本文正文部分是在1976到1977年间和哥德尔一起做的，当时是得到他的赞同的。小标题是后来才加上的。

1.教育和博士论文。哥德尔1906年4月28日生于现在捷克斯洛伐克（当时是奧匈帝国）的波绿茵（Brno）。1924年读完高中后，他去维也纳在大学学物理。他对精确性的兴趣促使他从物理学转向数学和数理逻辑。他特别喜爱福特王勒（Furtwangler）作的数论讲座，并且发展了这方面的兴趣，例如在他的应用中国剩余定理去表述按加法和乘法表示的原始递归函数。1926年他转学数学，同时成了石里克（M. Schlick）团体的一名成员。但是，他绝不是一个实证主义者，纵使在那时也只是接受了他们的某些论点。后来他越来越疏远了他们。1929夏季前，他在大学里完成了关于形式的研究。这一时期他也去听由海因里西 · 贡佩尔（Heinrich Gomperz）作的哲学讲座，贡佩尔的父亲在希腊哲学方面是著名的。

大约在这个时期，他读了希尔伯特 - 阿克曼（Hilbert-Ackermann）的名著，其中陈述了（狭）谓词演算的完全性，并把它作为未解决问题提出。哥德尔解决了这个问题并且以博士论文的形式写出了他的成果，文章在1929年完成和被通过。1930年2月6日授予学位。论文的稍有变动的修改稿于1930年发表在月刊上，它有一段致谢词：“我感谢汉恩（H. Hahn）教授一些有价值的建议，在完成这篇文章中帮助了我。”哥德尔后来告诉我，“在完成这篇文章中”那句话应改为“在发表时的表述方面”。

2.不完全性定理。1930年夏，哥德尔开始研究证明分析的无矛盾性问题。他发现希尔伯特想用有限方法去直接证明分析的一致性是不可思议的。他一般地相信，人们应该把困难分割开，使得每一部分都比较容易克服一点。就这个特殊问题而言，他的想法是用有限数论去证明数论的无矛盾性，然后用数论去证明分析的无矛盾性。这里人们应该假设数论的真实性而不仅是无矛盾性。他当时向自己提出的问题是分析的无矛盾性和数论的关系；这个问题是独立于有限数论的有点儿不确定的概念的。

他用数论公式去表示实数，并且发现他必须使用数论中公式（或句子）的真值概念，为了去证实分析的全部公理。他很快地达到了与真值和可定义性有关的悖论[特别是李（Liar）和理查德（Richrd）悖论] 。他认识到数论中的真值不能在数论中加以定义，所以证明分析的相对无矛盾性的计划就没有实现。他做出结论：在如同数学原理（类型论）和集合论（Zermelo-Fraenkel）那样的、适当丰富的系统中，存在不可判定命题。（见哥德尔1934年讲演，The undecidable（M. Davis编）的说明中的§7，1965，第63 ~ 65页）。

当时，哥德尔用自然数表示符号，用数列表示句子，用数列的序列表示证明。所有这些概念，还有代入函数，即使在类型论或集合论的较小的有限性的子系统中也是可以表述的。因此在每一个包含这样一个系统的系统中存在不可判定命题，不可判定命题是自然数的有限组合。

1930年9月，哥德尔参加了哥尼斯堡会议（在Erkenntnis第二卷中）并且宣读了他的成果。卡尔纳普（R. Carnap），海丁（A. Heyting）和冯 · 诺依曼（J. von Neumann）也参加了会议。冯 · 诺依曼对这结果甚为热情，并且和哥德尔作了个别的讨论。在讨论中，冯 · 诺依曼问数论的不可判定命题是否也可以在组合的原像可以映上整数的事实之上加以构造？并且表示相信这是可以做到的。哥德尔在回答时说：“当然，关于整数的不可判定命题能够如此构造，但是它们包含了一些十分不同于出现在数论中的像加法和乘法那样的概念”。此后不久，哥德尔自己也惊讶怎会成功地把不可判定命题转换成为冠以量词前缀（约束自然数）的多项式形式。同时，在不受这个结果的影响下，哥德尔还发现了他的第二定理：在一个适当丰富的系统中的无矛盾性的证明不可能在本系统中加以形式化。

叙述这些成果的摘要由汉恩于1930年10月23日提交维也纳科学院。不久哥德尔收到冯 · 诺依曼来信，他提出，关于一致性定理的证明是哥德尔原先的成果的推论。满载盛誉的文章由Monatshefte于1930年11月17日收到，发表于1931年初，在注有1931年1月22日日期的说明中（K. Menger，Kolloquium，Vol. 3，第12 ~ 13页），哥德尔用匹阿诺（Peano）算术而不是类型论作基本的系统，对他的定理给出一个更为一般的陈述。这篇重要文章也是哥德尔的讲师论文（Habili tationsschrift）

