—、作为独立科学的数学
众所周知，数学家对于数学的性质的看法，历来就有不同的观点，有些人倾向于把自然科学，特别是物理科学看作是数学问题和数学思想的最终源泉。
另一些人倾向于把数学直觉看成是关于数学对象自身的抽象结构（不管把它们看成是什么）和对其他学科的独立性的某种基本的东西。还有一些数学家，对诸如自然数集或实数集这样的抽象数学对象，看成具有更强的意义下的“实在性”，当然对其他一些数学对象就并非有这样的感觉。也许，所有这些关于数学的感受和观点，在它开始时就已存在。例如，希腊数学就看到了公理几何学的发展和形式逻辑的原理，尽管他们当时并没发明数系，当然他们对线段的长度和线段的比例是做了工作的。显然，他们把点、线看成是抽象的，非物理的实体，但是他们确实知道他们的几何学能应用于空间测量的实际问题。微分学是同时由牛顿，在较强的意义下的物理实在性推动之下，和莱布尼茨在更多的是由于逻辑学和形式的数学方向下的激励而发明的。
在任何情况下，大部分数学家不顾他们对于数学性质的个人的哲学信念的差别，总有几个基本的观点是一致的。第一点是数学是抽象的，它基本上是由对抽象物的思考和关于抽象物的推理所组成的。第二点是数学命题的真或假，是由显示该命题能否在某些给出的第一原理或假设真理之上加以证明的推演过程所决定。这个过程与其他科学相比，至少在下述方面是不同的：即使像物理学那样的抽象学科，最终还是要依赖于某些适当的物理世界的操作。人们要通过“观察”他们的工作去经验地检查假设和规律。但是在数学中，人们能够证明定理，从而建立数学真理，而无需任何关于现实世界的操作。对一些优秀的数学家来说，写下符号以及观看它们这样的平凡的操作也可以略去不用。
数学和其他科学的差别。对科学的基础问题来说是重要的。尽管一个理论物理学冢的思维可以是抽象的，但是他最终还是可以借助外部的物理世界作为他的学科的基础。尽管关于光学的讨论（或关于它的模型的讨论）是佯谬性的，或甚至是矛盾的，不过光终究还是存在的。但是不存在与物理实在性相应的，可以作为数学的最终基础。人们有理由提出问题：如果物理科学可以物理实在性作为基础，试问数学的基础是什么？
数学的这种不同于其他科学的独特性，常常因数学中的各种发展而引人注目。其中最著名的一个（尽管它的意义被说得夸大了些），是十八世纪和十九世纪非欧几何的发展。当然，如果人们把欧氏几何看成是抽象的公理系统，那么，一个公理对其他公理的独立性，因而有满足余下的公理和那个独立的公理的否定的模型的发现，就毫无令人惊异之处。当时由非欧几何引起的冲击是第一个证据，说明对欧氏系统并未按这种方式理解，宁可说把它看成是关于空间的真理的陈列，因此其它几何学的可能性就蕴涵着（甚至必然地）其他空间，即其它物理实在的可能性。高斯（Gauss）和其他学者，为了去判定那种几何学对空间来说是“正确的”，曾做出种种努力。但是，显然在任何情况下，所有几何学按同样的方式对同一物理实在性都是真的。因此，非欧几何学的发现，帮助传播了这样的观念：一个数学系统具有独立于任何物理实在性概念的内在完整性，也就是自身的一致性。
数学系统独立于物理世界的观点被广泛接受，无疑是和十九世纪和二十世纪新生长的科学哲学有联系。陈旧的绝对的观点开始在物理学中消失。这种现实性逐渐使人感到：“空间”和“经验的实在性”本身也是人为的，人们比所能想象的还更为远离未加工的外在实在性的材料。二十世纪，人们目睹了这种哲学和科学态度的扩张，其结果是产生了从各方面看都更为深谋远虑的科学哲学。
因此，人们可以说，现代基础研究的第一组成部分是把数学看成是独立于物理实在性的科学，是一门研究对象为自相一致的、无需任何特殊的实在性意义下真的科学（尽管我们宓须记住一阶逻辑的完全性定理，定理将告诉我们它们将在某些尽管并非物理的结构中是真的）。
二、分析的算术化
现代基础研究的第二组成部分是分析学和二十世纪产生的集合论的发展。这种发展把数的纯粹算术的（或代数的）方面从几何学中分割开来，代数学的发展并不来自希腊，而来自东方印度 - 阿拉伯文明，通过把几何学和代数学合并成单一学科解析几何学，从而“发明”解析性的是笛卡尔（Descartes）。这门学科使得数学家可以通过观察图像去“考察”函数。实数轴同时在几何方面和代数方面被看成是连续统，人们可以通过观察和讨论图像去证明关于函数的事实，一个函数绝不可能和作为它的几何复本的曲线完全分割开。到了十九世纪（甚至二十世纪），我们看到数学家使用拟几何的分析定理的证明。
