埃瓦里斯特 · 伽罗瓦(Evariste Galois)是一个生来就不屈不挠的青年人。在科学界再也找不出第二个人物,他的学术生涯是如此地短暂。一场精神上的奋斗都集中在五年时间里。年仅二十岁,正当他的才华初露锋芒,展示出无限前程的时候,他却在一次决斗中丧生了。他的死结束了使智慧受到挑战的失望和挫折的累进过程,随着情境的消亡,这些失望和挫折的连结也就丧失了。但不管怎样,必须承认伽罗瓦身上的这股巨大力量,赋予他以革命者的坚贞不屈。他所主张的科学领域内的革命——不仅学说上,而且在科学成果的交流中,在科学家之间的合作中,对他来说都是一种规范,他深信这种规范是人类的生活和社会的进程所必须遵循的。科学机构中的权威阻挠着他,但是他对它的政治基础和体现这种政治基础的统治者都加以攻击。一个煽动谋杀君王的数学家于是就成了魔鬼,但愿在他埋骨于蒙帕尔纳斯(Montparnasse)公墓的普通墓穴中一百五十年之后的今天,人们能恢复他始终不渝或至少是清白无辜的本来面目。人们可以从伽罗瓦今天所获得的崇高声誉中看到科学的公正无私所产生的良好作用,这种公正无私从属于观念,而与激情无关,从此以后,数学家们就把伽罗瓦这个名字与他们的学科中最富有成果的理论——群论——联系在一起,因为这个理论使数学的应用遍及于形形色色的学科。这还不过是一种相当抽象的公正而已。人们往往把他思想的先进同他行为的紊乱区别开来。但是人们不能另造他们的伽罗瓦;他身上所具有的坚定性不是用来让人喜爱的,而是充满着一种使未来得以存在的大胆精神。要是说通过数学天才就能证明雅各宾派的激情的正确性,那是可笑的,但是,如果我们要完整地纪念埃瓦里斯特 · 伽罗瓦的话,那么把数学天才和政治激情两者对立起来或隔离开来,也是错误的。
一个进步的孩子……一个煽动分子
埃瓦里斯特 · 伽罗瓦在同时代人中所赢得的声誉,肯定不是后代人所能得到的。在路易 · 菲利普(Louis-Philippe)统治的那个社会里,他是一个不倦地在巴黎大街上煽动闹事的与公共秩序为敌的人。作为人民之友协会的一名成员,他被控搞阴谋诡计,企图进行一场新的革命以恢复共和制度。1831年5月9日,当共和党人为庆祝拉斯帕伊(Raspail)、布朗基(Blanqui)和他们的战友被宣告无罪而在勃艮第葡萄饭店举行盛大宴会时,伽罗瓦举杯对国王进行了挑衅性的祝酒,使他第二天被逮捕了。6月15日,伽罗瓦在刑事法庭上受审。但这一审判却给他提供了一次不顾一切地为自己的行动辩护的公开机会。让我们从他同那位非常和蔼地主持辩论的诺丹(Naudin)庭长的对话来作出判断吧。
伽罗瓦:“我有一把刀,吃饭时曾用它来切割食物,这时候我正手握这把刀,我站起身来并说道:‘为了路易 · 菲利普,如果他叛国的话。’我的声音立即被一片嘘声所掩盖、因为人们以为我在向路易 · 菲利普祝酒。”
庭长:“这是说,在这次宴会上,人们早就取消了任何向国王的祝酒。”
伽罗瓦:“是的,当然。”
庭长:“当您站起来时,仅是为了表达个人情感呢,还是有意向在场的人进行煽动?”
伽罗瓦:“当然,在路易 · 菲利普叛国的情况下,这是一种煽动。”
在这点上,仅仅肯定人们完全有理由设想法国人民的君主的意图中有不光彩的用意,对他来说是不够的,他总是把革命信念的公开发表置于一切之上。“复辟王朝的大人物们,你们看看自己的所作所为的结果吧,你们曾答应过不再会有动乱,然而还是有动乱!查理十世要比你们聪慧一百倍!”
