例外。通常，一个思想上进入新时代的革命者，他本身仍然是旧时代的囚徒。甚至牛顿在他的著作中，处处都是古旧的几何的语言和古代人的观点，他不像是一个近代的伟大科学家。毫无疑问，牛顿和开普勒一样，也是在克服了深刻的保守的数学偏见之后才作出他的发现的。

从这些历史事例我们仅能断定，数学直觉既有好的一面又有坏的一面，对于物理学的创造过程既是不可缺少而又全然不可相信。这种两面性来源于数学的本质。正如物理学家E · 马赫所说的：“数学的效力在于它回避所有不必要的思想和免除繁复的智力运算的奇特的能力。”一个物理学家运用数学工具建造他的理论，因为数学带来的想象力远胜于他清晰思考的能力。物理学家的艺术就是在于为他的关于自然界的一个设想选择适当的材料，虽然他仅是模糊和直觉地而非推理地知道这些材料是否全用。在理论的构想完成之后，接着来的是推理的批评和实验的验证，看它在科学上是否完美的。在建造理论的过程中，数学直觉是不可缺少的，因为“回避不必要的思想”使想象力更无限制；数学直觉也是靠不住的，因为对于科学的理解来说，在许多场合所需要的是思想而不是回避思想。

现在我来讨论物理学的现状。这里我用“物理学”一词作为高能物理——基本粒子的研究——的简称。高能物理学现在是一大热门。最新一代的大型加速器在过去五年中揭示了一个全新的粒子世界，其定量之精细和构造之繁杂是任何人都预想不到的。这个粒子世界与1910年的原子世界是一样的新奇。正是在1910年、我们还没有综合的理论，理论家有完全的自由按他们的意愿处理实验数据。

在这种境地，理论物理学家是根据数学趣味的标准来选择他们研究的对象和方法的。对于一个理论家的首要问题不再是“我的理论行得通吗？”而是“我所制造的理论是什么？”。在手边作为构造理论的材料就是这些：某些片段的数学知识，杜撰的计算规则和几条早先的一般原理的残余。这些东西的什么样的杂合物才能算得上是理论就取决于数学趣味了。

现代理论研究的三个主要方法称为场论，S矩阵理论和群论。它们并不是互相排斥的；至少，在不同方法的支持者之间还没有做出相互矛盾的结果，虽然有时在说法上有矛盾。可能这三种观点对理解自然界最后都能做出有成果的贡献。

这三种方法的不同不仅在于数学工具的选择上，也在于这些工具的用法上。场论的创立是由于偏爱在数学上求深，以及这种主观感觉：认为高深的物理的理解与高深的数学应该汇合起来。场论所选择的数学工具是希尔伯特空间中运算子的代数。它所着重的是理论上严格的数学的理解，而不在于与实验作细致的比较上。在这三种方法当中，场论是最远离实验，在数学上最严格，在知识的风格上最有雄心，而与物理世界最没有明显的关联。我自己也沉湎于其中，因此特别有资格指出它的局限。

在S矩阵理论中（S代表Streu，这个德语字意为“散射”），它小心地尽可能选择最初等的数学工具，主要是用复变函数的标准理论。S矩阵理论由于大大应用实验数据而弥补了它数学基础的不足。S矩阵的理论家特有的目标是应用其他实验结果来计算或预见一个实验结果。某些预见是从独立于其他实验的“第一原理”作出来的，并且希望能最后从第一原理推导出一切。S矩阵理论的一个最使人愉快和振奋的特征是：其规则作为计算过程是可以改变的。现存的方法仅是过渡性的；它不用固定不变的理论，而是在反复试验的过程中不断创新理论。

S矩阵理论在解释实验和指导实验方面的成功，是令人信服的。我自己偏爱场论是由于我个人的兴趣，但如从历史的证据来判断，未必是有可靠根据的。我发现S矩阵理论则又是太简单，太缺乏数学深度，我不相信它真能包罗万象和解释一切。

现在我来讨论现代物理学中第三种主要方法：群论，讲述要比其他两种方法详细一些。这里的数学工具是相当高深的有力的理论。两个主要概念是“群”和“表示”。群是一个具有以下性质的运算的集合：其中两个连续的运算合起来等价于这个集合中另一个运算。例如，三维的旋转群O₃定义为三维空间围绕一定点所有旋转的集合；显然，如果R₁和R₂是任意两个这类旋转，则R₁和R₂的合成可以用第三个旋转R₃表示出来。群的表示是由一些数组，以及这些数组的变换规则构成的，并且群的每一个运算确定一个数组的线性变换。O₃的表示的一个例子是三个坐标的集合（x，y，z），它决定任意点p在空间中的位置。当作旋转R时，则点p移至带有坐标x'、y'、z'的新位置p'这也决定了对（x，y，z）变换的规则。O₃的这个特别的表示称为一个三重表示，因为它包含三个数。

