引言
在科学技术预测和经济预测中，特尔斐法虽然是二种常见的实用方法，但在本质上是一种十分直观的方法，因而有许多缺点。类比法虽然不像特尔斐法那样直观，但也不甚精确。因为无法断定一些事件一旦引起一种特定的后果，同样一些事件是否会再次引起同一种后果。即使考虑到历史的特殊性和历史条件的局限性，类比法最多也只能是一种可接受的论据，而不是可靠的证明。
有些学者在寻找更为严密的预测方法时发现生物的增长过程和技术设备的增长特性之间存在某种类似。这种即使是极小的类似性表明，似乎可以用一种与生物学家预测有机体和人口增长的相同方法来预测技术的增长。
图1表明一只南瓜重量增长的情况。在这里，南瓜的瓜量似乎完全按照一种有规律的曲线增长。通过对一些南瓜重蛍增长的观察已证实这条曲线大体上是正确的，如果对这种南瓜的早期重量增长的数据点已做出记录，就可以用这条曲线来预测这种南瓜的增长过程。图2为酵母菌细胞数量增长的情况，它似乎也循着同一条有规律的曲线发展。这样，假如已经获得酵母菌细胞早些天的增长数据，生物学家就可以预测它的增长过程了。相似的曲线也可以用来描述在一个封闭系统内使用定量试剂所做的化学反应的变化过程。
图3所示，为两种不同类型照明设备效率增长的情况。最初的模型表明白炽灯和荧光灯的效率都很低。但很快就增长到各自所能达到的最高极限了。可以看到，为了更富有竞争力，荧光灯的最初产品型号其效率就几乎和白炽灯的后期水平相同。
图4为民用发电厂的热效率。以每磅煤所产生的千瓦一小时表示的增长曲线。注意，此图不仅包括前面蒸汽机的效率，也包括从透平输出轴到汇流排的整个系统的其他损失。由于没有追溯到很早以前的数据，因而在图上无法看出S形曲线最初的缓慢上升段。由于装置的性能已接近物理学定律的极限，因此曲线的后段已明显平缓。既然产品技术水平的增长似乎与生物有机体的增长表现出类似的特征，人们自然会想在二者之间找到某种类比法来对它们进行比较。采用类比法有两个目的，首先用来说明增长曲线用于技术预测的合理性。其次为技术发展的过程提供一个模型，以便做出更为准确的预测。伦兹曾经研究出这类相当完整的类比。他的研究结果如表1所示。这种类比是很不严密的，充其量只是描述性的，并不真实。连伦兹本人也不大力提倡这种方法。相反，他的观点是，尽管通过与生物增长相类比可以使人们感到增长曲线法是可行的，但它能否继续使用尚需根据预测是否成功来决定，而并非取决于两者之间可类比的程度。
无论人们把增长曲线法看作是类比法的一种精确形式，还是把它仅仅看作一种有效工具而不管两者可否类比，把历史数据绘成曲线总是必不可少的。显然徒手描绘绝不是一种好办法。为此，需要用一个数学函数来对历史数据进行拟合。在下面，我们将讨论这种拟合方法。但在此之前，我们还需先讨论增长曲线法在技术预测中的另一个用途。
更替曲线
人们常用一种新的技术方式取代另一种技术方式以达到同一种技术指标。预言这种技术方式更替的快慢是一种可取的方法。我们愿意预测新技术取代老技术的速度。对一种全新的技术没有相应的老技术可取代，在这种情况下，我们关心的是全新技术被采用的速度。虽然更替曲线似乎不太恰当，不过，我们仍将使用这一词来说明两类情况。
过去，我们也是用S形曲线来表示一种技术方式取代前一种技术方式。图5和图6为两个典型实例。图5表示1870年到1965年期间美国所使用的机动船的总吨位与所使用帆船总吨位之比的百分数。图6表示1870年到1965年期间所制造的金属船舶总吨位远超过所制造的木船的总吨位（金属船中包括所有的钢壳船和金属水泥船）。机动船更替帆船和金属船更替木船的更替曲线是我们所熟知的S形曲线。重要的是应承认在新技术方式发明以后人们仍在建造旧式的船只。在1885年以后很长一段时期内，人们仍在建造木船。1870年后还有人建造帆船。通常，当新的技术方式还没有在其经济性和可靠性方面表现出优点时，人们仍然沿用较老的技术和制造老式船只。随着使用领域的不断扩大，较新的技术经受了考验并证明其性能的可靠时，较老的技术就被放弃。在任何情况中新技术方式更替旧技术方式都是如此。使用新技术方式往往要冒风险。所以它在刚刚被发明之时并不能立即为人们所采用。有些可能采用新技术的人宁可让别人去冒险，并在别人试用新技术以后仍使用旧的技术。而另一些人认识到不采用新技术也是冒险的，他们坚决采用新技术。如果这些人成功了，别人就会仿效。为此，就可以用一条增长曲线表示较新技术对于较旧技术的更替。预测者用技术水平的增长曲线根据曲线下端历史数据对新技术采用的快慢进行预测。
