为了证明群论的一条基本定理，用了二百年时间。奇迹是它终于被证明了。

通常，在数学杂志之外，数学研究是很少被人注意的。计算机革命已使这种状况有所改变，但作用不大。其理由是显而易见的：和其他科学不同，要不专门地讲解数学几乎是不可能的。

群论又是数学中最抽象最难解释的学科之一。《纽约时报》于1980年6月22日发表了关于这门学科的一篇报道，当时一定使读者吃了一惊。这一段文章被兴高采烈地加上标题“一个理论家的学派弄得自己无事可做”（A School of Theorists Works Itself Out of a Job）。从这个标题也许可以看出《纽约时报》是乐于传播它的。

好消息的底蕴是“有限单群分类定理”。现在，如果在自由联词测验中要在“定理”一词前面随意联上一个名字，人们十分之九会回答“毕达哥拉斯”，因为毕达哥拉斯定理已是家喻户晓。也难怪你会惊奇，为什么这条独特的有限单群分类定理将要注定一整个“理论家的学派”湮没无闻，成为多余的呢？现在言归正传。

事情是这样的，这条分类定理是一条非同寻常的定理。它是一项世纪长的科研活动的顶点。它的证明，是由一百多个研究者写了近一千篇专门论文分阶段产生的。据估计，人们已为它用了10000个印刷页。在悠长的岁月里，它已开创了它独有的技巧，构造出它的专门语言，举行过它自己的专题会议，产生了它的专门杰出人物。总之，它已经是数学这棵大树的一个完整的分支。

这个问题事实上是与群论本身同时产生的。

这个关于群论的故事要从1770年拉格朗日（Joseph louis Lagrange）的研究说起。那时，当他研究置换问题的时候，偶然想到对于这类置换有一种相当整齐的运算规则。这些规则由哥西（Baron Augustin Cauchy）于1815年继续研究和推广。三十年后，哥西再次考虑这个问题，认识到这些运算规则的产生不大是由于置换本身，而是来自它们之间相互作用的方式。他从而开创了他称作“置换的体系”（Systémes de Substitutions）的理论——它实质上就是我们现在常说的置换群理论（附一）。

附一群是什么？

所有定义，或多或少是迂回的。在词典上用词来定义词，例如“the”一词被定义为“the definite article”（定冠词）。这是无法避免的。

几乎在整个数学史上，标准的数学手法是从每个人都能赞同的未加定义的概念的一个共同基础开始。其做法经常是含蓄的；有时，也像欧几里德几何那样，列出一套公理，但认为各条公理是“显然成立”的。但人们终于认识到欧几里德公理并不总是成立，例如在球面上就不成立。

任何这类反论都不能阻挠欧几里德理论成为一个奇异的天才的杰作，更不能否认它是有用的了。虽然如此，这个教训还是有益的：“公理”是它们自己的框架，但不是自然界的框架。

现在，许多数学就这样被构造出来了，群论也在其中。一个群是由一些未加详细说明的叫做群的元素的东西组成的一个集合，在其中假定任息两个元素可以用某种未加详细说明的方式结合或“相乘”产生第三个元素。有一个单位元素，它使任何与之相乘的元素保持不变；因此，这个单位元素经常用符号1来表示，当然它未必就是数1。最后，还有一种“除法”运算，在意义上与“乘法”相反。

并没有假定a·b必须等于b·a。如果是这样的，则这个群称为阿贝尔群；有限阿贝尔群早已被完全分类了。但总是假定a·(b·c)等于(a·b)·c。

群的例子有全体实数用加法和减法分别作为“乘法”和“除法”运算所构成的群；其中的单位元素是O。因为对于所有实数a和b有a+b=b+a，这是一个无限阿贝尔群。

全体实数，用通常的乘法以1作为单位元素不能构成一个群，因为用零除没有意义。然而在去掉零之后，其余的数构成一个群。

如此松动如此不明确的定义的特点是什么呢？所假定的条件限制是如此的少，而结果是有非常多的数学问题与群有关。从此以后，任何一个以抽象形式出现的群的定理，立即能产生一整批适用于许多完全不同的系统的信息。同样，尽管毕达哥拉斯定理仅是就“直角三角形”而言的，但仍然有许多独特的情形用得上他的定理。

也许值得惊奇的是，这样小小的一套公理最后竟能产生如此博大的数学。

在哥西的影响下，巴黎科学院在1857年，再度在1860年举办的三年一度的有奖论文竞赛中，完全选择了哥西在1845 ~ 1846年期间一长串论文中研究着的这个问题。两个年轻的研究生马蒂厄（Emile Mathieu）和乔丹（Camille Jordan）交出了他们的论文。虽然他们二人均未获奖（由于仅有的另一篇论文无甚价值，所以未发奖），但都作出了很多高质量的数学；并在以后的十年中发展了他们的研究；1870年乔丹的“论置换”（Traité des Substitutions）标志着群论开创阶段的结束。

