数学创造的发生是一个使心理学家强烈感兴趣的问题。它是一种活动，在这种活动中，人类精神似乎从外部世界所取走的东西最少，在这种活动中，人类精神起着作用，或者似乎只是自行起作用和按照自己的意志起作用，以至于在研究几何学思维的步骤时，我们可以期望达到人类精神的最本质的东西。
长期以来，人们已意识到这一点，数月之前，由莱桑（Laisant）和费尔（Fehr）编辑的《数学教学》杂志开始调查各个数学家的思想习惯和工作方法。当那项调查的结果发表时，我已写完了我的这篇文章的主要轮廓，因此我不可能利用他们的调查结果，我只想说明，大多数证据证实了我的结论；我没有说全部证据，因为当诉诸全体投票时，不可能希望会取得完全一致。
最初的事实会使我们感到惊奇，或者更确切地讲，如果我们还不这样习惯它，它就会使我们感到惊奇。有人不理解数学，这是怎么发生的呢？既然数学只求助于所有正常思想都能接受的逻辑规则，既然数学的证据建立在对一切人都是共同的原理的基础上，既然没有一个不发疯的人会否认这一点，那么在这里为何出现如此之多的不开化的人呢？
并非每一个人都能够发明，这绝不是难以理解的。并非每一个人都能够记住一次学到的证明，这也可以略而不提。但是，当把数学推理加以解释之后，并非每一个人都能够理解它，我们想想这件事，似乎是十分奇怪的。可是，大多数人只能够相当吃力地仿效这一推理：这是不可否认的，中学教员的经验确实不能否认这一点。
进而要问：在数学中为何也可能出错？健全的头脑不应当有逻辑谬误，可是有一些十分敏锐的人，他们对于发生在日常生活各种活动中的简短推理未犯错误，但是却不能毫无错误地仿效或重复数学证明，这些证明虽则较长，但毕竟只是完全类似于他们容易作出的简短推理的累积。我们还需要补充说数学家本人也不是一贯正确的吗？
答案对我来说是显而易见的。设想一个长系列的三段论，第一个的结论是下一个结论的前提：我们将能够理解这些三段论的每一个，在从前提向结论的过渡中，我们没有处于受骗的危险之中。但是，我们在某一时刻遇到一个命题作为一个三段论的结论，在过去—些时间后，我们又偶然地重新遇到它却作为另一个三段论的前提，在这两个时刻之间，这个链条的几个环节将显示出来；这样一来，可能会发生下述情况：我们忘掉了这个命题，或者还要糟糕，我们忘掉了它的意义。因此，我们可以用一个稍微不同的命题代替它，或者在保持同一阐述时，我们却赋予它以稍微不同的意义，我们面临的错误就是由此而来。
数学家常常使用法则。他当然以证明这个法则开始；当这个证明在他的记忆中还很清晰之时，他完全理解它的意义和它的关系，他没有陷入改变它的危险中。可是后来，他相信他的记忆，并进而仅仅以机械的方式应用它；不过，如果他的记忆模糊不清了，他就会统统把它用错。举一个简单的例子，这就像我们之所以有时在运算中出差错，是因为我们忘记了我们的乘法表。照此看来，数学的特殊能力仅仅是由于十分可靠的记忆或惊人的注意力。它是一种类似于玩惠斯特牌的人的能力，玩牌人记着所玩的牌；或者再进一步，它类似于棋手的能力，棋手能够想象为数众多的组合，并把它们记在心里。每一个高明的数学家都应该足高明的棋手，反过来也是这样；同样地，他也应该是一位高明的计算家。不用说，这有时会出现；例如，高斯（Gauss）同时是天才的几何学家和早慧的、精确的计算家。
但是也有例外；或者确切地讲，我弄错了；在例外不多于常规的情况下，我不能把它们叫作例外。相反地，正是高斯，才是一个例外。至于我自己，我必须承认，即使让我做加法，我也绝对不可能不出错。按同样的方式，我无非是一位蹩脚的棋手；我察觉到，采用某种走法，我会陷于某种危险；我审查了几种其他走法，因另外的理由放弃了它们，而最后我走了第一次考察的步子，其间我忘记了我已经预见到的危险。
换句话说，我的记性不是不好，但它不足以使我成为一位高明的棋手。在一段困难的数学推理中，最高明的棋手也会晕头转向，可是我为什么不会失败呢？显然，这是因为一般的推理步骤引导着我。数学证明不是演绎推理的简单并列，它是按某种次序安置演绎推理，这些元素安置的顺序比元素本身更为重要 · 如果我具有这种次序的感觉，也可以说这种次序的直觉，以便一眼就觉察到作为一个整体的推理，那么我已无需害怕我忘记这些元素之一，因为它们之中的每一个都在排列中得到它的指定位置，而且不要我本人费心思记忆。