当涉及的不是一种新技术更替老技术，而是预测一种前所未有的全新功能的问题时，我们同样用一种相同的增长曲线。图7表示从1907年到1955年美国用电的家庭所占的百分比。在某种程度上，电力不仅用于电灯取代油灯和蜡烛、用于电冰箱取代天然冰箱方面，而且在用于洗衣机和吸尘器取代人工操作的装置以及为那些以前从未发明的装置如电风扇和空调器方面提供了动力。某些新技术增长的特点大体上与住家电气化所占百分比增长的情况相同（曲线都呈S形）。部分原因首先是出于经济上的考虑，部分原因则是有些人嗜好发明，喜欢做最新的尝试。而大多数人却走着瞧，他们总是在别人做出样子以后才跟着干。
我们将研究为历史数据拟合数学函数的问题，以便推测S形曲线的未来增长过程。
比尔曲线
我们将讨论一种特定的逻辑曲线。人们对此曲线的称呼各不相同。有的称之为比尔 - 雷德曲线，有的则简单称之为比尔曲线。这曲线是以雷蒙德 · 比尔的名字命名的。比尔（1870 ~ 1940）是美国的生物学家和人口统计学家，曾对有机体和人口增长做过广泛研究。他发现现今以他名字命名的比尔曲线极为正确地描述了有机体和人口增长的情况。具有代表性的结果正如前面图1和图2所示的那样。
比尔曲线的公式是
的变化将使t1和t2增加或减少相同的量。使曲线向左或向右移动。但是a的变化不会对使y1变化到y2的时间差（t1-t2）产生影响。在技术预测的通常情况下，上限L是根据某些已知的物理极限来规定的。于是根据某些历史数据来决定a和b，使曲线与数据获得良好的拟合。这样，就可以预测未来的发展。在某些情况下，预测者也可以根据历史数据来确定L，求出a和b，使曲线得到最佳的拟合。但通常并不提倡这么做。在某些技术的最初发展阶段，决定增长的主要因素是投入的人力和物力以及使一种新技术得以实现所遇到的障碍。在这些阶段，上限对于增长并无影响。所以在数据中看不出上限的影响。因此从这个数据中预测者无法预测这个极限。现在让我们回到对数据的最小二乘方拟合的问题上来，以便确定a，b值。假设我们已经有了n组观测值yiti，我们就要使下面的表达式达到最小。
从而求得Y对于t的回归。因为方程中的常数项是Ina，回归系数是b。
当然这个过程并不是使原始数据与拟合曲线之间的差的平方和达到极小。实际上是使原始值与拟合值之比的平方和达到极小。在每一点上，所用的比值可以是数据值与拟合值之比，也可以相反。但都要大于1。这是一种比较简单、并且在客观上可以再现的拟合方法，直观上也是满意的。因为，如果最小平方和为0，这个曲线就会通过所有数据点，尽管严格地说，它并不是最小二乘方拟合，但是按照历史数据来做预测，这种方法还是可取的。
应当指出，在某些计算中心已有了这样的程序，它们不采用取对数的方法把指数项分离出来而是用迭代凑试法来选择a，b（有时还有L），以获得最佳拟合。如果有这样的程序，就可以用来取代上面的方法。
龚伯茨曲线
这里，另一条常用的增长曲线是以本杰明 · 龚伯茨的名字命名的。他是英国的统计者和数学家。他首先提出了以龚伯茨曲线作为死亡实的规律。它同样也用来描述某些收入的分布，该曲线的方程为
从而获得Y对t的回归，这个回归方程中的常数项是lnb，因为系数是-K（注意，K被规定为正值，回归系数总是带有一个负号，所以它是K的负值）。
这个方法是使拟合值与原始值之比的函数的平方达到最小，而不是两者之差的平方最小。然而这个方法使用方便。客观上可以再现，所以作为预测工具是令人满意的。
有些计算中心也利用迭代法来拟合龚伯茨曲线的程序，有了这个程序，就比上述方法来得简单些。
若干实例
我们考察用比尔曲线和龚伯茨曲线对历史数据拟合的一些实例。对数据中的一两条曲线进行拟合。最后还要考察一些不完整的S形曲线的数据，并以这些数据为根据进行预测。
