物理学总是为数学家们提供问题。物理学家是实用主义者，他们的首要兴趣是在理论的物理意义而不在它们的严格证明上。这些有待完成的证明成为数学家们的好问题的一个传统来源。这也引起了小小的争执：一些心怀偏狭的数学家斥物理学家们粗枝大叶，同时，一些心怀偏狭的物理学家抱怨数学家们在无物理意义的琐细问题上吹毛求疵。其他的人认识到这两门学科虽有不同，却是相容的，客观的，可以互相学到不少东西。为这种灵活见解助阵的一个重要例证是达纳森（Simon Donalson）的研究，他用来自于理论物理中规范理论的概念来证明几何和拓扑的新结果。

八十年代的数学进展之一是在四维几何和拓扑方面的逐渐的理解。在数学上，“维”被用来表示一个独立参数：例如我们说一个空间有六维，是当它的每个点被六个独立参数完全决定时。并无特别理由去限制一个空间应有多少维，多维空间在数学上到处出现。然而关于三维或四维空间（这里我们可以把时间看成第四维）有某些特别令人感兴趣之处。拓扑学的一个首要目标是找到这些多维空间的某些合适的分类，有些像动物学家的分门别类。两个空间属于同一个拓扑等价类，是当它们具有相同的基本总体结构，但是在细微结构上可以大不相同。

分类

非同寻常的是，五维和更高维中的分类反倒是比较容易的：三维和四维迄今是最困难的。这并不意味着在五维和更高维我们已经有一个完全的分类了，勿宁说我们已经有了一个精巧的理论来适当地处理它的一些主要的令人激动的问题。这个理论就是在六十年代和七十年代发展起来的微分拓扑。如果限定了学科的性质，这大致是可望得到的最好的学科了。左三维，瑟斯顿（BilI Thurston）的几何化程序已经产生了一大批近代论文，四维的情况又怎样呢？

令人惊奇的是，理论物理提供了四维分类问题的工具。规范理论被认为是基本粒子理论最有希望的候选者之一。规范理论最简单的例子是电磁理论，其中从经典（非量子的）理论导出电磁场的麦克斯韦方程，其中的量子论是光子理论。在电磁理论中包含着一个用角来量度的位相因子，它对应于这个理论的内在旋转或循环的对称。

在一般规范理论中，其内在对称是更为复杂的：其经典方程，即麦克斯韦方程的相似物，是杨 - 米尔斯方程，而其中的量子论正是我们所希望能导致基本粒子理论的。问题是要解出这些方程并求出这个理论的量子论。关于这类方程有很多解已为我们所知，但是一般规范理论的量子论仍处在萌芽阶段。困难的根源是表示这个理论复杂的内在对称性的杨 - 米尔斯方程是非线性的。在电磁学中，有一个简单的旋转对称，方程是线性的，可解的，其中的量子论已得到很好的理解。

数学上，杨 - 米尔斯方程是非线性偏微分方程，这类方程传统上是难以处理的。其中一般理论不多，而是技巧集锦，通常需要有很大才智才能解出个别例子。关于杨 - 米尔斯方程的许多开创性研究是由阿特耶（Michael Atiyah）和他的许多同事作出的。在此之前还有两件事作为这项研究的先导。第一，已发现在规范理论的概念与微分几何的许多概念之间有一个直接的转化；第二，借助于彭罗斯（Roger penrose）的扭绞线（twistor）理论的主要概念，许多来自微分几何和代数几何的数学机理能被用来找到方程的解答。

达纳森对这一领域概念的独特贡献，在某种意义上是把整个程序颠倒过来了。大部分以前的研究是沿着以下思路：队四维空间着手，然后应用这个空间的几何和拓扑性质去获得定义在这个空间的杨 - 米尔斯方程的解的信息。达纳森则如下论述：如果我们已知杨 - 米尔斯方程的解的某些情况，则我们必定能提取关于这个基础空间的信息。这是一个卓越的探讨方法，一如传统，困难之处是解方程。达纳森着手时，在某种意义上是把此方程的解看作为已知量。