马蒂厄和乔丹都逐渐认识到我们现在所说的单群居于一个特别重要的位置。马蒂厄发现了很多单群，包括特别奇怪的五个：乔丹则发现了更多的单群。

在以后的二十五年中，群论逐渐脱离了它的置换的背景并采用了今天的抽象公理的基础（附一）。出现了一些关键性的概念，其中有商群概念。

这个术语是有提示性的。正如我们能把一个非素数的整数分解为两个较小整数的乘积，用提取商群的方法也能把一个群“分解”为两个较小的群的“乘积”，只要它不是单群。正如重复分解能把一个整数简约为若干素数的乘积，重复提取商群也能把一个群分解为一组单群。

将整数简约为素数的乘积，虽然通常有几种不同的途径，但最后总得到同样的一组素数。因此我们才能谈得上整数的素数分解问题。赫尔德（Otto Holder）于1889年证明了一个关于群的类似的结果：不管提取商群的次序如何，每个群总被分解为同样的一组单群碎块。它们被称为这个群的组成因子（如果这是一个从整数到群的完全的归纳将是一件大好事，可是不然，不同的群可以具有同样的组成因子）。

在某种意义上，有限单群是有限群理论的构成单元。赫尔德受到这个激发，开始精心地搜寻单群。

任何群的一个基本参数是它具有的元素的个数——即此群的阶。赫尔德最初采用的方法就是找出其阶为1，2，3，4，……的群。它最初的研究发表于1892年，其中弄清了所有不超过200阶的群。

这时，已经知道任何素数阶的群必定是单群。并且，对于每个确定的素数阶，这个群也是唯一的。这样就立即找到了一个有无限个单群的族。但不是所有的单群都是素数阶的。赫尔德就发现了一为60阶另一为168阶的单群。它们不是新东西——马蒂厄和乔丹以前已发现它们了——但它们确实是小于201阶的仅有的两个非素数阶的单群。

赫尔德和其他人继续沿着这条路线搜寻。但感到把单群的目录表推进到几千阶之外时越来越费力。甚至马蒂厄的五个奇怪的群中最小的一个也有7920阶，这时应该有新方法了。赫尔德不再着眼于阶本身，而考虑阶的素数分解。沿着这条路线，他得以证明了不存在阶为pq，p²q或pqr形式的单群，这里p，q和只是素数；仅有的p²qr阶的单群就是前述的60阶的群（60=2³· 3 · 5）；等等。他的工作由弗洛拜纽斯（Georg Frobenius）继续研究和推广。这时，多于五个素数因子的分解虽即将考虑，但所要做的工作已不胜烦琐。

十九世纪九十年代期间，同时又有一个新人物出场了。1852年出生的伯恩塞德（William Burnside）当他开始研究群论的时候已四十岁出头，但后来成为这方面最有影响的人物之一。正是他比任何人更为尽职的将群论最后编码为一个公理系统，使哥西的置换结构仅成为群的一个特例而已。他的1897年的书“有限阶群理论”（Theory of Group of Finite Order），特别是它的修正的第二版，在一段相当长的时期内被看作为“工业标准”。

从伯恩塞德关于单群的研究中，我们可以举出特别重要的两个片段。1900年，他从事奇数阶群的研究，这导致他作出一个猜想：单群的阶不能是非素数的奇数；然而连他自己也找不到一个正确的证明。1905年，在赫尔德和弗洛拜纽斯的指导下，他证明了不存在阶为P^aq^b形式的单群，这里P和q是素数，a和b为任何正整数。

临近十九世纪末，当有限群论逐渐定型之际，一种值得重视的特殊类型的无限群理论也正在由索福斯 · 李（Sophus Lie），加当（Elie Cartan）等人构造出来。越来越明显，在某些李群与马蒂厄和乔丹的正宗的群之间有着深刻的相似之处。现在已能很方便地将李群分类成相当整齐的形式；因此，很自然地想要弄清楚这些无与伦比的李群是否也有有限的相似物。迪克逊（Leonard Dickson）等人证明出至少某些李群是有的；而且它们果然是单群。

在1905年之前，已知的有限单群的名单是这样写的：素数阶的循环群；“李型”的群；称作交代群的某些置换群（由于它们伴有整体性质，所以人们不大会想到它们是单群）；奇怪得很，马蒂厄的五个奇怪的群却无所适从。

