量子系统的低能级往往具有很高的对称性，例如：晶格、形变核的转动能级、强子的最深束缚态。但是，所有这些系统都破坏了哈密顿量的精确对称性，表现出对称破缺。晶格和核并不满足哈密顿量所需要的平移和转动不变性、强子态破坏了涉及奇异性和同位旋的内部自由度对称性。在每个这样的系统中，当集中观察其极小几个自由度时，对称性就遭到破坏，所以，系统表现出的对称性就是维数的减少。用群论的语言来说，破缺对称的群是精确对称性的群的子群。

与对称性密切相关的是“有序”，有序描写系统的构成元素之间的关联。在晶格中，有序几乎是完全的，关联是长程的。铁磁的序是用磁子来量度，关联尺度就是磁畴的大小。在核中描述多个核子协同运动的集体自由度也是一种序。在形变核中，序用四极矩表示。

如果激发能增加，序就趋于减小，直至最后相发生变化：晶格熔解，液体蒸发形成气体，磁畴中的自旋取向随机化，如果能量增加足够大核可能裂变成核子气。这时高的有序相被低序相取代。同时，被破坏的对称性得到恢复，逐渐趋于精确的对称性。如果不考虑有序程度上的差别，气体和液体平均来说满足平移和转动不变性。例如，任何时刻液体总会含有不均匀性，但其平均密度具有平移不变性。相可以发生多次变化，每次总是使有序性减少，同时，（平均来说）使它趋向于精确的对称性。

在相变没有发生之前，无序已经显示出来了。在核中，当激发能量增加时，能级的密度很快增加，以致运动模的数目变得非常大。核的慢中子散射给出很尖的共振，这些共振可用来测量核能级的能量和宽度。相邻能级之间间隔s的概率分布p(s)是魏格纳（Wigner）分布

D是平均间隔。这宽度的分布就是一个自由度的统计工x²分布。这是很有意义的结果，因为如果假设能级是具有随机矩阵元的哈密顿量的本征值，而宽度与其本征矢的分量的平方成正比，那么就可以推出这个分布。矩阵元的分布被认为是在基波函数的变换下是不变

的。像能级宽度和能级间隔这些元素基本上都是随机的，系统的特性除了对分布的平均宽度和平均间隔起作用外，无其它影响。这些随机性不仅在原子核中而且在原子系统中，不仅对束缚系统而且对未束缚系统中都存在。这在实用上有很大价值，因为它允许我们用统计方法预言平均反应截面，用简化的多体问题的方法得到的平均量来表达结果。

有些作者认为核能级的这种随机分布是量子混沌的一个例子。虽然我们考虑的系统是用薛定谔方程描述，在充分高的激发态，它们变成随机的，但其现象仍是经典动力学混沌的一种。像在经典动力学中一样，有序态并不是完全不出现，对核，由一个入射粒子附加上的激发能，可以变成集体运动模，在截面中产生共振，这是系统随机性中的有序背景产生的。

对晶体，产生无序的机制仍不清楚。有些理论学家考虑了2 - 维具有最近邻相互作用的自旋构成的系统。在这种平面海森堡模型中，激发能产生自旋涡旋。在低温时，涡旋和反涡旋相交叠，净涡旋数几乎等于零。当温度升高时，束缚的涡旋对分离，最后自由，形成“涡旋气”，造成无序。在高温时自旋之间的关联是短程的，不像在低温时，有长程关联。一种看法认为涡旋像缺陷一样在充分高的温度能够自由移动。对三维系统，可以推断这种缺陷是位错，其数目随着温度的增加而增加，同时使无序程度增加。

在转变成缺陷液体之前，随着能量的增加这种无序的特性变得越来越可观察，这里所表现出的混沌行为是否同原子或核中的行为类似？有些模型已经说明了这种混沌行为的意义。例如，在一种铁磁和反铁磁竞争的模型中，系统的状态是随机地出现强弱关联，就像在相当大的距离里探测系统一样。

最近发展的关于宇宙历史的理论认为，初时宇宙是在相当高的温度区域，这时精确对称性都得到满足。

当温度降低时，这些对称性连续地降低，分开相互作用成粒子。首先出现的是引力，其次是强子对称性被破坏，重子出现。最后，弱电对称性遭破坏，使得电磁和弱相互作用分开。序是由产生对称破缺的希格斯（Higgs）场所表示。初始这些场是随机的，但当宇宙温度降低时，它们逐渐变得有序化，导致对称破缺。在这种转变中的混沌行为的机制还没有研究。

量子混沌：它的特性、它的结果——特别是当描述相变时——形成一个迷人的研究领域，而且具有根本的重要性。在什么条件下多体量子体系具有混沌行为？可观察到的结果是什么？这些问题都还没有得到回答。

[Physics Today，1986年4期]