庭长:“您的辩护离题太远了,为了您的利益,最好还是让您的律师来讲吧。”
伽罗瓦:“我快说完了……你们是一群孩子,你们把我们的脑袋放在断头台上,但是你们又不曾有过让斧子砍下去的力量。我们也是一群孩子,但我们是一群进步的孩子,充满着力量和勇气;我们共和党人的灵魂是不会蜕变的。而你们却是一群倒退、落后的孩子。”
经过辩护和简短的商议之后,法庭宣布伽罗瓦无罪释放,这是因为在新政府成立的最初几个月内,法令还是比较宽容的缘故。
言语才是证据
关于伽罗瓦的死,人们编造了很多故事。从有的说是警察局策划的阴谋,目的是将一个危险的极端主义者在获释前夕清除掉,直到有的说这是一次假的决斗,因为双方想到以往的友情,现在要进行这种正规的决斗,觉得非常痛苦,所以只得听天由命,用枪口顶着射击,其中只有一支枪是上了子弹的,等等。伽罗瓦本人的证词非常明'白,没有什么东西能否定它,他屈服于两个爱国者的一次挑衅,他们打算洗刷掉在他给全体共和党人的信中被他指为下流的卖俏女人的那个人的名誉。
这个下流的卖俏女人并不是一个妓女。尹芳托齐(Infantozzi)先生对她的身世作了详细的调查。她姓杜莫梯尔(Dumotel),名斯特凡妮 · 帕特琳(Stéphanie Poterin),是福耳特里埃医院的主治医生的女儿。伽罗瓦在决斗前夕亲自复抄到写给奥古斯特 · 舍瓦烈的信的最后一页纸背面的一封信的下端,透过很重的涂抹痕迹隐约尚可辨出斯特凡妮 · 杜莫梯尔这个名字。就在这封给舍瓦烈的信中,伽罗瓦把他花了一个夜晚重温过的一些论文委托给朋友,其中以遗嘱的方式记下了他得到的最终研究结果。信写得简单扼要,语气平静,表达了他思想的权威性和精炼性,令人肃然起敬。在信中丝毫找不到他那产生出整夜纠缠不清的浪漫想象力的心情,而只让人看到一个天才人物的独来独往。伽罗瓦作为数学家的一生结束了。他被铅弹击中胯部,穿过骨盆,他的对手无疑认为他死了,于5月30日清晨将他抛弃在葛拉塞尔湖(Glacière)附近,但是人们不知道这对手的名字彼歇 · 德艾尔宾维尔(Pécheux d' Herbinville)也好,欧内斯特 · 杜沙特列(Ernest Duchatelet)也好,任何被提出的名字都经不起评论。伽罗瓦的真诚带走了这一秘密,可能是他宁愿把它当作一件“这样可鄙的事情”而忘却。当伽罗瓦在柯商(Cochin)医院去世的噩耗一经传出,他的一些爱国者朋友情绪激昂,聚集在圣 · 安得烈(Saint-André)艺术大街人民之友协会总部。他们准备于1832年6月2日为他举行葬礼时起来造反。但就在这时,共和党人心目中的人民英雄拉马克(Lamarque)将军逝世的消息公布了,于是人们推迟到6月4日,在拉马克的葬礼行列中举行了一场暴动,这场暴动在圣 · 梅利(Saint-Méry)围墙内的血腥镇压下结束。
一个科学家不会结束科学
既然政治热情对发挥数学家的天才起了如此坏的作用,那为什么还要把它重新燃起呢?如果我们对伽罗瓦为科学提出的设想不是有所了解的话,这里的只言片语将是不全面的。伽罗瓦的设想是非常惊人的,他对知识只能循序发展这种信念进行了斗争。“众所周知,在人类的全部知识中,纯粹分析是一个最非物质性、最合乎逻辑、而又是唯一不凭借任何感觉表现的知识部门。因此很多人得出结论:纯粹分析是整体上最有条理和最协调一致的。但这是一种错误的看法。”