于是，在我看来，在重复已学到手的推理时，好像我能够发明它。这往往只是一种错觉；但是，即便如此，即便我本人没有创造它的天赋，就我重复它而言，我本人也是重新发明它。
我们知道，数学次序的这种感觉、这种直觉，使我们推测隐藏的和谐与关系，但它并不是每一个人都具有的。有些人或者没有这种如此难以定义的微妙的感觉，或者没有超常的记忆力和注意力，因此他们绝对不可能理解较高级的数学。这种人是多数。另一些人仅略有这种感觉，但他们具有非同寻常的记忆力和高度的注意力这样的天赋。他们将一个接一个地记住各种细节；他们能够理解数学，有时也能应用，但他们不能创造。最后，还有一些人或多或少地具有所提到的特殊的直觉，因此，即使他们的记忆力毫无非同寻常之处，他们却不仅能够理解数学，而且可以成为创造者，并试图做出发明，其成功之大小取决于这种直觉在他们身上发展的程度之大小。
数学创造实际上是什么呢？它并不在于用已知的数学实体作出新的组合。任何一个人都会作这种组合，但这样做出的组合在数目上是无限的，它们中的大多数完全没有用处。创造恰恰在于不作无用的组合，而作有用的、为数极少的组合。发明就是识别、选择。
我以前已解释过如何进行这种选择；值得加以研究的数学事实是这样一些事实，通过它们与其他事实的类比，能够导致我们了解数学定律，正像实验事实能够导致我们了解物理学定律一样。它们是向我们揭示其他事实之间意外关系的事实，我们虽然早就知道其他事实，但却错误地认为它们彼此之间是毫无联系的。
在所选择出来的组合中，最富有成果的组合常常是从相距很远的领域取来的元素所形成的组合。我的意思并不是说，把尽可能相异的对象收集到一起就足以作出发明；这样形成的大多数组合都毫无成果，但是，它们之中的某些极稀有的组合却是最富有成果的。
我说过，发明就是选择；但是，这个词也许不完全严格。它使人们想起采购员，在他面前陈放着大量的货样，他逐个审视他们，以便做出选择。这里的货样多得不可胜数，他的整个一生也难以把它们审查完，事情的实际状况并不是这样。无结果的组合甚至不出现在发明家的思想中，除了他抛弃的一些组合——尽管它们也在某种程度上具有有用组合的特征——之外，在他有意识作出的组合的范围内，仿佛实际上从来也没有无用的东西。这一切就好像发明家是一位复试主考人，他只询问已经通过初试的候选人。
不过，我迄今所说的都是在读几何学家的著作时可以观察到或可以猜测到的东西，当然要动脑筋读。
现在，比较深刻地洞察和观察一下在数学家的心灵中发生了些什么 · 关于这一点，回忆一下我自己的情况是最好不过的了。不过，我将只限于讲述我是如何写出我的第一篇关于富克斯（Fuchs）函数的论文的。我请求读者原谅；我正准备使用一些专门的表述，但是读者不要害怕它们，因为没有人强迫他理解它们。例如，我将说，我是在这样的情况下找到了这样一个定理的证明的。这个定理将有一个不规范的名字，许多人都不知道它，不过这并不重要；心理学家感兴趣的不是这个定理，而是发现这个定理的情况。
我曾用了十五天时间力图证明不可能存在任何类似于我后来称之为富克斯函数的函数。我当时一无所知；我每天独自一人坐在我的办公桌前，呆一两个时，尝试了大量的组合，什么结果也没有得到。一天夜晚，我违反了我的习惯，饮用了黑咖啡，久久不能入睡。各种想法纷至沓来；我感到它们相互冲突，直到成对地结合起来，也就是说，造成了稳定的组合。到第二天早晨，我已确立了一类富克斯函数的存在，它们来源于超几何级数；我只能写出结果，仅花费了几个小时。
接着，我想用两个级数之商把这些函数表示出来；这种想法完全是有意识的和深思熟虑的，与椭圆函数的类比指导着我。我问我自己，如果这些级数存在，它们必须具有什么性质，我毫不费力地获得了成功，形成了我所谓的θ富克斯级数。