群论之所以在物理学上非常有用是由于两个事实。首先，根据量子力学，对于具有任何对称性质的物理对象，存在一个保持这种对称性质的运算的明确的群，并且这个物理对象可能的量子态正好对应于群的表示。其次，所有有用的群及其表示的计数和分类已经由数学家完成了，这种完成是一劳永逸的，并且与这种群所可能表示的物理状态无关。由以上两个事实，就可能根据群和表示的抽象性质，建立基本粒子对称的完全抽象的理论。

从具体的群到抽象群论的最重要的转变最好是用例子解释。对于一个在稀薄气体中漂浮的粒子来说，空间中各个方向都是同样的，因而它具有通常的旋转群O₃的对称。在O₃的表示中有前述的三重表示。具有一个单位自旋的原子的各个状态属于这个表示，并称为三重态；它们总是三位一体同时出现的，有相等的能量。现在用一个磁场来破坏它的旋转对称；则三个相等的能量被轻微分裂，在光谱仪上可以看出一条三重的光谱线，它表示这是三种状态。按照旋转对称而导出的原子状态的这种分类、是具体群论奏效的典型例子。

我们来讨论另一个不同的例子。介子这种基本粒子有三类，一类带正电，一类带负电，一类是中性的。它们的质量大致相同，核相互作用力也大致相等。我们来设想它们是群O'₃的一个三重表示，这里的O'₃在抽象结构上与O₃完全相同，但与通常的空间旋转没有关系。我们即使对构成O'₃的运算的内在性质一无所知，仅从抽象群论就能预言介子的许多性质。结果所有这些预言都是正确的。更不平常的是，这些预言是N · 凯默于1938年作出的，时间上比发现第一个介子还要早九年。群O'₃（有少许改变）就是物理学上有名的“同位旋”群。

最后来讨论八重法，这是解决新近发现粒子分类问题的关键。其分类是根据群U₃，这群比O₃大，为了将U₃应用到物理学上，将U₃归约为更小的群SU₃，这是一个李群，对应于3×3列阵的特殊酉群。从SU₃可得到有8，10，27，…个数的表示。其中SU₃的八重表示是现有的最简单的表示，就是有名的八重法。

最后我们又设想自然界中SU₃的对称是不完全的，这样，SU₃又简化为它的子群U₂，U₂的对称本质上同于前面提到的抽象同位旋对称。对于U₂的运算，八重法仍然不是合一的表示。它的八个量分成以下几个子集：一个单个元素的子集，两个二元的子集，一个三元的子集，每个子集形成U₂的一个表示。

现在转向实际的物理世界，将这八个成员的结构与八个我们所熟悉的原始重子相比较。它们是兰姆达（Λ）的单重态，质子 - 中子（或核子）的双重态，克塞（Ξ）的双重态和西格马（Σ）的三重态。在结构上两个集合正好符合。这是根据八重法提供的第一个超多重态。

蓋尔曼第一个指出，根据同样的方法，如果在已知的九个重子中再补上一个不明的粒子，就能满足有十个成员的对称，即组成十重态。这个不明的粒子他预先定名为欧米加负重子（Ω^-）。这个10成员的超多重态的已知成员是：一个台尔塔（Δ）的四重态，共振的西格马（Σ）三重态和共振的克塞（Ξ）双重态。他所预言的单重态粒子终于在1964年2月在布鲁克海文实验室的照片上发现了。

这个证据无可争辩地证明了，具有SU₃结构的抽象群在自然界确实存在并支配了强相互作用粒子的形态。由于应用这些单刀直入的群论概念，强相互作用粒子的整个图景已经从杂乱无章的状态变得相当整齐有序。

在我所讨论的三种理论方法中，群论确有许多令人满意之处。与S矩阵理论不一样，它有优美的，真正严格的数学作为基础；又与场论不一样，它有明显的实在的实验的支持。它的不足是什么呢？群论所带来的麻烦是它留下了一大堆人们无法解释的问题。它以美妙的方式分析自然界中抽象对称的各个方面。但在解释粒子活生生的存在的种种事实，粒子寿命和相互作用强度的数值等方面，它没有提供更多的希望——现在有大量的实验数据有待解释。看来抽象的过程是过于有力，所以真实世界中有许多本质的和具体的特征我们还没有能考虑到。总的说来，群论之所以取得成功，正由于它的目的纯朴。

它并不试图解释所有的事情，看来它也不大可能发展成为一门完全的或综合的物理学理论。

在理论物理学上现存的三种研究方法就是场论，S矩阵理论和群论。它们还没有一个算得上是真正的理论。我的意思是，如果要用过去的伟大理论如广义相对论和量子力学作为衡量一个理论的标准的话，它们都太模糊，太偏，太不完整。当然这仅是我个人的意见。甚至即使它们取得了预期的成功，仍然不能使我感到一个理论所应有的美感。对它们我不禁想用“架在无知的冰隙上的雪桥”这句话来表示我的失望之感。同时，最好记住，这句话在历史上第一次出现是顽固的生物统计学家K. 皮尔逊用来激烈攻击孟德尔遗传学定律的。

[选自《The Mathematical Sciences》，1964年]