这种错误又因一些著作所具有的表面上的规律性而延续下去,在这些著作中,叙述过程掩盖了思想的有效前进。下面是我们这位数学家竭力宣布的话。“拿一本代数书来看……这是一些任意的划分,一种全属约定俗成的安排。”伽罗瓦在认识高斯(Gauss)、利勃里(Libri)、雅各比(Jacobi)和阿贝尔(Abel)之前,从那些从事于科学研究的人即勒让德(Legendre)、拉格朗日(Lagrange)和柯西(Cauchy)的著作中吸取了营养。实际上他所谋求的并不是随着他们去兜圈子,而是在他们开创的道路上前进。他一下子把经过观察认为没有用的冗长的计算划掉。他进行压缩。J · 贝待朗(Bertrand)讲述过,他利用对于斯蒂尔姆(Sturm)在《弗吕萨克简拫》(Bulletin de Ferussac)上发表的一个定理的纯朴理解,曾经面对勒鲁瓦(Leroy)和师范大学学生,直接在黑板上给出一个证明。这个小故事说明了伽罗瓦的声誉,在他看来,数学并不是由许多个相互联系和相互推演的真理组成的王国,而是向学术研究敞开着的一块田地。他在1831年曾写道:“科学是人类精神的产物,它与其说是用来认识和发现真理的,不如说是用来研究和探索真理的。”
对他来说,神权数学是不存在的,也不能把已经取得的成果当作圣经。科学是人类的事业;它开始于任何一个抓住它的本足(和重整它的条理)的人。引起伽罗瓦深思的是科学发展的中断。他写道:“科学是通过一系列的配合而得到发展的,在这些配合之中,偶然性所起的作用远非微不足道,科学的生命是粗野的,它好比由于矿层的毗连而相互交错的矿物一样。”我们这位雅各宾派数学家的另一个强烈观念是希望学者和时代间有一种紧密的联系。为此他写道:“在这里,正如在所有科学中一样,每个时代都以某种方式提出自己当时存在的若干问题。其中有一些是非常生动的问题,它们把一些最聪慧的学者吸引在一起,而且这既由不得他们自己,也没有任何协议的支配,就使他们投入这场协作和竞争中去。”
伽罗瓦不怕错误
伽罗瓦始终抱怨书本、教学和考试中充斥着的人为的矫饰、他到处看到一些问题被弄得支离破碎,造成无用而古怪的复杂化,使智慧走入歧途。他是在关于中学数学教育的信件中这样揭露的。“人们是否通过最简单方法的阐述去尽力促使学生领会真正的科学精神?他们是否能使推理成为学生的第二种记忆?相反地,在学生学习数学的方法与学习法语和拉丁语课程的方法之间难道没有某种相似之处吗?”这里他并没有责怪老师的意思,而只是对他们不得不从事的卷帙浩繁的编纂工作提出责难。“另一方面,为什么主考人只向考生提出错综复杂的问题呢?似乎他们唯恐被他们所考问的人理解;这种用人为的困难使问题复杂化的做法是从哪里来的呢?莫非有人认为科学过于容易吗?”人们不禁想起他报考巴黎综合工科学校(EcoIe polytechnique)时在迪纳特(Dinet)教授面前经受那一场不幸的考试的情景。迪纳特就对数的算术理论考问伽罗瓦;伽罗瓦认为问题提得不当,因为白白地对问题作了限制,他简略地作了回答,而对主考人想就某些明显的命题假装的怀疑,则以轻蔑的口气表示肯定来作为反抗,这一回忆和很多其他回忆一样,说明把伽罗瓦描写成一个既有善于思考的脑袋又有狂热的脑袋的两头怪物,是人为的。伽罗瓦的热情从一开始就激发了他的才智。在科学上,从阅读勒让德作品起,“数学的激烈控制了他。”在政治上,浸透着他的整个思想的是拒绝现实。