图10表示民用发电厂效率增长曲线。数据点是用龚伯茨曲线来拟合的。这条曲线以35%为最高综合效率来计算。其中包括了从燃烧到发电过程中所有转换的损失。注意，曲线中从1940 ~ 1955年这段期间数据与曲线的偏离是二次大战所造成的。在这段时间内新的发电厂数目被控制至最小。国家用了十年时间建造新的发电厂来替换旧式的低效率的电厂。
图11为美国商船从帆船过渡到动力船的数据，用一条比尔曲线拟合数据来表示。从曲线预测来看，似乎要比实际过渡得更快些。所获得的第一年——1870年的数据表明，输出量总吨位的30%以上早就是由动力船运输的。但是，早在1847年美国制造的第一艘横越大西洋的蒸汽船已投入使用。该曲线大体上与较早期的数据拟合得不甚好。用比尔曲线可以预测出过渡期的长短。但这条曲线在开始时增得太快，到结束时则减慢下来，它比比尔曲线更慢。
图12为美国商船从木船过渡到金属船的数据。用龚伯茨曲线与数据拟合。拟合大体上还过得去。偏离可解释为第二次世界大战和经济大萧条所致。两次大战促使造船业兴起，尤其是钢铁船的发展更是如此。但萧条期金属船的吨位数的衰减使得1885年以来不断上升的增长趋势暂逆转了。
图13表示住家电气化的数据。用比尔曲线拟合来表示。看来，萧条期造成了数据偏离。1935年美国用电住家所占的百分数比1930年还要低0.8%，若无此偏离，原来已拟合的曲线很可能更好些。
以上所举的实例说明，可以用一种或另外一种数学函数来描绘某些技术功能指标的增长。数据增长尽管与生物增长之间的类比不很明显，但从生物现象推导出来的增长曲线看来还是可以用来描述数据的变化的。
预测的一个实例
上面我们已对或多或少是比较完整的过程进行了考察，并对数据加以拟合。基本目的是要说明这二种增长曲线确实能对技术增长给出很好的拟合。但通常所遇到的并不是这种情况，我们一般关心的是预测一项技术的增长是怎样达到其最高极限的。我们要用仅有的完整的S曲线的早期历史数据去预测该技术怎样达到其最上限。
为了对这一做法加以说明，我们来考察这样的一个预测实例，以美国每1000人所占有的电话机数为例，并预测其未来增长的情况。这样既可以把它看成新电话的采用快慢的更替曲线，或看成美国电话系统作为大规模通讯的技术水平的量度。
首先应估计我们预测的参数增长的可能最高极限，可以假设，每1000人的电话占有量其增长值不会大于1000台（即每人一台）。但离开这个数字多远就停止增长了呢？显然，幼儿和学龄前儿童是不使用电话的。十一、二岁的孩子也很少需要打电话。即使要打电话，也可以用他们家长的电话。因此正确的做法是把15岁或15岁以上的人每人占有一架电话定为最高极限（注意，这种方法是按已公布的人口调查统计数字为准的，即5年分为一档，按0 ~ 4岁，4 ~ 9岁为一档等等划分）。根据人口调查的结果，在1967年，我们所得的极限为696.9台/1000人。用比尔曲线对电话机过去数据加以拟合，首先应用转换法对数据进行转换。另外，转换数据和最佳值已标在图14中了。把这些值重新转换过来就是要预测的值。为此，只要按方程式（2）（3）做反向运算就可以了。从这比尔曲线拟合延伸至2000年，1000人占有的电话台数。早期的数据和最佳拟合曲线已点绘在图15中。
根据预测，增长率是逐步减少的。到了2000年，每1000人占有的电话机数仍略低于所估计的696.9台这一最高极限。必须记住，这一预测值仅仅是每1000人占有电话机数的一种，其绝对值仍随人口的增加而增加。
在做过预测并使用这一预测值时，必须记住几点：首先，已假定最高的增长极限。这极限远非以任何物理学定律为根据，而是以不同组年龄的人对电话的需要为根据的。其次，我们用一种特定的数学函数的技术指标的方法即用比尔曲线来描述走向这一最高极限的过程。最后我们是根据这一参数的历史数据通过数学拟合过程来确定比尔曲线的两个参数的。即使可以用物理学定律确定最高的极限，后两种做法仍然是必要的。只要二种（或三种）假设都是有效的，我们就可以采用该项预测值。对于一个具体情况来说，这些数值有效性直接取决于预测的置信度。当高级数学拟合技术似乎会增加预测的有效性时，必须看到这仅仅是一种表面现象，预测的有效性更多地取决于数据和基本假设的有效性，而不取决于数学方法本身。数学拟合主要是把历史数据以及我们的假设中所包含的意义进行浓缩的一种客观方法。它丝毫不能增加历史数据和我们假设的有效性。