恰恰在这时，我离开了我当时居住的卡昂，参加了矿业学校主办的地质考察旅行。沿途的景致使我忘却了我的数学工作。到达库唐塞后，我登上公共马车去某个地方。当我的脚踩上踏板的一刹那，一种想法涌上我的心头，即我通常定义富克斯函数的变换等价于非欧几何学的变换，在我先前的思想中，似乎没有什么东西为它铺平道路。我没有证明这一想法；我坐在公共马车的座位上，继续进行已经开始的谈话，但是我感到它是完全可靠的。回到卡昂，为了问心无愧起见，我抽空证实了这一结果。
然后，我把注意力转向一些算术问题的研究，表面看来没有取得许多成果，也没有想到它们与我以前的研究有什么关系。我为我的失败而扫兴，于是前往海滨消磨几天时间、想一些其他事情、一天早晨，当我正在悬岩边散步时，一种想法浮现在我的心头，即不定三元二次型的算术变换等价于非欧几何学的变换，它正好具有同样的简洁、突然和直接可靠的特征。
返回到卡昂以后，我深思了这个结果，推导出一些结论。二次型的例子向我表明，存在着富克斯群，这些群不同于与超几何级数对应的群；我看到，我可以把θ富克斯级数理论应用于这些群，从而存在着一些富克斯函数，它们不同于当时我知道的、从超几何级数得到的函数，我自然而然地让我自己构造这一切函数。我向它们发起了系统的攻击，一个接一个地攻克了所有的外围工事。有一处外围工事无论怎样进攻还是岿然不动，只有攻陷它才能占领整个阵地。但是，我的全部努力乍看起来只是使困难清楚地呈现在我的面前，事情实际上就是这样。所有这些工作完全是有意识的。
紧接着，我要去瓦莱里昂山服军役；这样，我便从事截然不同的工作，一天，我正在大街行走，曾经使我感到困难的答案突然浮现在我的眼前。我无法立即深入探讨它，只是在服役结束后，我才开始继续研究这个问题。我已有全部元素，只需排列和整理它们。就这样，我一举写出了我的最后的论文，丝毫没有感到有什么困难。
我只限于举这一个例子；多举也无用。关于我的其他研究工作，我可以讲出类似的情况，其他数学家在《数学教学》杂志中所给出的意见只会证实它们。
起初，最为引人注目的是顿悟的显现，这是先前长期无意识工作的明显征兆。在数学发明中，这种无意识工作的作用在我看来似乎是不可否认的，在其他不大明显的情况下，也可以发现它的痕迹。当人们研究一个艰难的问题时，在第一次进攻中往往达不到良好的效果。于是，人们或长或短地休息一下，坐下来重新工作。在起初半小时内，像以前一样，什么也找不到，然后一个决定性的想法突然浮现在脑海。可以说，有意识的工作之所以富有成效，是因为它被打断了，休息使思想生气勃勃、精力饱满。但是，很可能是这样：这种休息充满了无意识的工作，这种工作的结果后来向几何学家揭示出与我所举的例子恰好一样的东西。只是这种揭示不是在散步或旅行时发生，而是在有意识的工作期间发生的，不过它与有意识的工作无关；有意识的工作至多起了兴奋剂的作用，犹如它是一种刺激物一样，它激发了在休息时已经达到的结果，但依然是无意识的、尽管它采取了有意识的形式。
关于这种无意识工作的条件，还可说明如下：如果一方面有意识的工作期间在它之前，另一方面有意识的工作期间又尾随其后，那么它就是可能的，而且肯定才是富有成果的，这些突如其来的灵感（已经引用的例子充分证明了这一点）只有在有意努力工作了若干天之后才会出现，尽管这些努力好像毫无成果，从中也没有得出什么好东西，而且所采取的路线似乎也站完全错误的，因此，这些努力并不像人们设想的那样一点结果也没有；它们驱动着无意识的机器，没有它们，无意识的机器就不会运转，也不会生产出任何东西。
对于在灵感之后的第二个时期的有意识的工作之需要，还比较容易理解，必须使灵感的结果成形，从它们之中推导出直接的结论，整理它们，用语言表达出证明，而尤其必须验证这一证明。我已经谈过伴随灵感的绝对确实性的感觉；在所举的例子中，这种感觉不是骗子，而且通常它的确不会骗人。但是，不能认为这个法则没有例外；这种感觉有时显得很逼真，也往往会欺骗我们，只有当我们企图进行证明时，我们才会发现这一点，当我早晨或晚上躺在床上处于半睡眠状态时，常有一些想法浮想联翩，我特别注意这一事实。
