正如十九世纪数学由于高斯而得以进一步提高一样，使本世纪数学得以飞跃是由于希尔伯特（David Hilbert，1862 ~ 1943），那是并不过言的。事实上，尽管与他相匹敌的数学家为数众多、人才辈出，然而，正是由于受希尔伯特影响，二十世纪的数学的特征多少显示了他的特色。

到十九世纪为止，数学被分为解析学、代数学、几何学与应用数学，进入二十世纪之后，数学各部门更加发展，不仅出现了飞跃，而且还出现了前所未见的特征。其中最大的是希尔伯特公理主义的创立，他的公理主义，以集合论的矛盾为出发点，在有关数学基础方面争论中的功绩是辉煌的，而实际上，在他的著作《几何学基础》（1899）里已经能见到那样的例子，现在就对前者作稍微详细的论述。十九世纪末，当G. 康托尔的集合论一跃而为时代的宠儿，受到各家特别夸奖的时候，罗素（Bertrand Arthur William Russel，1872 ~ 1970）于1903年提出了二律背反，使集合论的基础骤然丧失。为了解决这个问题出现了三种方法：第一是布劳维尔（L. E. T. Brouwer，1881—）的直观主义，第二是罗素的逻辑主义，第三是策梅娄（Ernst Friedlich Zermelo，1871 ~ 1953）和希尔伯特的形式主义（公理主义）。布劳维尔的直观主义主张拒绝排中律，认为数学思维必须是有结构的。罗素的逻辑主义排斥非叙述性的概念和定理，主张由纯粹的记号来表现，其成果反映在与怀德海（Alfred North Whitehead，1861-1947）共同的著作《数学原理》（1910-1913）中。策梅娄用公理方法建立集合论，以公理系的矛盾取代了集合论的矛盾；因而，公理系的无矛盾性的解决，成为希尔伯特关心的焦点。这三个主义在二十世纪初头的数学界中互相争论，确实引人注目，它是十九世纪从未见到过的，作为新兴数学的一个部分——数学基础理论应运而生的原因。

数学公理的建设是二十世纪数学最显著的倾向，现在我们无暇举出这类例子。除由希尔伯特所著的《几何学基础》外，首先使我们注意到的是皮亚诺（Giuseppe Peano，1858 ~ 1932）的自然数公理。公理主义是本世纪的特征，它像数学抽象化一样，再次使纯数学取抽象数学的形态，最初的明显例子，在解析学方面有弗雷歇（M. Frechet，1878 ~ ）的抽象空间理论，继而在代数学方面有E. 诺脱（Emmy Noether，1882 ~ 1935）的抽象代数学。

以上，指出了作为二十世纪数学的两个特征：公理主义与抽象化。下面，我们来眺望一下到第二次世界大战之前为止，在数学各部门中发展的新领域。

首先，在解析学方面必须举出勒贝格（Henri Lebesgue，1875 ~ 1941）的学位论文《积分、长度、面积》1902），这就是勒贝格积分的诞生。接着，在实变函数论中主要有柏尔（Rene Baire，1874 ~ 1932）的函数、波雷耳（Emile Borel，1871 ~ 1956）的集合等。再有G. 康托尔的集合论，如上所述发展了数学基础理论，在批判方面有实质内容的豪斯道夫（F. Hausdorff，1868 ~ 1942）的《集合论基础》（1914）继承了康托尔的集合论。然后，弗雷歇发展的抽象空间理论是今日拓朴空间理论的雏形，这一理论，由于波兰学派得以更高的发展，柯拉托夫斯基（Casimir Kuratowski，1896 ~ ）等就是这一学派的代表人物。

假如进而转眼于函数论，首先由魏尔（Hearmann Weyl，1885 ~ 1955）着眼黎曼面的理论，接着是奈伐利恩纳（Rolf Nevanlinna）的有理型函数的理论，阿尔福斯（Lars Valerian Ahlfors，1907 ~ ）的覆盖面理论等放射光彩，特别是后者得到了菲尔兹奖金，也可以说是数学界的诺贝尔奖金。还有，由于奥斯古德（William F. Osgood，1864 ~ 1943）与哈尔托克斯（Friedrich Hartogs，1874 ~ 1943），开始使多变量函数论的研究，得以今日飞跃的发展。

再有，与弗雷歇抽象空间理论发展的同时，发展了函数空间论，其明显的例子有希尔伯特等发展的积分方程式理论和黎斯（Fredelic Riesz，1880 ~ 1956）发展的希尔伯特空间理论。这个新空间在量子力学方面完成了重要的任务，然后被扩张到巴拿赫（Stephan Banach，1892 ~ 1946）空间。