3.职务、健康和个人交际。哥德尔在1933 ~ 1938年间担任维也纳大学的无薪大学教师。在1933 ~ 1934年间，他访问了高等研究院，1934年春演讲了他的不完全性定理成果（参照The undecidable关于这些讲演的说明）。（Hans Hahn于1934年逝世）。1935年秋天他再次访问了研究院。1936年间他得病，身体很虚弱。

从1938年秋直到1947年春，他接受了研究院的年度邀请，除了1939年春在鹿特丹讲学、1939年秋回到维也纳之外，所有时间都待在这儿。1947年他成为研究院的永久性成员，1953年成为教授。1951年他接受爱因斯坦奖，1975年接受科学奖。他曾获得过耶鲁（1951）、哈佛（1952）、阿姆黑斯特（Amherst）（1967），和洛克菲勒（Rockefeller）（1972）的荣誉学位。他是美国科学院和艺术科学院、美国哲学学会、中国科学院的成员。他是英国科学院和皇家学会的外国成员。

1930 ~ 1933年间，哥德尔继续他在逻辑和数学方面的研究（包括几何基础和美好的复变量函数主题）。他读了由汉恩写的论实函数的书的证明部分并且学习了这个主题。他参加了汉恩的集合论讨论班和孟杰尔（Menger）的讨论会。哥德尔这个时期的一些成果发表在这些讨论班的会刊上。他也写了大量很好的评论。

哥德尔在1932年访问过哥丁根，见了薛格尔（Siegel），根岑（Gentzen），诺特尔（Noether），也许也在这里见了策麦洛（Zermelo）。他没有会见过浩伯（Herbrand），只有书信往来。他的第二封信没有到达浩伯手中，因为期间他已逝世了。在普林斯顿的期，他与丘奇（Church）和克利尼（Kleene）相见比与罗塞尔（Rosser）相见为多。

哥德尔的健康一般是弱的，有些时期曾阻止他认真地工作。八、九岁时他曾患风湿病，这对他的心脏带来了影响。他的一生为消化系统的毛病严重折磨着。自1947年来，他一直患肾脏感染，使他十分容易着凉，不用抗菌素就不能康复，特别是1961和1970年，他的身体格外的坏。

4.可构成集。哥德尔第一次听到希尔伯特提出的在公理集合论（ZF）中连续统假设的证明概要准是在1930年。这是哥德尔开始思考连续统问题的时间。他感到人们不应该用构造方法去建立层次，对连续统假设无矛盾性的证明无需这种做法，因此人们除了抱有偏见的反对客观主义的观点外并不必定要构造序数。哥德尔考虑到了分支类型论。哥德尔观察到希尔伯特并不相信连续统假设在公理集合论中可以判定，因为希尔伯特加上了一个默认的公理：每一集都能定义，并且把他建议的证明说成是证明论中一大成就。此外，按希尔伯特的论断，他所做的并不比证明连续统假设更多。他用这个方法也证明了公理集合论的无矛盾性。为了证明这些，人们必须期待一种很困难的证明。

准是在1935年，哥德尔首次提出他用分支类型论作出的选择公理的无矛盾性的证明。1936年他患病。或者是在1937年秋，或者是在1938年春，哥德尔在维也纳讲演了这个成果；一系列讲座叫做公理集合论。在1938年夏天，哥德尔把他的成果推广到了今天为人们熟知的范围，他引入了可构造性公理，并且证明了广义连续统假设的相对一致性。这些通告和有关的结果递交给美国国家科学院院刊，并于1938年底前发表。同时，即在1938 ~ 1939年的秋季学期，哥德尔在研究院详细地讲解了主要证明，论文形式的成果发表于1940年。一个比较详细的和更为直觉的概要，于1939年2月14日送交给美国国家科学院院刊，不久后就发表。

5.1940 ~ 1943年间的工作。这段时期哥德尔的健康相当好。1941 年他主要从事于逻辑工作，他通过元数学的考察获得了一个一般的选择公理无矛盾性的证明。哥德尔最近同意在他健康较好时，重写这个证明。哥德尔相信，它极像在大基数中所呈现的那个证明。在集合论如此巨大的发展后，这确实是值得重视的事件，三十五年前得到的结果打开了一极大的新天地。

