公理化

数学的公理化最早出现在几何学。把几何学从埃及引入希腊是泰勒斯（约公元前585年）的功劳，他还加进了一些独创性的发现，开始了由其他命题推导出某种命题的习惯做法。当命题以演绎顺序排列时，必须有某些其本身不是被推论出来的命题，但它们可以作为所有其他命题的推论的出发点。第欧尼根在公元前五世纪下半叶说，人们应当用某种无可辩驳的理由提出论题。亚里士多德（约公元前340年）在他的《后分析篇》对演绎科学的必须条件作了详尽的分析、他将由之导出其他原理的“第一原理”划分为两组。一组由特殊科学特有的命题组成，一组由所有科学共有的命题组成。在欧几里得（约公元前300年）的《几何原本》中，前者通称为假设，后者通称为公理。两者都是无可争辩的，因为它们被认为是自明的。尽管欧几里得的《几何原本》支配了两千多年的几何教学，但他的假设和公理并未真正满足其所有其他命题的严密推论的需要。一些空缺的假设是由十九世纪的数学家提供的。1899年，希尔伯特在一整套公理和假设的基础上，最后完成了对几何学基础的完全严格的说明。在那时，这些公理和假设已获得了一种全新的意义，这种新意义把公理、假设区分为不必要的和不相关的这样两种情况。

形式化

算术和代数的数学形式化是从采用数字符号和算术运算符号开始的。这些符号使列出形式规则进行正确计算成为可令旨。这些形式规则，其中包括目前对每所高等院校学生讲授的这样一些规则：

交换律，a+b=b+a，和ab=ba。

结合律，a+(b+c)=(a+b)+c，和a(bc)=(ab)c。

分配律，a(b+c)=ab+ac。

零一律， 0+a=a，和1a=a。

另一规则（我们将在本文行将结束时讨论）是同基多幂规则xaxb=xa+b。

现在这些形式规则的使用不再局限于算术和代数。由于越来越多地运用代数方法解决几何问题，它们已经渗透到数学的各个分支。

非欧几何的发现

欧几里得在《几何原本》的开头列举了五个公设。第五公设如下：

如果平面上一直线和两直线相交，当同旁两内角之和小于两个直角时，那么，这两条直线在这—侧充分延长一定相交。两千多年来，数学家们因两个原因对第五公设感到不满意：1）它似乎不是“自明的”，2）由于它的逆定理是一个欧几里得证明过的定理，他们猜测第五公设也可以是一个能由其他公设中推导出来的定理，因为有对第五公设性质的这种怀疑，许多数学家曾试图证明它是一定理。其中包括托勒密（公元前367 ~ 283年）、普罗克勒斯（公元410 ~ 485年）、尼西拉厂（1201 ~ 1274）、华里斯（1616 ~ 1703）、萨开里（1667 ~ 1733）、兰伯特（1728 ~ 1777）和拉让得（1752 ~ 1833）。所有这些尝试所以都告失败，通常是因为他们毫无根据地假定一个现在已知的命题是与第五公设等效的。我们后面将要提到的这样一个命题是：经过一给定点只能作一条与一给定直线平行的线。（普莱费尔公理）

萨开里曾试图用这样一种方法来证明第五公设，即用一相反的命题代替第五公设会导致自相矛盾，萨开里在他得出他的错误想法是一种自相矛看的说法以前，已经推论出一长串命题，现在知道这些命题在高斯、波里埃和罗巴切夫斯基发现的几何中是有效的定理、后面三位学者作出的革命性贡献，就是承认这些命题不是荒诞的，而是一种新几何学的组成部分。这种新几何学的有效性直到1868年贝尔特拉米证明它的一致性时才无疑地得到确认。

实际上，同欧几里得几何竞相出现的还有两种几何学。这三种几何最容易用普莱费尔公理加以说明。如果用普莱费尔公理代替第五公设，结果如上所述，仍是欧几里得几何。如果用下面两个相反的任一命题来代替普莱费尔公理，就得到一种不同的几何：D经过一给定点能作不止一条与一条直线平行的线，2）经过一给定点没有两条与一给定直线平行的线，高斯、波里埃和罗巴切夫斯基发现的第一种几何称双曲几何，黎曼发现的第二种几何称椭圆几何。