这种状态停滞了四十多年。但在这期间群论也不是荒歉无收。霍尔（Philip Hall）发现了在以后是很重要的可解群的某些重要性质（可解群是所有组成因子都是素数阶的一种群）。

单群在本世纪四十年代后期被布劳尔（Richard Brauer）重新开始研究。布劳尔的方法大体上是从弗洛拜纽斯的方法发展过来的。他想证明伯恩塞德关于奇数阶群的猜想，于是专心考虑偶素数2，以及有关的“结构”方面。

约五十年代末，布劳尔的工作由他的两个学生费爱特（Walter Feit）和铃木（Michio Suzuki）继续研究。特别是铃木对伯恩塞德的猜想作出了突破，实际上想方设法证明了这个猜想在特殊情形成立。

同时，谢瓦莱（Claude Chevalley）于1955年完成了李型群即无限李群的直接类似物的构成工作，从而在迷乱中理出了一些头绪。但是这个构造工作并未到此结束；四年之后，斯坦贝格（Robert Steinberg）指出某些有限李型群有一个附带的“扭”群，而相对应的无限李群并不具有；由于有了这些扭群，斯坦贝格，铃木和里（Rimhak Bee）又归结出单群的几个新族。把名词加以延伸，也把这些群看作是“李型的”。

伯恩塞德的猜想最后于1962年被费爱特和他的同代人汤普森（John Thompson）解决了。他们发表的证明长达255页，也不容易读。还有，虽然它的“作战计划”是以铃木早期的论文为基础的，但细节的工作却是彻底革新的；这里所开创的技巧——后来被称作“局部分析”——在以后单群理论的发展中起了主要作用，由于这些理由，费爱特一汤普森的“奇数阶论文”（Oddorder paper）毫无疑问地是分类问题历程中最重要的一步。它也提供了巨大的推动力，结果到这个领域研究的数学家的人数急剧地增加了。

三年后，扬科（Zvonimir Janko）发现了另一个奇怪的单群。如果在十年之前，当单群的目录表仍未定型的时候这个单群也许无关重要；但是一旦谢瓦莱和斯坦贝格已经整理出李型群，这时又一个不伦不类的单群的出现就引起了一个小小的震动。为了更好地研究扬科的群，把它和马蒂厄的五个奇怪的群划分出来，另外归成一类。后者终于找到了一个新伙伴。为这一类群创造了一个名称：散在群（Sporadic groups），因为它们好像是构图中的斑斑点点。

还有多少个散在群未被发现呢？当然无法回答。可能有无限多个。构造扬科的群并不特别困难——仅仅是以前没有人想去构造它——所以这一类群还会被构造出来。

从此以后，人们分两路夹击。一些人忙于构造新的散在群，并对现存的散在群作进一步的探究。另外一些人则沿若“奇数阶论文”所开辟的路线，继续钻研分类问题。有时分类的一方会挖到一个新的散在群。

在以后十二年中，每年大约发现一个到两个新的散在群。典型的“发现”通过三个过程，这些过程有时要相隔相当长的时间。第一步，先探讨一个可能存在的散在群的一套特定性质，然后尝试从各方面进行反证，都不能否定具有这些性质的群的存在。第二步，证明具备这些性质的群不可能多于一个（“唯一性”）。最后，这样的一个群能被构造出来（“存在性”）。

同时，分类的一方加快了步伐，在阿尔伯林（Jonathan Alperin），费希尔（Bernd Fisher），格劳伯曼（Geoge Glauberman），哥伦斯坦（Daniel Gorenstein），沃尔特（John Walter）和汤普森本人的指导下，为大多数散在群取了名字。在这段时期发表的论文以后被统称为“N群论文”（N-Group Paper）；它在1968至1974年间分六个阶段发表，总计有410页，比“奇数阶论文”还要长。它是汤普森的巨著。

奇怪的是，直到七十年代初期，才有少数几个人开始如梦初醒地悟到所有这些努力的结局——全体有限单群的最后分类。它至如今仍被认为不过是一种不假思考的推测而已。公平地说，一个群的最起码的不可分解性看来提供的信息太少，以致人们不会郑重其事地把它们加以分类和命名。无论如何，人们总是陶醉在即时的数学游戏里，管它什么结局。但是过了很短的几年以后，随着新概念的出现和新定理的涌现和发展，越来越多的人相信，这种完全分类可能已不远了。