1942年哥德尔获得了用原始递归函数作出的直觉主义数论的著名解释。不久他在普林斯顿和耶鲁演讲了这些成果。阿丁（E. Artin）出席了耶鲁的讲座。成果用德文于1958年发表在贝尔奈斯（Bernays）七十寿辰期间发表。哥德尔本人的英文译本在1970年前完成，附带关于为什么证明不是循环的，而只是用了某些解释直觉主义数论更为明显的东西。文章在哥德尔患病前已经证好。现在他愿意将它发表。

1943年哥德尔达到了在（有限）类型论框架中选择公理独立性的证明。证明的思想使得为什么要证明清楚了。只是因为那个原因，重构这个证明是有趣的。逻辑联结词的解释被改变了。必须选择一种专门的拓扑。这个方法看来也有希望获得连续统假设的独立性，但是哥德尔显示了对这一工作的厌恶，不喜欢再继续它。首先，似乎那时他能用20种不同的方式去做每一件事，这并不明显的更好些。其次，他那时更为有兴趣的是在哲学。正当看到柯亨（Paul J. Cohen）（1963）的成果时，这方法也能作出连续统假设的独立性证明变得清晰了。现在哥德尔遗憾他没有能继续做这一工作。要是他一直继续做这工作，他可能于1950年获得连续统假设独立性的证明，集合论的发展进程也将加快。

他对莱布尼茨感兴趣，特别是普遍算术，并且对康德哲学和相对论之间的关系感兴趣。

6.哲学。爱因斯坦居住处一直邻接哥德尔，多年来他们几乎每天都要相互做客。不过哥德尔对相对论的兴趣更多地来自康德的时间和空间的哲学，而不是与爱因斯坦的交谈。

1947到1950年或1951年间，哥德尔在广义相对论方面工作。因此，他花了一年时间在他的吉布斯讲座上工作。

同意写一篇论卡尔纳普证明数学不是句法的文章，给他带来了大量的麻烦。在1953到1955年或1956年间，他用多种方式试写：最终，他没有发表这篇文章，因为他认为可以找到一种更为使人相信的反驳。

哥德尔于1950年开始读胡塞尔的著作。

在哲学方面，哥德尔绝没有达到他追求的目标：达到一种对世界，及其基本成分以及它们的合成规则的新观点。某些哲学家，特别是柏拉图和笛卡尔，断言在他们生活的时代，已经有了这样的一种观点，这种观点是全然不同于平常的对世界的看法。

[The Journal of Symbolic Logic，1981年9月]

附：哥德尔给王浩的两封信

[按] 著名的美籍中国数理逻辑学家王浩，在他的《从数学哲学》一书中，发表了哥德尔给他的两封信，对研究哥德尔的工作和思想有重要参考价值。

哥德尔坚定地认为：哲学观点在他作出的根本的新的科学发现中起着基本的作用，在谈到他的完全性定理时他在1967年12月7日的信中说：

“从数学上说，完全性定理确实是斯柯兰姆（Skolem）1922年工作的最为显然的推论。但是事实上那时，没有人（包括斯柯兰姆本人）作出这样的结论（既不是由1922年的斯柯兰姆本人，也不是由对他的工作作过和我类似的考察的人）。”

“正如你（注：指王浩）已注意到的，希尔伯特和阿克曼在他们1928年版数学基础一书中第68页上，完全性问题被精确地叙述为尚待解决的问题。就斯柯兰姆所关注的而言，尽管在1922年他已经证明了完全性定理所需的引理，且在他的1928年的文章中也叙述了一个完全性定理（关于反驳的），但是他并没有用他的1922年的引理去作出证明。他宁可给出一个完全不确定的论题。”

这个逻辑学家的视而不见（或偏见，或随便叫它什么）确实令人惊奇。但是，我认为解释是不难找到的，问题主要在于，那时对元数学和非有限思维普遍地缺乏一种必要的认识论态度。

“数学中非有限思维被广泛地认为，仅当它能用有限的元数学加以‘解释’或‘论证为合理’时，才能算是有意义的。（注意，对于我的结果和后来的大部分工作，用这种观点对待将都是不可能取得的。）这种看法，几乎不可避免地要导致从元数学中排除非有限思维。因为，为了使这样的思维获得承认，将要求一种有限的元数学。但是，这看来是一种混乱和不必要的反复。此外，容许把‘无意义的’超限元素置入元数学，是与直到那时还一直保持着的各种观点相悖的。因为根据当时的想法，元数学才是数学中有意义的部分，尽管其中的数学符号（自身是无意义的）还需要作某些有意义的代入，也就是规则的使用。当然，这种观点的本质是拒绝一切抽象的和无限的对象，拒绝数学符号的主要意义是实例，也就是说，意义只是对那种关于具体的和有限的对象，如符号的组合的命题而言的。但是现在，前面曾提到过的从斯柯兰姆1922年工作容易获得的推论，确实是非有限的，谓词演算中的任何其它完全性证明也是非有限的。因此这些事物就易被人忽视或不加注意。”