公理的新意义

既然一种完美的几何可以用一相反的命题代替第五公设得到说明，那么，该公设及其相反的替代命题显然不可能是“自明的”。既然我们可以任意地选择我们想要采用的这三种可能等效的公设，那么每一公设就仅只是一种可能的假设。同样的特征也可以由其他公，设和公理构成。既然它们都仅仅是假设，就没有必要再把假设和公理区分开来。三组不同的假设导致三种不同的几何。只要我们仅仅是问由一给定假设中能推出什么定理，我们就是在纯数学的领域。在作为纯数学一个分支的这三种几何的每一种几何中，都没有要求它表示物理空间。如果要对这三种几何的任一几何提出这样一种要求，就必须首先对诸如点、线、全等之类每一几何名词赋予一种物理意义，然后说明，由于这些意义，这种几何实际上描述了物理空间的特性。但这样一来，这种几何就变成应用数学了。

根据对公理作用的这种新理解，所有的数学一下子完全变样了。弗莱格（1840 ~ 1905）和皮亚诺（1858 ~ 1932）给算术提供了—组公理，这样，它也成了纯数学的一个分支，而它在日常生活中的应用成了应用数学的一部分。公理可以自由选择的这种事实，使得创造每一数学结构都以其自身的特有公理为基础的各种数学结构成为可能。其中在近代数学上起重要作用的有环、域、矩阵空间、拓扑空间等。原本属于哲学一分支的逻辑，一旦被形式化并提供一套公理，便变成纯数学的一个分支。

数学是真的还是先验地真的？

纯数学与应用数学的这种区别使得有必要对这一问题作出两种独立的回答。在应用数学中，一个关于可观察物的命题就是关于某部分实在的一种断定。所以，它只有在经验上能得到证实才是真的。一个数学模型，总的来说，可以包括不是直接能证实的假设，但只要它们的逻辑结论是能证实的，就可以暂且认为是真的。在纯数学中，对这个问题的回答就完全不同了。在纯数学中，我们并没有断言由逻辑结论推导出来的公理或定理的真实性。我们仅只断言这些公理是公理的逻辑结论。纯数学的断言都是条件语句，尽管它们通常不是以那种方式表述的。这样理解不是说这些定理是真的，而是说如果公理是真的，那么定理也是真的。这样一种断言的真实性仅仅取决于它的形式。它的真实性的确证并不需要未定义名词或者公理或者定理的任何经验参考。它只需要逻辑规律的应用。因为没有任何未定义名词或纯数学命题的经验参考，B · 罗素讽刺地说（纯）数学是这样的科学，我们对它从来不知道自己在说些什么，也从来不知道我们说的是不是真的。”

数学是先验地真的吗？这个问题对纯数学和应用数学来说也必须分别作出回答。a）在应用数学中没有先验真理。因为应用数学所作出的断定是关于现实世界中的对象和关系，所以它们只有经验证明其是真的才是真的。经验也可能证明某些判定是真的而另一些断定只是近似地是真的。经验也可能证明某些断定，在用于这种断定的变量值的严格范围内是真的，而在该范围外是假的（比如，一位海上引航员能够有把握地利用平面三角进行计算，只要计算的距离不超二百海哩。对于更远的距离，他必须用球面三角学考虑到地球的曲率。）。经验也可能表明一套新的公理或许比一套在过去成功地使用过的老公理更好地符合实在（比如牛顿力学，它曾成功地解释了除水星以外的所有行星，必须用广义相对论代替它来说明包括水星在内的所有行星的运动。b）在只涉及蕴涵的纯数学中，我们知道有解析真理，即凭它们的逻辑形式是真的语句。纯数学中的每一证明都有这种性质。在这种意义上，纯数学的断定是先验地真的。但是，必须注意它们不是先验地知道是真的。它们必须被发现是真的。例如，算术的公理暗示，2216091－1这数是素数这一语句先验地是真的，但是，直到1985年得到证明时才知道它是真的。