预测的准备
前面我们对一组数据进行数学函数拟合之事做了讨论。假设我们处在某一项新技术的早期发展阶段。我们已经有了最初一些原型的历史数据，并希望预测这一技术的未来发展情况。但除了用数学曲线来对一些数据加以拟合外，还有许多事情要做。现在开始谈谈其他的考虑。首要的事情是使用互相一致的数据的问题。数据的不一致，会使得对未来增长的预测严重歪曲。确定达到某一技术水平的时间是十分重要的。假如所给的第一个时间是指在实验室内达到的技术水平的时间，而第二个是第一台样机出现的时间，而另一个时间是指这类型号机器已大量应用的时间，那么数据就不一致了。退一步说，数据分散的增加会造成回归系数不必要的和极大的置信极限。如果历史数据出现系统的失真，就会导致更坏的后果。例如：早期的点所表明的是实验室可行模型达到的时间，后面的点表明的部是大规模投入市场的时间。这样预测值就会趋向于偏低。而实际水平的增长比预测的要快得多。如上所述，若用龚伯茨曲线和比尔曲线拟合，就需要对正在预测的技术方式的技术水平的潜在增长率估计出一个上限。但对于这一点，很少有人做过论述。现在我们就这个问题进行更详尽的讨论。
在更替曲线中，估计一个上限是较简单的事情。在大多数情况下，上限为100%。在某些情况中，有某些新技术是不适用的。可以估计原来的老技术可能固守这些使用领域。但我们可以排除这种考虑，仍预测新技术百分之百地取代老技术。值得注意的是：为了得到在给定的时间内这种新技术所使用的总的数量，就需要预测到那个时候在这一使用领域内新技术总数量的大小。这是另外的预测问题。
技术指标的水平如最大速度极限，一般是由基本的物理学定律来确定出一个上限。为了确定这一上限，就需要对这种新技术的技术特性进行周密的考察。根据这些技术特点来确定这些极限。一般说，预测者在估计这一上限时会犯过高估计和过低估计的错误。其具体原因在于，过低估计增长上限往往是由于不适当地强调众所周知的困难和问题，而这些问题往往属于实践上的问题而不是理论问题。它常常涉及到制造工艺，缺少关键材料及成本高的事。历史已表明，人类的聪明才智是可以克服这些困难的，人类可以找到一种制造方法去达到所需要的精度，而且靠普通的工人操作就可以完成它。人类还可以使用代用材料，或采用别的方法而不用稀有材料的方法去制造。而成本高的问题则靠大量生产而得到解决。预测者不应因了解到问题的存在而把可能的上限确定过高，相反，他应认识到S曲线初期增长率之所以低是困难所造成的。在困难被克服以后，新技术增长就可以期待按S形曲线的急骤上升段的趋势发展。
对于上限估计过高往往是由于对基本的和理论的限制的错误考虑而造成的。一般来说，预测者对这种新技术的理论方案在开始时考虑得太简单，根据这种方案确定的限制因素偏高，而理论方案中忽视的因素将会使限制因素降低。这一典型实例是预测者在性能指标较低时所忽视的影响，而这些影响在性能或尺寸提高时是带有决定性的意义。其次，预测者往往忽视度量尺寸的变化对材料性质的影响。例如，当尺寸减小时，材料不再被看作连续介质，预测者务必把其看成晶粒结构，并考虑它的不均匀性，另一个实例是没有充分考虑尺寸的影响。而这个尺寸影响是呈平方立方规律的（例如尺寸变化，面积按平方变化，立体则按立方变化）。这就是说，当尺寸减小时，面积减少得比体积减小得慢，因此面积效应可能变得主要了。当尺寸增大时，面积增大得比体积要慢些，载荷能力或能量传输力很可能受到限制。最后，为了提高技术指标，而将几个类似的单体相连在一起时，它们之间会产生交互作用。而这种交互作用是会给技术指标带来某种极限，而预测者往往会忽视这一极限。例如，从单一电池中能获得的电流往往受电极面积大小的限制（它限制了电池内化学反应率）。