R.彭罗斯（Roger Penrose）最初提出扭量（twistor）理论，是考虑到可以将四维时空（闵可夫斯基空间或欧几里得空间）中的点表示为三维复空间，即扭量空间中的复数。为此，彭罗斯意味深长地把他在赫尔辛基召开的国际数学会议上的报告起名为“实世界的复几何”。
在某种意义上说，彭罗斯的这种考虑并不是全新的。在E. 嘉当（Elie Carten）的对称空间理论中就隐藏着（但并不很深）闵可夫斯基空间的复实现。但是现在这样提出的意义倒并不在于几何发现本身，而是在于能使它成为数学物理中一些重要的线性或非线性方程解的积分表示的解析构造的源泉。用扭量理论求得的一些重要的新结果（杨 - 密尔斯方程的瞬子解，爱因斯坦方程的复自对偶解）渐渐清除了人们对彭罗斯方法最初抱有的抵触。当然应该指出，为了得到这些结果，我们需要一些高深的数学手段，例如射影空间上的丛，科西 - 黎曼上同调等。幸运的是，这些手段在代数几何和多元复变函数理论中早就以适当的形式表述出来了。
回到彭罗斯的几何思想上来，不能不感到惊讶的是：为什么在研究一个纯粹实的对象（时空）时，会出现复的对象？然而这在19世纪后半期的几何学家看来是根本不足为奇的。彭罗斯理论的构造与一些有百余年历史的数学思想有联系，不过最近数十年来人们忽视了这些思想，现在它们不那么流行了。这里指的是勃吕格（J. Plücker，1801 ~ 1868）的想法。勃吕格构造了这样的空间，它的元素（点！）是通常的三维空间的线。他花了多年的时间来发展这一概念。勃吕格死后，他的最后的一些结果由克莱因（Klein）和克莱布舍（Clebsch）编辑在于1868 ~ 1869年出版的学术论文集《将线作为元素的空间的新几何学》一书中。这一线空间维数是4，这也许是科学中最先出现的四维空间。奇怪的是，当四维流形出现在相对论中，并变得时髦的时候，却没有人把闵可夫靳基的四维对象与早在50年前就有的勃吕格的四维对象加以比较。50年后彭罗斯却正是这样做了，并且现在看来已经取得了很大的成功。我们将试图描述从勃吕格到闵可夫斯基，几何发展的历程。但是为此我们还必须先回顾一下一些更早的情况。
几何的黄金时代
这是N. 布尔巴基（Bourbaki）描述十九世纪数学的一句话。十九世纪是射影几何——它的几何直觉和强有力的解析方法神速发展的世纪。但是射影几何的产生，却还得追溯得更早。
G.德沙格（Gerard Desargues，1593 ~ 1662）是一位出生于里昂的建筑师。他在研究透视理论和从一平面到另一平面上的中心投影时，注意到在前一平面中具有不能被映射的点而在后一平面中则具有不能作为像点的点。他决定引入无限远点的概念来改善这一情况。用现在的话来说，这一概念就是认为所有的平行直线“相交”于一个共同的“无限远点”，一个平面的所有无限远点组成一条无限远直线。普通平面加上这条直线后就是一个射影平面。因此在射影平面上平行线也相交了，只不过相交在无限远点上。人们当时很难领悟射影几何的概念，德沙格也无法使这些概念易于接受。
十六岁的巴斯加（Blaise Pascal，1623 ~ 1662）曾对于内接于一个圆锥截面的六边形，证明过一条著名的定理。射影几何的技术捷巴斯加可以从一般情况简化为一个圆的情况，因为根据定义任何圆锥截面都可以从一个圆经过中心射影而得到。德沙格和巴斯加的计划是应用射影几何充分地解释希腊几何的顶峰——阿波罗尼（Appollonius）的圆锥截面理论。他们成功了，但是没有人懂得德沙格的工作，而巴斯加也从未完成他关于射影几何的包罗万象的论文，他留给后人的只是一张卡片，上面记着他的关于六边形的定理。随后的二百年中间没有人知道他们两人的工作。
是蒙日（Gaspar Monge，1746 ~ 1818）和他的学生们使射影几何获得了新生。V. 彭赛莱（Victor Poncelet，1788 ~ 1867）在其中占有特出的地位。