—些新人物全力加入了“最后冲刺”的行列，其中走在最前面的是阿希巴切（Michael Aschbacher）。越来越多的证明中的漏洞得到弥补。到七十年代末大家都知道高潮早已过去了；并且当诺顿（Simon Norton）于1981年2月证实了第26个结果也是最后一个散在群的唯一性的时候，他终于完成了分类定理的证明。

附二分类定理的历程

1770拉格朗日研究置换。

1815哥西研究置换。

1829-32伽罗瓦（Eyariste Galois）短暂的悲剧的科学经历。他发明群论，但无人理会。1832年他死于决斗，年20岁。

1845哥西发明“置换的体系”。

1846伽罗瓦的研究被发现和出版，但是群论仍未得到理解。

1860-1861巴黎科学院大奖征文，以哥西的问题为基础，（哥西死于1857年，也许生前提议过这个问题）。乔丹和马蒂厄交出他们的论文。

1861-1873马蒂厄和乔丹发展了群论研究，发现了许多单群。乔丹首次理解并运用伽罗瓦的研究。

1889赫尔德评价作为组成因子的单群的重要性。

1892赫尔德，弗洛拜纽斯等人开始搜寻单群。

1900伯恩塞德关于奇数阶群的猜想。

1905伯恩塞德的P^aq^b定理。迪克逊发现李型群的族F₀(q)。其后是四十年的停滞。

1954布劳尔开始将一些具有特殊代数结构的单群分类，专攻偶素数2方面。

1955谢瓦莱弄清李群和它们的有限的相似物之间的关系。更多单群被发现出来。

1959斯坦贝格解出“扭”群的结构。

1962费爱特 - 汤普森的“奇数阶论文”。

1965扬科发现自马蒂厄以来的第一个新的散在群。

1970布劳尔开始他的修正程序。

1981诺顿证实了散在群F₁的唯一性，分类定理至此完成。

附三有限单群分类定理

正文所述的全部研究的结论如下：

如果G是一个有限单群，则G必定是以下各族群中某一个：

1.谢瓦莱群——A_n(q)，B_n⑷，C_n(q)，D_n(q)；E₆(q)，R₇(q)，E₈(q)，F₄(q)或G₂(q)，这里n是正整数，q是素数的幂；

2.扭群——²A_n(q)，²B₂(q)，²D_n(q)，³D₄(q)，²E₆(q)，²F₄(q)，²G₂(q)，或²F₄(2)'，这里n是正整数，q是素数的幂，但对于²BS和²FS，q必须是2的奇次幂，对于²GS，q必须是3的奇次幂；

3.交代群Alt（n），n是大于4的整数：

4.素数阶的循环群Cp；或

5. 26个散在群，M₁₁，M₁₂，M₂₂，M₂₃，M₂₄，J₁，J₂，J₃，J₄，HiS，McL，SuZ，Ru，He，Ly，ON，·1，·2，·3，M(22)，M(23)，M(24)，F₅，F₃，F₂和F₁₀？

通常，故事说到这里该结束了，但是分类定理不是一条普通的定理。尽管经过各有关方面的最大努力，仍有可能，在这上万页中隐藏着一个致命的错误，会使全部论证归于无效。错误肯定是有的；但迄今所有新发现的错误都是可改正的，并未引起过多麻烦。现在必须有专人来清除所有有错误的证明。

—个较好的探讨方式是为分类定理的每一步找到变通的证明。这样我们就能放心这个论证是正确无误的了。也有可能，如果我们能知道走哪一条途径，就会大大地缩短证明——最终达到单个读者切实能读的程度。

这一类变通证明的程序，其实已经做过了，甚至开始于现存的证明完成之前。这个程序，被命名为“修正程序”，是由本德尔（Helmut Bender）于七十年代初期开始的；由他引进的一些革新方法其实已经结合到分类问题的后期研究中了。

至于分类定理可能压缩到多少篇幅，还要等着瞧。有人提出，通过重新鉴定，在可能的地方加以改进，并适当地采用本德尔方法的优点，可能将长度压缩至原来的三分之一，即大约3000页。要取得更好的结果就需要用新方法。必须强调指出，这种细节和繁复显然又是必要的，也许永远得不到一个能够掌握的证明。

这引起了一些哲学问题。通常，当一个数学家引用先期的研究的时候，应认为他已经理解这项研究了。那么，当一个数学家需要引用分类定理的时候，他会怎么办呢？他应该咬咬牙齿往最好处设想吗？而且；在今后一个世纪内，如果分类定理得到公认（如果也确是成立的话），但是从未有人查看过它的证明，那时又将如何呢？毕竟，除了现在研究它的这些人而外，谁也没有这个能耐去苦读那些全部篇页。

[New Scientist，1985年5月]