“我可以补充一下，一般来说我的数学和元数学的，特别是超限思维的客观主义概念，对我在逻辑学其它方面的工作也是基本的。”

“如果数学系统被看成是由无意义的符号所组成，而且只有通过元数学才可作出某些有意义的代人的话，那么人们将怎样去想象在数学系统本身中来表达元数学呢？”

“或者说，如果一致性的证明必须有限时，那么人们怎样才能用我的超限模型?对连续统假设给出一个一致性的证明呢？（更不必说，从有限观点来说，用?所作的集合论的一个解释似乎一开始就是十分荒谬的，因为它是一种用某种自身并无意义的事物来作的‘解释’）这样的一个解释（和其它任何非有限的一致性证明一样），也要被一种有限的相对一致性证明所淹没。”

“最后应该注意，我在数学的形式系统中构造不可判定数论命题的直观性原理，与‘可证性’相反，它是‘客观的数学真理’的高度超限概念（参见M.Davio，The undecidble，New York 1965，P.64. 在那里，我对直观性论证作了说明，通过这种论争，我达到了不完全性定理），关于这个概念，在我和塔斯基（Tarski）的工作之前，一般来说是混乱的。再有，使用这个超限概念，最终导致有限可证的结果，例如，有关在一致的形式系统中不可判定命题的存在性的一般定理”。

在1968年3月7日的信中，对以上问题进一步地作了精确的说明：

“在重读1967年12月7日的信时，我发现倒数第二段的说法[在括号中的] 也许有点过激了。它应该理解成有所保留的。当然，形式主义的观点并没有作出过用超限模型不能证明一致性这样的结论。它只是说很难发现，因为这种做法和他们心中的想法多少有点儿不那么意趣相投。但是，特别就涉及的连续统假设而言，存在着一种特殊的障碍，它事实上使得不可能用结构主义的方法去发现我的一致性证明，曾被创造出来用以表达结构主义的分支类型论，必须以一种完全非结构主义的方式加以使用，这是事实。可以类似地看待数学真理的概念，这里形式主义者把形式可证性看成是数学真理的分析性，因而他们当然不会站在与前个事例不同的立场的。”

“我想补充几句，还有另一对逻辑学家的牵制，它不仅阻碍在元数学中应用超限推理，而且也阻碍使用一般的数学推理［就在数学本身中表述元数学的极大部分工作而言——1972年4月补加] 。这就是指：元数学在极大程度上，并没有被看成是一种描述客观的数学状态的科学，而只是把它看成为人类把握符号活动的一种理论。”

哥德尔在信中，也包括王浩在通信中提出的三个问题的答复。这些问题是：1. 贝尔奈斯教授曾经考察过，斯柯兰姆并没有把初等逻辑的定理看成是给定在一个形式系统之中的，因此完全性定理对斯柯兰姆来说是无需考虑的。2. 斯柯兰姆在他的较早的洛文海（L?wenheim）定理的证明中，使用过非有限思维。3. 冯·诺依曼曾用一个超限模型去证明他的正则公理的相对一致性。哥德尔的回答，略加删节如下：“我仍然相信，反对在元数学中使用非有限概念和论证是在我之前，斯柯兰姆和任何他人没有能给出完全性定理证明的基本原因。斯柯兰姆对逻辑的形式化很少感兴趣可能是真的，但是这总不能成为他对已被加以精确陈述的完全性定理，没有能给出一个正确的证明的理由。该陈述是这样的，如果公式有一个非形式的否证，在某个水平n上必有一个矛盾存在。在他的1922年引理的基础上，这将是很容易做到的，因为显然地，一个正确的非形式的否证蕴涵模型的不存在性。此外，他试图在他1929年文章的第29页所要补充的，显然是要在元数学中消去超限论证（用的是十分类似于浩伯的方法）。

对洛文海定理，他用非有限思维并没有证明什么东西，因为纯粹模型论在这里是还没有证明的概念，它介于数学和元数学之间，它对带有有限个公理的特殊系统的应用，实际上属于数学，至少大部分如此。这也顺便说明了冯·诺依曼的集合论的超限模型的使用也是平凡的。”

[《From mathematics to philsophy》，7 ~ 13页]