纯数学的经验基础

纯数学没有经验参考并不意味着它没有经验基础。纯数学的有效性基于用来证明其定理的逻辑规律的有效性。逻辑如同数学一样，也必须把它区分为纯逻辑和应用逻辑。纯逻辑是一种数学结构，这种结构是按照某种句法和推理规则由一套初始序列推导出来的符号序列构成的。这些符号在纯逻辑中离开了这些规则就没有意义。但是在应用逻辑中它们有一种意义：某些逻辑符号代表逻辑常项，如或、和如果……那么等具有其通常的意义；另外一些符号表示命题函数或命题；句法和推理规律在应用于命题时被假定为是有效的。应用逻辑像应用数学一样，只有在经验表明它是真的时才是真的。作为实在世界最普遍特性的逻辑规律是由经验得出来的。既然纯数学的有效性依存于应用逻辑的有效性，那么纯数学也有一种经验基础，就是说，也有它使用的逻辑规则的经验基础。在这个意义上，甚而纯逻辑也有一种逻辑基础。逻辑学家在由其他符号序列推出一符号序列时必须使用应用逻辑，因为她必须知道与、或和如果……那么这种概念的意义。她不能通过给计算机编制程序作出推导的办法来逃避这种责任，因为她在编写计算机程序时必须使用逻辑规律。

—致性问题

为使—纯数学结构有意义，作为其基础的公理必须满足一致的这种要求。这一事实对数学提出了一个证明一致性的方法问题。一种做法是对相对一致性作出证明，即证明如果某一系统是一致的则一给定系统也是一致的。这就是贝尔特拉米通常用来证明双曲几何的一致性的方法。他的做法是证明，双曲几何就是在欧几里得空间一特殊表面上的测地学几何。这种表面（称作“伪球面”）是一负常数曲率的表面，在那里每一点周围的区域是马鞍形的，就像人手的两个毗邻指关节间的曲面。既然双曲几何的公理正确地描述了欧几里得空间中这种曲面的特性，可见，如果欧几里得几何是一致的，则双曲几何也是一致的。

显然，这种证明不是对这问题的一种完满解答，因为它对欧几里得几何是否一致的这个问题避而不谈，只是把问题推到另一水平。用这种方法按水平序列进行是可能的，但是，得出的最后水平的一致性将仍是未被证明的。例如，既然欧几里得几何可以用笛卡尔的方法、即用数对表示点和用线性方程表示线的方法建立可见，如果实数系是一致的，则欧几里得几何也是一致的。又，既然实数系可以在自然数系（计数系，1、2、3等）的基础上建立，可见，如果自然数系是一致的，则实数系也是一致的。现在我们知道，如果自然数系是一致的，那么双曲几何也是一致的，但是我们仍然不知道自然数系本身是不是一致的。为了避免无限回归，数学家曾想方设法找出一种证明绝对一致性的方法。这样做的一种办法是要对考虑中的公理系统找到一种具体表示法，根据我们的经验观察，关于实在性的命题没有逻辑矛盾（不要同辩证矛盾混淆起来）。例如，在上面的射影几何公理部分，我们举了一个射影平面的具体例子，其中，点是字母A、B、C、D、E、F、G，线是某些三字母组，这就是一射影平面公理的绝对一致性的证明。

有些数学家对这种绝对一致性的证明感到不满意。希尔伯特领导的运动企图通过对数系的一致性设计一种形式证明，使形式或公理数学完全成为自包的。1913年哥德尔证明它的目的是不能达到的、于是这种探究也就告终了。哥德尔的不完全定理意思是说，一数学系统的一致性除了用该系统本身以外的附加定理证明外都不可能得到证明。因此，一致性的形式证明只能是相对一致性的另一证明。因为哥德尔定理只允许我们以一种方法证明一数学系统的绝对一致性，或者说只让我们用一种方法找到一数学系统的具体表云。既然表明一数学系统的具体表示涉及到经验基础，那么这里，我们对于纯数学归根结底有一种经验基础的论点，就有了进一步支持的理由。

[Science & Societg，1987年第2期]