最后不能写漏的是由波亚（Harald Bohr，18 S7 ~ 1951）建立起来的殆周期函数论。

其次，当叙述代数学的发展时，让我们从与代数学平行的数论的发展开始吧；首先，以希尔伯特代数数论的杰出报告，构成了相对阿贝尔体的问题；然而，充成了这一任务，同时也解决了克罗内克（Kronecker）“青春之梦”的是高木贞治博士（1875-1960）的类域论。这个光辉的业绩，可以说是二十世纪的日本在世界上初次引以自豪的事情。此后，由阿丁（Emil Artin，1898 ~ 1962），哈塞（Helmut Hasse，1898 ~ ），雪佛莱（Claude Chevalley，1909 ~ ）等继续研究。此外，汉塞尔（Kurt Hensel，1861 ~ 1941）的P进数理论成为数论方面的有力武器。

另一方面，在解析数论中，有由哈代（Godfrey Harola Hardy，1877 ~ 1947）和利特尔伍德（J. E. Littlewood，1885 ~ ）f函数的研究，兰道（Edmund Landau，1877 ~ 1938）的素数论、天才的拉曼纽强（Srinivasa Ramanujan，1887 ~ 1920）的约数问题，由维诺格拉多夫（Ivan Matveevitch Vinogradov，1891 ~ ）的哥德巴赫问题的研究、许尼雷尔曼（Lev Genrikhovitch Schnirelmann，1905 ~ 1938）的堆垒数论等深入的研究。

古典代数学可以说是方程式理论，而由伽罗华使之转入群论，佛洛裴尼斯、克莱因、李等对于群进行更广泛的研究是在十九世纪后半叶，这些，使进入二十世纪的群论成为抽象代数学的第一颗明星。接着，斯坦尼茨（Ernst Steinitz，1871 ~ ）的体论，女数学家E · 诺特的环论以及理想理论的出现，这些成果由范 · 德 · 华尔登（B. L. Vander Waerden）的名著《近世代数》而风靡一时。此后，出现了伯克霍夫（Garrett Birkhoff，1911 ~ ）的格论，最后，综合上述这些成果的代数学理论诞生了。

此外，由嘉当（Elie Cartan，1869 ~ 1951）和魏尔进行李群的研究，由闵可夫斯基（Hermann Minkowski，1864 ~ 1909）进行《数的几何学》的研究都是不能遗漏的。前者与今日的拓扑代数相关，后者开展了不定近似论的研究。

再次，有关几何学是从本世纪的微分几何学和拓扑几何学的发展开始。首先，黎曼几何学促进了爱因斯坦相对论的建设，使之有力地完成了任务，微分几何学达到高度的发展，连续几何学成为它的核心。由里契（Curbastro Gregorio Ricci，1853 ~ 1925）的绝对几何学，莱维雪维他（Tullio Levi-Civita，1873 ~ 1941）的平行性，魏尔的连续，芬斯勒（P. Finsler，1894 ~ ）的空间等，都必须大书特书，而作为最大的人物嘉当，必须涉及以上全部业绩。嘉当可以说是二十世纪前半叶最大的几何学家。

拓扑几何学远始于欧拉，前世纪末经倍尔蒂尼和彭加勒有了更大的飞跃，从进入本世纪始，由布劳维尔建立了不动点定理，由乌里松（Paul Urysohn，1898 ~ 1924）和门杰（Karl Monger，1902 ~ ）建立的维数论等得到了卓越的成绩，终于发展到了由亚历山大罗夫（Paul Aleksandrov，1896 ~ ）建立的代数拓扑几何学。

有关应用数学的叙述，必须提到与其他科学的关联。首先，作为和物理学的关联已几次讲到，除黎曼几何学与相对论的关系外，就量子力学而言，利用了希尔伯特空间论必须提到诺伊受（John von Neumann，1903 ~ 1957）的巨大功绩。

数理统计学，要特别写一下它的兴起，那就是从卡尔 · 皮尔逊的记述统计学发展到费希尔（Ronald Aylmer Fisher，1890 ~ 1962）和戈塞特（William Sealy Gosset，笔名：Student，1876 ~ 1936）的推测统计学，是近代概率论存在的基础。概率论从本世纪开始，由波雷耳、马尔可夫（Andrei Andrecvitch Markov，1856 ~ 1922）、弗雷歇加以发展，关于它的基础由凯恩斯（John Maynard Keynes，1883 ~ 1946，经济学者）和米柴斯（Richard von Mises，1883 ~ 1953）作了卓越的研究，然而，不管怎么说，由柯尔莫哥洛夫（A. N. Kolmogorov，1903 ~ ）创建的概率论公理化基础是决定性的，1933年以来的概率论，是沿着他所引用的这条线展开的。此外，与概率论相关联的雷波夫（Eberhard Hopf）的《各态历经理论》（1937）和哈尔（A. Haar，1885 ~ 1933）的测度论是重要的功绩。