相交矩阵

关于这个空间我们想得到怎样的信息？存在一个附属于四维空间的一个基本不变量，即它的相交矩阵。这是一个整数矩阵，它量度二维空间之间如何相交。由于一般的理由，此矩阵是对称的——沿对角线翻转后不变。关于矩阵之间的代数等价性具有明确的意义，使得两个拓扑等价的空间具有代数等价的相交矩阵。这就给出了区别不同四维空间的方法：首先计算它们的相交矩阵，如果它们不是代数等价的——这些我们可以迚过直接运算作出判断——则这些空间必定拓扑不等价。有两个基本问题被提出来了：是否每个整数对称矩阵都能被用作为某个四维空间的相交矩阵？以及，如果两个四维空间具有代数等价的相交矩阵、它们必须是拓扑等价的吗？

然而，与这个理论有关的有两种空间和两种等价性概念：拓扑流形和拓扑等价或光滑流形和光滑等价。按照分类学的术语，我们能把纯拓扑理论看作大的分类，而光滑理论，是对同一大类之内更精细几何结构的细分。如果我们讨论五维或更高维结构，这种细分无伤大局；在纯粹拓扑理论与光滑理论之间虽有一定差异，但差异并不太大，我们也搞清楚了。在三维及更低给这两种理论则毫无差异。然而，在四维中，其差异很大，我们所知很少；的确，正是由于达纳森的研究，才使我们懂得状况确实是如此。

这一点可用曲线来说明，曲线是一维空间。一条拓扑曲线仅是连续曲线，所以可以有拐角等等；而光滑曲线，按其名称就不可以有任何拐角。给定一条拓扑曲线，我们能把它的拐角弄平使之变成一条光滑曲线，直到光滑等价，而此结果与我们进行弄平的方式无关，在二维和三维这个结论也真。在五维或更高维情形就不同了；我们能弄平此空间足够小的补片，基本上只有一种方法，所以这个问题成为一个把这些补片拼凑起来获得一个完整的光滑体的问题。但是这或许做不到，即使能做到，也可能有不同的拼凑方法。因此这个问题基本上是一个组合的问题。在四维中仍然可能弄平足够小的一块，但没有唯一的方法：不同的弄平过程可能导致大不相同的结果、不管所研究的空间的这一小块是多么的小，也是如此 · 这个现象是非常奥妙的，在任何其他维中都没有可比拟的情况，情况确实是对立，这正是我们研究非四维分类理论的起点。

达纳森证明，就光滑流形祐光滑等价而论，对于以上两个基本问题的答案都是否定的，而且是大大的否定。这可与弗里德曼（Michael Freedman）的较早的结果相对照。他证明了关于拓扑流形和拓扑等价，对于第一个问题的答案是肯定的，而对于第二个问题的解答是至多有两个空间具有同一个给定的相交矩阵。这就是达纳森的结果与弗里德曼的结果的不同之处，这正是四维的奇妙特征的核心所在。达纳森指出如何从杨 - 米尔斯方程的解去计算相交矩阵。这个结果是颇令人惊奇的，因为初看起来，看不出其中有任何直接联系，其中的要点是此方程的瞬子（instanton）解的存在；这些解是被集中在一个非常小的球之内，并且它们的形态像被放置在球中心的粒子。这就给出了一个根据方程的解移置空间的点的方法。达纳森继续论述如何加工他的基本方法去描述光滑流形的更进一步更精细的不变量，它们能区分甚至是拓扑等价的光滑流形、这又回到了原先的思路。

达纳森的研究的含义是什么？它表明了四维的情形是特殊的，还有许多奥秘有待解开；有许多本质现象在任何其他维中无有其匹，它也提供了用以估量四维分类问题的复杂性的工具。也许最重要的下一步是试图弄清楚达纳森的方法是否确已揭示了所有的复杂性。换一种提法，是否还有更奇妙的东西在深深隐藏着呢？在达纳森的研究中还有一个重要的哲学含义是，说明了一个无可争辩的事实：数学家需要物理学家。

[Nature，1988年4月]