关于四维空间的研究，目前实际只从我们所熟悉的三维空间跨出了一小步。最近的研究结果可以用“怪诞”、“奇特”、“超自然”和“神秘”等字眼来形容，表明出现了一些不寻常的事情。
把理论物理学的各种思想和拓扑学的抽象概念结合起来，数学家正在发现：四维空间具有完全不同于任何其它维空间的数学特性。例如，一般的三维空间只有一种，有高度、宽度和深度的概念；而四维空间有无限多种等价的基本形式，每一种都有某些不同的数学特性。
四维空间实际是抽象的，不可想见的。它是数学家在研究一、二、三维及四维以上几何结构的模型及其关系中，从维和空间的数学概念出发，通过复杂的心理活动所得出的逻辑结果。
关于第四维的这种惊人发现，给数学家与物理学家提出了许多难题：为什么第四维，且只有第四维有这种奇特的形式上的多重性？物理学家是否在利用恰当种类的数学来研究四维时空宇宙呢？第四维到底有多么古怪？
美国哈佛大学的H. 托布斯（Clifford H. Taubes）说：“四维空间和其它空间相比较，明显地存在很大差异，现在的问题是：这种差异是怎样产生的？”
我们知道，最简单的数学空间是欧几里得空间。一条无限长的直线就是一维欧几里得空间，纵横交错的平面和我们生活的世界分别为二维的与三维的欧几里得空间。
一般地，“维”一词表示独立的参变量或坐标。如果空间中的点由三个独立的数字完全确定、则空间为三维的。例如，地球上的飞机在三维空间中的位置分别由经度、纬度和高度决定。类似地，如果确定一个空间中的点位需要七个数字，那么这个空间有七维。
其实，坐标本身没有什么实质性意义。物理学家常常选择一组坐标的前三个代表自然空间中的三个独立方向，第四个是时间。但四维或四个坐标也可以是压力、体积、温度和质量或任何其它的四参数组。在数学中，重要的是坐标本身，而不在乎是它们代表什么。
术语“流形”包括比欧氏空间更为复杂的类型。流形在局部出现“平坦部分”或欧氏空间，但在较大范围内可能被弯曲和扭曲成为奇异而错综的形式。例如地球表面类似于一个二维数学流形，大平原上的居民看见的是一个平坦的表面，而环绕地球飞行的宇航员则看见一个球的表面。不过，任何弯曲和复杂的表面，只要它本身不相交，都可以看成是由小的欧氏碎片粘贴到一起而构成的。
怎样对流形进行分类和辨别呢？我们常用数或代数表达式这样的拓扑不变量将流形分类。
维，即在确定空间中给定一点所要求的坐标数，就是一个拓扑不变量，它是流形世界中的第一级分类法。
流形可分为有界的和无界的两类。例如，一个圆是有界的或“紧的”一维流形；而一条在两个方向无限延伸的线，显然是无界的。这种区别同样应用于任何维的空间。
在较低的维中，拓扑学家可以想象出一组“理想的”形状，特定维的流形可以变形为这些理想的形状。例如，所有二维紧流形类似一个带有一定数量的洞的球。在这个方案中，拓扑学者可以将一个炸面圈的表面和一个咖啡杯的表面都光滑地变形为有一个洞的球形（这类二维流形的理想原型），于是炸面圈和咖啡杯归于同一组。这就是一个老笑话：“拓扑学家不能讲出炸面圈与咖啡杯的区别。”的来源。
植物学家可以把一个特定的植物首先归入一族，然后归纳为属和种。每一步都体现出更细致的差别。类似地，拓扑学家也可利用适当的不变量，更详细地考察流形看起来像什么，以及一个流形怎样变形为另一个流形。
许多流形研究工作关系到更精细地调整不变量，以不断确定微细的差别，因为更高维的流形不可能直观想象，因而这些不变量常常代表流形本身。