分析的算术化，是由戴迪根（Dedekind）；维尔斯特拉斯（Weierstrass）和其他作者，在成功地发展—种代数地未借助任何几何直觉的实数的自包含（self-contained）概念中，建立起来的。实数的定义是通过把实数看作有理数的某种无限集，从有理数出发的。依次可见，有理数被定义成整数比，整数容易由自然数构成。除了在分析学的定理证明中避免求助于几何直觉外，戴迪根的叙述还表明：从并不众多的基本原理出发，可能构造出一切数学。当匹阿诺（Peano）和戴迪根成功地给出了一个自然数的抽象形式的理论时，这种感想就特别盛行。柯西（Cauchy）的贡献尤值得注意，他给出了极限和收敛的精确定义。这些概念自微积分发明以来，一直在折磨着数学家。柯西表明了在论述收敛性概念时，怎样避免借助无穷小量和几何直觉。
紧接着分析的算术化是把几何推广到拓扑学，本身是自包含的纯粹学科。弗来切特（Frechet）在矩阵空间概念中，两个概念的结合，被允许用于对分析中的定理的几何内容、分析内容作出精确的分割。
但是，不久就明显了，通过新的结构建造的分析的大厦的基础所涉及的，比诸如自然敷或自然数加上大量的集合论推理所涉及的更为众多。人们已经用求助于集合论直觉去替代求助于几何直觉。许多数学家表达了他们对势不可挡的集合论推理的一般性，特别对把握无穷集的方法的忧虑。这些在世纪转折年代，随着一系列在集合论推理中的逻辑矛盾（可含糊地作为“悖论”）的出现而愈加增长，这些矛盾随着对分析大度基础的仔细考察是不可避免的。
生出悖论的直觉的集合论，是由康托（Cantor）创造和发展的。他的主要贡献是关于无穷集的一般理论，康托的概念，对戴迪根 - 维尔斯特拉斯的实数构造是本质的。康托的无穷集理论可以用来进一步把数学从其他科学中分割出来，因为显然这里的抽象物不可能有相应的物理实在。不管怎样，右物理对象的无穷集的启示是不存在的。甚至像宇宙中所有原子组成的集，尽管数量极为庞大但还是有限的。当把实数看成一个几何连续统时，人们仍可以求助于某种物理模型作为分析的基础。例如，时间常常被看成实数轴的一个物理模型。无论其值是正的还是负的，读者总想有这样的物理类比，在这里用无穷集论来看特点，不再是可能的。
在形象化的和直觉的无穷集中的困难，促使人们努力寻求集合论的公理化。按这种方式，人们至少能明确什么样的运算是允许的，尽管人们并不总能给出能做些什么以一幅具体的图画。策麦罗（Zermelo）1908年的文章，是在此方向上的一个里程碑。
三、构造主义
不仅因为集合论悖论，而且因为他们对无穷集的存在性的怀疑，有一批数学家采取了一种对分析的构造主义方法，布劳维尔（Brouwer），彭加宙（Po-incar6），克罗内克（Kronecker），和威尔（Weyl）几位数学家采取了某种程度的构造主义立场。可以展开自然数理论，而无需把它们看成是完全集，或可以对它们应用其他集合论运算（诸如幂集；即构造一切子集组成的集）。人们能够接受无终止的数的层次0，1，…，n，…其中每个有唯一的后继，除0外每个都可由唯一的前级得到。通常的数论函数加，乘，指数和类似的函数都可以递归的加以定义，对它们的性质的研究可以无需假设存在某个集N，把没有终止的层次变成一个集合。整数可以容易地由自然数构成，有理数可以看成整数的比。所有这些都可按结构的方法做到，无需求助于无穷集。某些无理数可以有效地构造也是显然的。情况是这样的，我们能够构造性地把它定义成收敛于无理数的有理数序列。因此
（这个概念一定不要与自古以来一直在研究的古典意义下的可构造数混淆，古典意义下的概念是对应于尺、规可构造的长度的数。这种意义下的可构造性，比我们现在正在描述的可构造性要狭窄一些。）总之，实数的一种构造性理论，是一种与包含无穷集的数学相对的涉及到计算数学时所要作的东西。
构造主义者把有关无穷集的讨论看成是一种虚构。他们认为，这对通过把实数轴看成是完全的某些数学家是有帮助的，不过只是在帮助发现构造性实数的真命题方面，它将有实际的效用。
近来在构造性分析方面的工作表明，某种经典分析的说明也可以按构造性方式去做，对许多经典的定理有着构造性的类似物。
构造主义代表一种关于数学基础的哲学立场，不过对非构造主义者了解许多现代数学怎样才能用构造性方式加以实施来说，也是饶有兴味的。
与任何关于构造主义和数学基础讨论有关的是希尔伯特（Hilbert）纲令。希尔伯特不是一位构造主义者，但是他承认在论述无穷集时，确实存在某些困难。他的思想是去形成一个系统，其中可以表达无穷集概念和关于无穷集的运算，并且用纯粹构造主义的方法去证明系统的无矛盾性。用这种方法，无穷的数学将可以用构造主义的方法去证明它的合理性，因为我们将能构造性地证明：在无穷的数学中永远不会出现矛盾。希尔伯特纲令被热情地接受，但是它遭到了未曾预料到的困难。