如果需要更多的电流，一种方法是制造更大的电池，另一种方法就是将两节电池并联。如果两节电池是一样的，在原则上与增大电池截而一倍是等效的。从而使最大供电流加倍。但实际上并没有任何两节电池是完全一样的。一节电池的端电压总比另一只稍大些。这样，高电压电池产生的反向电流就会流到低电压电池中去。这种反向电流是不会输出到外电路上去的。而且，它甚至会缩短两节电池的寿命。为了提高技术水平，而把类似的单体联接在一起时，交互作用的产生是不可避免的。其结果就是技术指标的上限总是低于根据在忽略了交互作用情况下的简单分析所预测的值。预测者必须承认，不能绝对保证在估计一项技术的增长最上限时不出差错。然而注意到差错出现的可能类型和产生差错的原因，做出正确估计的可能性就增加了。即使预测者对某一可能达到的上限估计得很准确，他的预测仍然可能由于其他的因素的出现而被推翻。使用另外一种在经济上更有利的或在技术上更先进的或在经济技术上都更为优越的方式很可能达到相同的技术性能，在这种情况下，这种技术就会在它还没有达到可能的上限之前就变得陈旧了。例如：在理论上，完全可以设计超音速螺旋桨，甚至可以设计速度达到800公里/小时的涡轮螺旋桨飞机或活塞式飞机，但事实上，螺旋桨驱动的飞机却从未达到这一速度。喷气式飞机不仅达到了800公里/小时，而且可以达到这一速度的二倍、三倍。喷气飞机一出现，超音速螺旋桨就成了一种没有前途的技术，它由于经济上的原因而遭淘汰。最后一点应注意的是，上述描述各种技术增长的曲线只限于某一种单一的技术方式。当表示二种不同的技术方式时，每一种技术方式所表现的是各自的增长曲线，并且表示的是最一般的情况。S型增长曲线是某种技术方式的最典型情况。超出了该技术方式的极限，增长曲线对于预测就会失去作用。
小结
某种能够完成一种功能的技术，它所能达到的性能总是有一定的限度。在对一种技术未来的发展进行预测时，预测者感兴趣的是该技术在达到其极限的过程中的发展速度。如果把已有的历史数据点绘在图上，它往往是出现在S形曲线的下端。根据这些数据配制出一条完整的S形曲线就可以进行预测了。所以用曲线拟合法比用徒手描绘要好得多。
在其他领域的研究中（如人口与收入等），也曾发现有些现象也呈现出相似的S形曲线。这类现象和某种技术增长现象之间可以做出类比。这样做似乎使人相信技术的发展也可能呈现这种增长规律，但这种类比法实际上是十分脆弱的。在技术预测中使用增长曲线法更多地取决于预测的实际效果，而不取决于它是否可以与人口的收入或收入分布状况等类比。
在技术预测方面广泛使用的有两种增长曲线，一方面是由于这两种类比曲线简单易行，另一方面是在实际上这两种曲线与历史数据拟合得很好。这两种方法就是比尔曲线和龚伯茨曲线。这两种简单的曲线拟合技术具有再现性，可以使预测者直接从一组数据中确定拟合曲线的参数。一旦曲线参数确定了，就可以绘成曲线。把它延伸就可以得到预测值。
使用增长曲线法的合理之处在于它比使用直观的方法如特尔斐法更为客观些。然而表面上纯客观性是很迷惑人的。选择比尔曲线或者选择龚伯茨曲线，这本身仍然是一种主观的选择。它是根据对历史数据拟合的好坏而确定的。即使是根据两种曲线所产生的偏差平方和的大小来决定的，采用这一准则仍然是主观决定的结果。把两条曲线在图上都画出，再根据对比来选择，那就更主观了。此外，利用增长曲线比利用类比法更为可靠，特别是当有足够的历史数据来确定方程中的参数估计值而使这些估计值在统计上作用十分显著时更是如此。
不过应当记住，并不能保证某种技术的未来发展必然是过去的延续，即一定是在该增长曲线的延续部分。尽管历史上曾多次出现这种延伸现象，但在特殊情况下它可能不准确。因此，不能把这种方法视为完全可靠的方法。
虽然使用增长曲线法并不完全可靠和不完全客观，但它较之特尔斐法和类比法毕竟是一种进步。倘若具备了足够的历史数据，增长曲线法就为预测者提供一种简单的、能够再现的客观方法。以往有不少技术就是根据增长曲线来预测的，收到了良好的效果。看来增长曲线法是一种可取的方法。
[Technological Forecasting for Decision Making]