“我在一生中,经常冒险地提出一些自己都不能确信的言论来。”这是伽罗瓦在写给奥古斯特 · 舍瓦烈的信中给自己下的断语;他在信上显示出他正在勇猛地前进。他那前进的迅猛速度是与他承担的风险相当的。伽罗瓦敢于抢先,敢冒风险,他不知道害怕错误;因为在他看来,错误是思想发展过程中不可避免的东西;科学的进展不是从真理到真理,而是从虚假到真实。他在关于阿贝尔的一条注记中得意地写道:这位挪威数学家曾经认为已经找到了五次一般方程的解,这恰好也是他在十六岁时所犯过的错误。正是这一同样的经验要求他们两人都来修补和转变他们的研究。在他的《关于纯分析进展的讨论》—稿的涂改处我们可以看到这样一个句子:“一个理论只能在这些错误中的某一个之下构成。”伽罗瓦将发明创造与方法之间的对立推得很远。这种精神上的雅各宾主义却正是他所采纳的主张。
附:伽罗瓦理论
伽罗瓦对于今天已经硕果累累的群论来说,既不是它的创始人,也不是它的奠基人。群的概念在十九世纪数学家关于排列和等价类计算时著作中已经出现,只是没有这个名称而已。伽罗瓦首先在他1831年的论文中提出这个名称。
群论起源于方程论的研究,对于方程论,拉格朗日有过卓越的概括。在1770年前后,拉格朗日和范德蒙德(Vandermonde)在解代数方程的过程中引进了方程的根的一些有理表达式,并将这些有理表达式在所有的根以各种可能的不同方式置换时所出现的值进行分类。拉格朗日还指出:可以通过这种函数的变化来证明二、三、四次方程是存在用根式表示的求解公式的,而且这个方法普遍地适用于其他类型的方程:高斯在1800年研究了分圆方程,得到了关于用直尺和圆规作出某些正多边形的著名成果。群的概念虽然没有明白表示出来,实际上在这些研究中早已出现。
伽罗瓦引进了与一个代数方程的根有关的量所生成的域的概念,后来,关于同条理论,有限域就称为伽罗瓦域。群论是一种工具,当他在制订正规子群和可解群的概念时又使它得到了完善。此外,他当时只考虑了一个有限集(一个方程的根的集)的置换群的情况。狄德金(Dedekind)于上世纪末才把“伽罗瓦群”当作某个代数数域的自同构群的一个子群。伽罗瓦的贡献不仅仅在于这些完善,而且我们可以这样说:他的贡献在于他那所用过的方法有强烈诱人的作用,伽罗瓦开创了代数学基本结构的研究。尽管他没有将这些结构系统化,但是他充分考虑了这些结构,他把同余论同化到数论中去就是一个证明,甚至他还把它推广到虚数。这种无可否认的直觉能力支持着他的思考,将他引向这种极端的一般化中去,这种一般化不是在理论内部发生,但却使理论本身更为突出。他给方程可用根式求解问题所提出的解答,在他看来是一个适用于代数学所有各分支的更一般理论的应用_人们设想他怀着清醒的工作热忱,促使他于1831年在圣 · 佩拉热监狱中写道:“……这里人们进行着分析的分析;这里直至现在所进行的最高级的运算被看作是一些特例,这些特例的处理曾是有用的和必不可少的,但是为了作更广泛的研究而不放弃它们似乎又是极为不利的。”
“伽罗瓦理论”今天成了代数学中基础篇章之一,这是一个已经被大大地丰富的篇章,特别是由于斯坦尼茨(Steinitz)的工作。从此以后,它伸向了比方程论更加普遍的领域。作为教学的基础及研究工作的永远活跃的中心,这一理论既不仅属于群论,又不仅属于域论,而是这两种理论的综合,并成为当今具有很强生命力的一种理论。
[La Recherche,1982年11月]