数学家们已经制定了对除三维和四维以外每个维的流形进行分类的合理而可行的计划。第三维还留下一个难题，因为数学家还未能证明所提出的分类方案能够覆盖所有可以想到的三维流形。最近关于揭开第四维奥秘的研究通示，第四维是一个特殊情况，其性质完全不同于任何其它维。
贝克莱加州大学的C. 柯尔比（Robion C. Kirby）说：“第四维看来是最棘手的，因为有足够多的最为复杂的问题，但没有充分的解决办法。”
四维流形分类法的中心问题关系到拓扑流形同光滑的或可微的流形之间的方法差别。例如一个球有一个光滑而连续的表面，一个封闭的空盒子有一个连续表面，但它有尖锐的边和角，所以它的表面不光滑。
差别是关键的，因为在一、二、三维中可以应用拓扑学方法使任何尖锐的边、折皱和不整齐的表面变成数学上光滑的表面。例如一个盒子可以用一种合理的方法变成一个球。
换句话说，在一、二、三维中，拓扑（流形）（更一般的范畴）和光滑（流形）之间没有差别。在五维和更高维中，流形分为光滑的和有皱的变种两类，而且数学家知道这两类流形在什么时候出现和怎样出现。在四维中，光滑和有皱的区别要复杂得多，很难将它们分类。
类似的区别也应用于变形，这种变形是为检查流形是否属于同级或适合于不同种类而设计的。就像一块焰饼面团，拓扑流形是非常松弛的，可以自由地被揉搓和歪扭的。
一般，若一个流形可以不撕裂而变形为另一个流形，那么这两个流形可认为是等价的。这种变形可以包括一个光滑的转变或再加一个起皱的过程。要特别地作一个光滑的转变，比简单地辨别两个流形是否拓扑等价，要求更为苛刻。有点像生物学家在一个族内确定一种花的属。
四维流形分类的第一个主要步骤表明，可以用二次型这种代数不变式辨认某种的类型。这个问题的突破花了圣迭戈加州大学的迈克尔H. 弗里德曼（Michael H. Freedman）7年时间。他在1981年的证明显示，这类流形可由简单的建筑街区构成，并完全在它们的二次型基础上分类。
弗里德曼的工作发现了许多四维流形，并预先建立了已知流形间的未知变形，但并未排除它的某些四维流形有不能以任何方式消除的折皱这种可能性。换言之，四维不像一、二、三维，它可能包含拓扑而不光滑的流形。
事实上，四维所表现出的正是这种窣外的面貌。1982年英国牛津大学的S. 唐纳森（Simon Donaldson）证明了不是所有拓扑四维流形都可以用光滑的方式形成，而且，某些流形的折皱不能用推或拉的办法全部摆脱。
唐纳森应用理论物理学家提供的数学工具来证明他的论点。他应用了一组复杂的数学表达式——已知的Yang-Mills方程。该方程曾在物理学中预言比电子大的基本粒子的存在性。
解Yang-Mills方程是著名的难题，为了找到答案，物理学家应用已知的四维空间几何或拓扑性质去获得有关这个方程的可能解的信息。
唐纳森采取了一个甚至更困难、更大胆的路线，从对该方程的解所知甚少开始，为建立四维空间的基础提取信息；从本质上考虑解本身，把方程的解作为数学对象，按他所导出的特殊法则进行操作。
唐纳森在给出如何用Yang-Mil：方程的解计算二次型时表明，二次型对区分拓扑流形是否光滑是不充分的。后来他改进了他的方法去发展新的、更精细的不变式，以便区分光滑流形，甚至当光滑流形有同样的二次型，从而是拓扑等价的时候也能区分它们。
但是，这种新的唐纳森不变式很难化简和计算。同时，“我们不了解它们怎样发挥作用。我们不能肯定需要多少不变式。虽然在特殊情况下，它们工作得很好，但我们不了解在一般情况下它们如何起作用。”（摩根Morgan）