四、弗雷格和形式系统概念。
我们曾经用现代的观点讨论过形式逻辑和一阶理论，不过我们没有讨论过它们的历史起源。莱布尼茨和其他学者常常苦思冥想发展一种数学的专门语言，一种唯一地数学的和逻辑的语言。在这个方向的多种努力，直到十九世纪都未成功。（当然，使用变元和专门符号的代数学，是在这种方向下的一个有意义的步骤，哪怕一个简单的代数方程，如果按普通语言加以陈述，也将变得无望的繁复。）十九世纪，布尔（Boole），棣莫根（De Morgan），施累德（Schr?der），皮尔斯（Peirce），匹阿诺和其他学者开始以重燃起的兴趣，更大的成功，在这个问题上进行工作。这些创作者中最为成功的是弗雷格，他或许是第—位按现代意义，发展起一种形式语言和形式逻辑的逻辑学家。弗雷格于1879年发表的《概念语言》，当时鲜为人知，弗雷格的著作的力量只有到了近代才获得恰当的评价。在这篇文章和他后来的文章中，现代形式逻辑的框架清晰地建立了。
为适应形式逻辑发展成一般模式的需要而做出的种种努力，我们曾经概述过一种观点如下：在分析算术化过程中数学家的注意集中在内容。他们把注意几乎全部集中于对数学对象的理解。很少想到用来证明这些对象属性的逻辑。例如，一个证明是什么，没有做出任何努力，去对它加以说明。当然，对有所断定的定理要给出证明，但是对证明概念本身没有作什么分析。
这个缺点的一个后果是，对数学的公理方法中导出的有效性概念不可能做出充分的论述，因为手头上没有“证明”或“逻辑”的精确概念。随符经典逻辑的数学仅用形式逻辑，拒绝1847年开始的布尔发表的著作而明显地显得不足，所谈及的困难就愈为增加。然而，布尔的系统实际上不是形式的，它们尽管在形式上不同，在效力上和经典逻辑是可作比较的。
弗雷格的贡献有两方面。首先，他开始并且发展了关系逻辑（也为棣莫根，施累德，皮尔斯独立地发现过，也为当时的其他的逻辑学家在不同程度上研究过）。这种新的逻辑证明为在形式逻辑发展的道路上本质的步骤，它构造了现代逻辑和经典的亚里士多德逻辑之间的基本差别。
第二，弗雷格引进了形式系统或“符号演算”这个基本概念。这个基本进展在于把一个数学地定义的某种类型的代数系统看成一种语言概念的抽象表示。这样的一种形式语言不同于直觉地给出的自然语言，前者的诸法建用精确的术语完全地加以刻划和定义的。按这种方式，关于语言的陈述，就不再会有如同在英语这样的自然语言的语法讨论中所有的内在含混性。
弗雷格关于数学基础的设计，现在可以简略地描述如下：因为数学是独立于物理实在性的，它的真理性也必须独立于这种实在性。这样的真理是真的，简单地说是由于我们使用词的方式，这些真理是普遍的并且先于经验的，因为它们并不依赖任何“偶然的”实在性。让我们把这样的真理（如果确实有的话）叫做分析的。因而人们试图通过证明一切数学真理都是分析的，去给出一种数学的基础，做法是通过从一组自身是普遍的逻辑原理（即分析真理）的初始原理去导出数学。并且，从这些原理导出数学是在一个形式语言中可表达的，这种形式语言中的逻辑导出规则是明确地给出的。这些规则是逻辑推导的普遍原理的清楚陈迷。在这种形式语言中，一个证明是语言中的符号表达式的某个有限序列，使得序列的每个符号表达式 ，或者表示了原来给出的普遍原理中的一个，或者可由序列中在前的表达式通过我们明确地加以陈述过的逻辑推论规则推出。一条定理，从而一条数学真命题，可以用任意一个形式证明的最后一个公式加以表示。
这个规则在概念上还是有欠缺的，弗雷格已发表的作包含精细的结构，它使人确信这个方法的一种可信性。但是，弗雷格对数学设计的一个形式系统，被证明为包含不一致性，这可通过用集合论的推理发现一个新矛盾，由于这个特殊的矛盾，所谓罗素悖论，是从逻辑的一个“普遍有效的”原理直接导出的，为保持一致性而必须做出的修改却并不容易达到。
五、基础的标准、
让我们用一种一般的方式去陈述某些对任何种类的数学基础似乎都是必要的标准。
（1）数学的基础必须足以适合大部分数学。
（2）基础必须由某些直觉上自然的原理导出 ·
（3）基本原理和初始概念应仅可能的经济。
（4）基础必须是无矛盾的。
（5）基础应作为形式系统加以表达。
（6）在系统中，普通数学的结构应该是自然的，有序的。
（W. S. Hatcher：The Logical Foundations of Mathesmatics，1982年）