实际情况确是这样；现在，对于这种观念可作下述考察。无意识的自我，或者如我们所说的下意识的自我，在数学创造中起着重要的作用；这可由我们所说的情况中得出。但是，通常认为下意识的自我是纯粹自动的。现在，我们已看到，数学工作不是简单的机械工作，它不能用机器去完成，无论如何不能用机器圆满地完成它。这不只是应用法则的问题和按照某一固定的规律作出许多可能的组合的问题，这样得到的组合为数极多，但却是无用的、麻烦的，发明者的真正工作就在于在这些组合中进行选择，以便消除无用的组合，或者更确切地讲，避免使他们陷入困境，而且必须使指导这种选择的法则极其精巧、极其微妙。要精确地陈述它们几乎是不可能的；与其说它们可以被表述出来，倒不如说它们可以被感觉到。在这些条件下，怎么能够设想一个机械地应用它们的筛子呢？
第一个假设现在呈现出来：下意识的自我绝不在有意识的自我之下；它不是纯粹自动的；它能够识别；它机智、敏锐；它知道如何选择、如何凭直觉推测。我说什么呢？它比有意识的自我更清楚地知道如何凭直觉推测，因为它在有意识的自我失败了的地方获得成功。
一句话，下意识的自我难道不比有意识的自我优越吗？你认识这个问题的充分重要性吧。布特鲁（Boutroux）在最近的讲演中表明，它如何出现在十分不同的场合中，对它作肯定的回答会得出什么结论（也可参见同一个作者所著的《科学与宗教》第313页及其以后各页）。
这种肯定的回答是因我刚才给出的事实迫使我们作出的吗？就我自己来说，我承认我不乐于接受它。那么，让我们重新审查一下那些事实，看看它们是否与另外的解释一致。
可以肯定，在无意识的工作延续了一段时间之后，以一种顿悟的形式呈现在我们脑海里的组合，一般说来是有用的、多产的组合，这似乎是初次印象的结果。那么，是否可以得出结论说，灵敏的直觉推测这些组合是有用的，下意识的自我只不过形成了这些组合呢，或者更确切地说，下意识的自我形成了许多毫无兴趣的、依然是无意识的其他组合呢？
按照第二种方式观察无意识的自我，所有的组合都是由于下意识的自我的自动作用而形成的，不过只是有趣的组合才能闯入意识领域。这是很神秘的，在我们无意识活动的无数产物中，只有一些被召唤通过阈限，其他的依旧在阈限之下，其原因何在呢？这种特权是简单的偶然性给予的吗？显然不是，例如，在我们感觉的所有刺激物中，只有最强的才能引起我们的注意，除非由于其他原因把我们的注意力吸引到不甚强的刺激物。更一般地讲，有特权的无意识的现象，即容许变成有意识的现象，就是直接或间接地最深刻地影响我们情感的现象。
关于数学证明，它似乎只能使理智感兴趣，当我们看到它也乞灵于情感时，可能会感到奇怪。这也许是忘记了数学的美感、数和形的和谐感、几何学的雅致感。这是一切真正的数学家都知道的真实的审美感，它的确属于情感。
那么，被我们赋予美和雅致这一特征的、能在我们思想上激起一种审美情感的数学实体是什么呢？它们是这样的实体：它们的元素和谐地配置，以致精神能够毫不费力地包容它们的整体，同时又能认清细节。这种和谐同时是我们审美需要的满足以及支持、指导我们思想的助手。而且，一个次序井然的整体摆在我们的双目之下，促使我们预见数学定律。于是，我们便达到下述结论：有用的组合恰恰是最美的组合，我意指最能使这种特殊情感着迷的组合，所有的数学家都知道这种情感，但是对它的亵渎无知到常常嗤笑它的地步。
此外还发生了什么呢？在由下意识的自我盲目形成的大量组合中，几乎所有的都毫无兴趣、毫无用处；可是正因为如此，它们对审美感也没有什么影响，意识永远不会知道它们；只有某些组合是和谐的，从而同时也是有用的和美的。它们能够触动我刚才所说的几何学家的这种特殊情感，这种情感一旦被唤起，便会把我们的注意力引向它们，从而为它们提供变为有意识的机会。
这只是一个假设，可是在这里有可以证实它的观察材料：当一个顿悟抓住了数学家的思想时，它往往不会欺骗他，但是正如我说过的，它有时也不经受证据的检验；好了，我们几乎总是注意到，这种人为的观念倘若是真实的，它就会使我们对于数学雅致的自然情感得到满足。
因此，正是这种特殊的审美感，起着我已经说过的、微妙的筛选作用，这充分地说明，缺乏这种审美感的人永远不会成为真正的创造者。