彭赛莱观察到了射影平面上直线之间的相互关系不再有平行与不平行的区别了。同样，二次曲线之间的相互关系也必须不会有特殊的情况。但是，为什么椭圆与椭圆通常相交于四点，而它们的特殊情况：两个圆却总是相交于两点？彭赛莱找到了答案，所有的圆都通过两个固定的点（称为圆点），不过我们并不注意这些点，因为它们既都是无限的又都是虚的。这样一来，他们的同行在代数里早已习惯的复数便出现在实几何中了。圆点成了几何的主要对象之一：它们似乎能完全解释平面中实度量的所有现象。
彭赛莱的另一使人震惊的发现是他和戛贡（Joseph Gergone，1771 ~ 1859）—起得到的对偶定律。粗略地说，对偶定律断言：如果在射影平面上有一条关于点和直线相互关系的定理，那么只要把“直线”、“点”这些词对调，并把原叙内容作必要的改变（例如用“通过”代替“相交”）使之有意义，则我们就得到一个新的定理。举一个最简单的例子来说吧，“两条不同的直线相交”这一命题就变成“过两个不同的点有一条唯一的直线通过”了。
19世纪中叶，在德国著名的几何学家之间产生了一场关于“解析法”还是“综合法”的激烈的论战，虽然现在来看他们之间的分歧并不比先吃鸡蛋的这一头还是那一头的差别来得大。“解析法”派喜欢用坐标来表示几何想象，因为坐标使得他们可以用代数的和分析的方法。“综合法”派则认为上述方法会使几何的本来的精神，即真正的几何直观丧失殆尽。
射影坐标
线流形——勃吕格坐标
复图像
S和H上的距离
三维空间中的直线有时是会相交的。我们如何用勃吕格坐标来表示这一事实呢？与三维空间的情况相似，如果两直线的方程有共同解时，则两直线相交。若两直线相交则它们之间的距离为零。这一条件几乎能唯一地确定距离。
如果把距离限制在球面S上，我们就会在五维欧几里得空间中得到四维实球面上的通常的欧几里得距离，如果把距离限制在双曲面Hl，就得到闵可夫斯基度规。这样一来，在那由线几何所自然导致的二阶曲面Q上的距离，诱导出了球面S上的欧几里得距离，以及双曲面H上的闵可夫斯基距离。
流形H在物理理论中起着重要的作用：H是闵可夫斯基空间M的保形扩充，它是由M加上无限远处的光锥而得到的。类似地，可以加一个唯一的无限远点而将欧几里得空间扩张，而射影空间可由加上整个无限远平面而得到。
弯曲扭量流形及爱因斯坦方程
在广义相对论中，弯曲时空起了十分重要的作用，我们在四维（实）流形X上考虑度规ds2的，它在每一个点都可约化为闵可夫斯基度规或欧几里得度规亦即平直度规。黎曼曲率表征了与平直度规的偏离。我们企图寻找一个依赖于X上的点x的正交变换，使得ds2局部化，具有标准形式，这就给出了这个变换和它的无限小变换之间的关系式，然而不是任意函数都能满足这一关系式的。
一阶微分方程组解存在的条件是其黎曼曲率为零。爱因斯坦条件要求一部分曲率分量为零。这是一个包含度规的十分复杂的非线性微分方程，直到目前，甚至要有获得有关其解的部分信息的想法，也是要有些勇气的。
彭罗斯首先把这一问题复数化，而且发现由曲率的分量组成的重要不变量在复域中会获得一种更为明显的几何意义。在复域中，在四维实流形X上的每一点x存在锥面Vx，它是由零化ds2的矢量构成。它是一个二次锥面，而且它的表面属于两族二维平面。借助于这些族来研究曲率是非常容易的。锥面Vx定义了度规的保形类。
因为平直度规可以通过考虑三维空间中的线的相交来得到，所以下一步的想法是：曲率度规也许能从考虑曲线的相交而得到。但是具有二次相交条件的曲线族的例子并不容易构造。利用复结构的形变理论，彭罗斯证明了直线族的形变给出具有二次相交条件的曲线族，然而这种方法并不能立即给出明晰的例子。
此外，相交条件只是定义了度规的保形类，而爱因斯坦条件不是一个保形不变量。然而，彭罗斯证明了对于与相交曲线关联的度规而言，爱因斯坦条件有一个简单的几何意义。而平直的度规对应于曲线族，又同时满足爱因斯坦方程。彭罗斯发展了一套用扭量来构造平直度规的步骤。但其中会有好几个本质上不起作用的片段。伯恩斯坦（J. N. Bernstern）和我提出了另一种方法来构造满足二次相交条件的曲线族6这种想法使我们能得到爱因斯坦方程的其他实解。
[The Mathematical Intelligencer 1983年第5卷第27期]