唐纳森还指出，即使在四维流形可被光滑时，这种区分过程也可能有很多不同的路线，从而导致形式上的极大差别。
其它数学家拓展了唐纳森的工作，并在新的方向上应用他的成果。例如，他们发现对一般四维空间，可给出不可数光滑的描述。换言之，那里存在奇异的四维流形，它们是拓扑的，但不是光滑等价于标准四维欧氏空间的。在所有其它维，欧氏空间有一个唯一光滑的描述，就是数学家们长期以来所使用，并且很熟悉的描述。
物理学家在解各种不同的流形方程时，颇费心思。在我们熟悉的三维空间，只有唯一的解法。一旦进入四维空间，流形方程的解法使物理学家面临选择的困惑。因为在神奇的四维世界，有无穷多种解法。
四维空间无数奇异的结构确实说明了四维空间是与众不同的，而物理学家只研究那些现实空间、四维空间是爱因斯坦理论涉及的领域和玻代物理学的归宿，正如一些探险家自信而错过美景一样，物理学家也可能会发现其理论所描述的只是狭小的时空领域，在茈之外还是一片空白。
这些奇异四维空间的另一显著特征是在大距离上它们似乎变得极为复杂，而在无限远时变得无限复杂，即复杂性随尺度而增加。这样一幅图景可能应用于宇宙物质的分布状态。
的确，随着天文学家研究宇宙范围的扩大，人们似平看到星系和星际物质分布不均匀。他们观察到大结构的不规则分布，有点状的大缺口。夏威夷大学天文学家R B杜利（R. Brent Tully）在用宇宙距离描绘星系群的分布时指出，银河系所在星系群的子群实际上就是他所说的Pisces-Cetus集合体——一个有十亿多光年范围的子群。杜利的观测只是天文观测的一部分，盘古开天地以来，自然界在如此瞬间，怎样通过引力作用形成这样一个巨大、星系分布不规则的集合体，实在令人难以想象。
不过，如果宇宙被嵌入一个奇异的四维空间，而不是传统的欧氏空间变种，那么人们可以期望，宇宙正如杜利所见到的那样，随着较远部位的爆炸而加速地旋卷与歪扭着。
数学家们也为这整个方法所困惑。四维空间的确是陌生的，还有许多秘密有待解决。例如，要描绘奇异的四维空间还成问题，“我们知道这些奇异四维空间的存在，但我们不知道怎样清晰地构造它们。从感觉上，它们旋卷得很厉害，你将不愿在这样一个奇异四维空间作多元微积分作业。”（柯尔比）
同时，数学家也还没有完成将光滑、紧的四维流形进行分类的任务。这些研究者有两个困难的四维流形图像——一个是关于构造步骤的，另一个是关于唐纳森的秘密的不变量的。但他们尚未在这两者之间的空隙成功地架起桥梁。
“光滑流形的分类问题是敞开着的，现在我们知道这是一个非常错综复杂而巧妙的分类，但即使是它的一般轮廓，我们也还没有搞清楚。”（摩根）
研究四维流形所用的方法，可能有深远影响。令人困惑的是这些方法表明，五维和更高维空间的研究比三、四维空间的研究更简单，更容易理解。更高维空间的研究看来是对帮助理解四维流形以便有新的基本认识的一个需要。
唐纳森的工作特别放在数学与物理的深联系上。陶布（Taube）说：“还没有人知道唐纳森所做工作的全部动力。我们真的不知道现在遗漏的是什么。”
未来的进展多半将有赖于物理学家与数学家的更多交流。最近把量子场理论和纽结理论联系起来可能是在正确方向上迈出的一步。
正知犹他大学的罗纳德J. 斯特恩（Ronald J. Stem）所说：“这是数学的一个非常令人振奋的角落。有许多研究还在继续，尘埃尚需澄清。”
“第四维是一个怪维，但我们正在开始习惯它。”（摩根）
[Science News，1989年5月27日]