以上是到1940年为止的数学概观，再有，就大的中心而言，还剩下拓扑数学的说明。拓扑数学是本世纪的新兴数学，说二十世纪是数学拓扑化那是并不过言的。因为：初始的拓扑学所述仅限于拓扑几何学，后来发展到关于集合论的拓扑学（抽象空间理论）和代数的拓扑几何学，拓扑学的范围扩展得非常广泛。而且，拓扑学的概念渗透到数学各部门，获得了大量的成果，向解析学、代数学、几何学渗透后，开辟了称作拓扑解析、拓扑代数、拓扑几何的新领域。现在，说明拓扑学内容的，拓扑解析是从希尔伯特空间论开始，论述了线性算子、谱分解、特征值问题等，直到今天的赋范环和巴拿赫代数；论述了拓扑代数中出名的各种拓扑群特别是李群以及拓扑环、拓扑体的性质。至于拓扑几何，已简述过了。

此后，是关联到现在的数学了，但是叙述数学的现状是件不容易的事情。仅仅叙述抽掉内容的新领域的名称，和现在还活跃着的著名人物，也需要相当的篇幅。这样，只得对详情割爱，看一下经过挑选的特别注目的东西。

所谓希尔伯特问题是衡量数学发达的尺度之一。这是1900年在巴黎召开的第二届国际数学工作者会议上，由希尔伯特提出的当时没有解决的23个问题。解决这些问题成为二十世纪数学的目标之一，其中，若干个已解决，也还有没有解决的。由于对这些问题研究详尽的缘故，可以讲是现代数学相当发达的标记。

其次，列举获菲尔兹数学奖（Fields奖）的光辉功绩：第一次（1936）是阿尔福斯的覆盖面理论和道格拉斯（Jesse Douglas，1897 ~ ）的微分几何（路线几何学，帕拉多问题等），第二次（1950）是西尔倍格（Atle SeIberg）的素数定理的初等证明和L. 许瓦茨（Laurent Schwartz）的超函数，第三次（1954）是小平邦彦（1954 ~ ）的调和积分论和塞雷（Jean Pierre Serre，1926 ~ ）的同伦，第四次（1968）是汤姆（Rene Thom）的配边（微分流形的拓扑理论）和罗德（K. F. Roth）的近似地给出整系数代数方程的有理数根。

但是，没有得到菲尔兹奖金和攀登希尔伯特问题的，也有重要的功绩，这就不再多说了。

数学逐渐分化发展不知是否有限，但是、倘若始终仅是分化地发展，它们一入支流就分散，不久就会枯竭。对此，在希尔伯特提供了23个问题后，有这样的说法：“现在揭示的问题显示了数学丰富的多样性，我们的学问，恐怕不应该是更多的领域被细分而彼此没有关系，对此，我们既不相信更不期待。数学随着它的发展会不会失去它作为独立学科的性格呢？让我们进一步明确地表明它吧！”

现在假如加上这样的话大概不会有什么异议吧：

巨大的数学洪流终于在尝试其综合统一。

实际上，作为其较大的例子，先涉及拓扑学的统一；起初在解析学、代数学内渗透了拓扑学，终于还渗透到了微分几何学，在微分几何学中的种种空间，产生了所谓为拓扑空间统一的流形的新概念。在这流形上考察函数时，就看到了多变量函数论新发展的道路：还有，在流形上考察代数几何学，就得到了调和积分论深一步的关系。

详细地叙述这一些，能够涉及到现代数学的兴趣浓厚的部分，现今只好割爱。顾便，讲一下魏尔的《数学是关于无限的学问》，仅从吸取它的材料来看，假如换句话说

数学是关于数和流形的学问。

好像能够包含今天纯数学的大部分吧！

若要说应用数学的最新领域，首先要被列举的是维纳（Nobert Wiener，1894^）的控制论和香农（C1&nde E. Shannon）的信息理论（情报理论）。其他在经济学应用方面，有计量经济学、线性规划、博弈理论、运筹学等；在物理学应用方面，有自动控制理论和网络理论；在生物学应用方面，有生物统计学（遗传的数学理论）等。

应用数学正期待着纯粹数学的理论和定理得到实际应用，但轻视单纯的存在性定理。从十九世纪末起，以严密性为特点的纯粹数学是一个转折点。不拘怎说，现在必定是一个纯粹数学与应用数学相互合作的时代。

作为记叙正在统一的数学的优秀尝试，由布尔巴基在有关丛书编集中建叙。所谓布尔巴基是现代法国若干名数学家组成的团体名称，它由著名人物组成。这套丛书从题为《Ⅰ，解析学的基础构造》的解析学建设开始，前途辽远。期望大功告成之日，将成为美丽的大厦。到此，欲知数学的现状，可借助此书。

[《新数学丛书》，（日）第15集《数学史》]