可是，困难并没有完全消失。有意识的自我严格地受到限制，至于下意识的自我，我们不知道它的限制，这就是为什么我们乐于假定，它在短时间内能够作出的各种组合比有意识的自我整个一生能够完成的组合还要多。可是，这种限制是存在的。下意识的自我能够形成所有可能的组合，其数目之多非想象力所能及，这种说法可信吗？不管怎样，这似乎是必要的，因为假使它仅仅产生一小部分组合，假使它随意地作出它们，那么我们在它们中能够选择、可以发现的有效的组合的机遇就会很少。
有意识的工作总是在所有富有成果的无意识的劳动之前，也许我们应当在有意识的工作的初期寻求解释。请允许我粗略地作一比较，把我们组合中的未来元素想象为伊璧鸠鲁（Epicurus）的带钩原子吧。在精神完全休眠时，这些原子是不动的，也可以说，它们钩住了墙壁；因此，这种完全的休眠可以无限地延续下去，没有相遇的原子，从而在它们之间也没有任何组合。
另一方面，在表面的休眠和无意识的工作期间，它们中的某些原子脱离墙壁并开始运动。它们通过封闭它们的空间（我正要说房间）向各个方向传播，犹如一群蚊虫，或者你如果喜欢学术上的比喻的话，它们就像气体运动论中的气体分子。于是，它们的相互碰撞可以产生新的组合。
初期的有意识的工作有何作用呢？显而易见，它使这些原子中的某一些可以运动，它把它们从墙壁上卸下来并使它们自由活动，我们认为，我们之所以没有作出有效的组合，是因为要把这些原子集合起来，就要使它们以无数不同的方式运动，即便如此还是找不到满意的集合。但是，通过我们的自由意志使这些原子开始运动之后，它们就不会返回到它们的初始状态。它们自由地继续它们的运动。
好了，我们的自由意志并非随意地选择它们；它追求一个完全确定的目的，因此，可动的原子并非无论什么样的原子；它们是我们可以合理地期?从中得到所要求的答案的原子。于是，可动原子经受碰撞，从而使它们进入它们之间的组合，或者与在它们的进程中撞击到的其他静止的原子形成组合，我再次请求原谅，我的比喻是很粗糙的，但是我不知道如何用其他方法使我的思想得以理解。
不管情况如何，有形成机遇的组合仅仅是这样一些组合，即其中的元素至少有一个是由我们的自由意志自由地选择出的那些原子之一。现在，很明显，在这些组合中，可以找到我所谓的有效的组合。也许这是一种减少原来假设中的悖论的途径。
还有另外的意见。我们仅应用固定的法则，全部作出了有点冗长的运算，无意识的工作永远也不会为我们提供这个结果。我们可能以为，完全自动的下意识的自我特别适于这种工作，这是一种全部机械的方法。也许我们夜晚思考乘法因子，我们醒来时必定希望找到预先作出的乘积，或者还希望代数运算——例如证明——可以无意识地被做出来。正如观察所证明的，根本没有这种事。从这些灵感中，从无意识的工作的成果中，人们可望得到的一切只是这样的运算的出发点。至于运算本身，必须在紧随灵感之后的有意识的工作的第二个期间完成，人们在此期间验证这一灵感的结果，推出它们的结论。这些运算的法则是严格的和复杂的。它们要求纪律、注意力、意志，因而要求意识，相反地，在下意识的自我中，则是由我所说的自由统治着，倘若我用自由这个名称称呼绝对缺乏纪律和源于机遇的混乱的话。不过，这种混乱本身却容许未曾料到的组合。
我将作最后的评论：当我在上面发表某些个人的观察材料时，我谈到我在不由自主地工作时的令人激动的夜晚。这样的情况是经常发生的，不过大脑的反常活动不必要由我曾提到的物质刺激物引起。在这样的情况中，人们在他无意识的工作中呈现出的东西似乎可以部分地被过分激动的意识所领悟，可是这并不改变无意识的工作的本性。于是，我们不甚明确地理解了两种机制——如果你愿意的话，也可以说是两种自我的工作方法——的区别是什么。而且，在我看来，我从中能够作出的心理学观察材料似乎在它们的总轮廓上证实了我已经提出的观点。
的确，这些观点需要证实，因为不管怎样，它们是而且依然是真正的假设：对这些问题的兴趣如此之大，以至于我不后悔向读者提出了上述观点。
（Henri Poincaré：Foundations of Science）