我受命在这里作一次演讲，要想避免老生常谈和陈词滥调，演讲的课题是很难的。此外，我的知识和经历有限，只能就物理学的理论方面讲一讲——这是一个最严重的局限性。因此，首先我要请你们有点耐性，克制一点。
我们对于自然之美都深有感受。这种美有些方面为自然与自然科学所共有，这样说不是没有道理的。但有人也许要问，在何种程度上追求美是科学研究的目的之一？对于这个问题，彭加莱是毫不含糊的。他在一篇文章中写道：
科学家不是因为有用才研究自然的。他研究自然是因为他从中得到快乐；他从中得到快乐是因为它美，若是自然不美，知识就不值得去求、生活就不值得去过了…我指的是根源于自然各部分的和谐秩序、纯理智能够把握的内在美。
彭加莱继续说：
正是因为简单和浩瀚都是美的，所以我们优先寻求简单的事实和浩瀚的事实；所以我们追寻恒星的巨大轨道，用显微镜探察奇异的细小（这也是一种浩瀚），在地质年代中追踪过去的遗迹（我们所以受吸引是因为它遥远），这些活动都给我们带来快乐。
对于彭加莱这些话，牛顿和贝多芬的传记作者J. W. N. 沙利文写道（《雅典娜神庙》，1919年5月）：
由于科学理论的首要目的是表达人们发现的自然中存在的和谐，所以我们一眼就能看到这些理论一定具有美学价值。对一个科学理论的成功与否的衡量事实上就是对它的美学价值的衡量，因为这就是衡量它给原本是混乱的东西带来了多少和谐。
科学理论的辩护要从它的美学价值上去寻找，科学方法的辩护要借助它的美学价值去获得。没有定律的事实是无意义的，没有理论的定律充其量只具有实践功效，所以我们看到，指引科学家的动机从一开始就是美学冲动的显现…没有艺术的科学是不完善的科学。
优秀的艺术批评家罗吉 · 福雷（R. Fry）（有些人可能读过弗吉尼亚 · 伍尔夫写的福雷传，对此人有所了解）行一篇很有见地的文章《艺术与科学》，该文开始引用了沙利文的一段话，接着说：
沙利文大胆地说：“科学理论的辩护要从它的美学价值上去寻找，科学方法的辩护要借助它的美学价值去获得。”这里我想向S. ［沙利文］提一个问题：一个无视事实的理论与一个符合事实的理论是否具有同样的科学价值。我想他会说不；依我之见，为什么不，是没有纯美学理由的。
我将在后面讨论罗吉 · 福雷提出的问题并提出一个不同于福雷以为沙利文会提出的回答。但现在我要进一步讨论福雷对艺术家的冲动与科学家的冲动的比较。
从最单纯的感受到最高级的设计，艺术过程中的每一点都必然伴随着快乐：没有快乐就没有艺术…正常情况下思想对必然性的认识伴随着快感，对这种精神快乐的渴望是推动科学理论发现的动力，这也是真的。在科学中不论有无情感相随，关系的必然性依然是一样确定的、可阐明的，而在艺术中，没有情感状态就没有美和谐。艺术和谐只有带着激情才是真实的…在艺术中，对关系的认识是直接的、感性的——也许我们应该认为它与数学天才的认识奇异地相似：那些数学天才对于他们无力证明钧数学关系具有直接的直觉。
现在我从这些泛泛的论述转向具体的实例，看看科学以何为美。
我的第一个例子与福雷的话有关，他说到有些东西数学天才感到是真的而又没有明显的理由。印度数学家斯里尼瓦莎 · 拉马努詹（1915年他在数学上一鸣惊人，这事你们有些人是知道的）留下了大量的笔记（其中有一本是几年前才发现的）。在这些笔记中，拉马努詹记了几百个公式和等式。其中有许多最近由拉马努詹无从知道的方法证明了。G. N. 华生（Watson）花了数年时间证明拉马努詹的许多等式，他写道：
研究拉马努詹的著作以及它所提出的问题不禁使人想起拉梅读到埃尔米特的模函数论文时说的话，“真让人惊心动魄。”而我自己的态度不是一句话能表达的，像
这样的公式使我激动和震颤，正如当我走进美第奇教堂的新圣器收藏室，看到“昼”、“夜”、“晨”、“暮”诸神（米开朗其罗作，立于朱利亚诺·德·美第奇和洛伦左·德·美第奇的陵墓之上）的庄严之美时感到的震颤，这两种感受是没法区分开来的。
再举一个不大相同的例子，说的是玻耳兹曼对麦克斯韦一篇论述气体动力学理论的文章的反应。在那篇文章中，麦克斯韦阐明了如何精确求解气体迁移系数（在那里分子间力是分子间距离的负五次幂的函数）。玻耳兹曼说：
一个音乐家听几个小节就能认出是莫扎特、贝多芬还是舒伯特，同样，一个数学家读几页就能看出是柯西、高斯、雅可比、赫姆霍茨还是基尔霍夫。法国数学家以形式优雅超群，而英国人，特别是麦克斯韦，则具有戏剧性的感觉。例如，谁不知道是克斯韦关于气体动力学理论的论文？…首先是对速度变化的庄严壮丽的论述，然后状态方程从一边进入，有心场中的运动方秸从另一边进入。公式的混乱程度越来越高。突然，我们就好像听到定音鼓，鼓锤四击“敲定n=5”。邪恶的精灵v（两个分子的相对速度）消失了；就像在音乐中一样，一直突出的低音突然沉寂了，似乎不可超越的东西好像被魔术般的一声鼓鸣超越了…这不是问为何这个或那个代之而起的时候。如果你不能与那音乐一道同行同止，那就把它放在一边吧。麦克斯韦不写有注释的标题音乐…一个结果紧随另一个结果，连绵不断，最后，像一阵意外的旋风，热平衡条件和迁移系数的表示式突然出现在我们面前，紧接着幕落了！
我一开始就举这两个简单的例子是想强调，不一定要在最宏大的画布上去寻找科学美。但最宏大的画布确实提供最好的实例，这里我就举两例吧。
爱因斯坦广义相对论的发现被赫尔曼 · 韦尔称之为思辨思维力量的最高典范，而朗道（Landau）和栗夫西茨（Lifschitz）认为广义相对论大概是现有物理学理论中最壮美的。爱因斯坦本人在他论述场方程的第一篇文章的末尾写道：“任何充分理解这个理论的人都难逃避它的魔力。”我回头再讨论这种魔力的根本所在。现在我要拿海森堡发现量子力学时的感受与爱因斯坦表达的对他自己的理论的反应相对照。幸运的是，海森堡有自述，他写道：
…我明白了到底要用什么取代专门研究可观察量级的原子物理学中的玻尔 - 索末菲量子条件。有了这个补充假定，我给量子论引入了一个关键的限定。然后我注意到能量守恒原理的适用性还没有保证…于是我致力于阐明守恒定律成立；一天晚上我达到了这样一点：就要确定能量表（能量矩阵）中的各个单项了…第一项似乎合乎能量守恒原理，我激动不已，于是开始犯无数的算术错误。结果当我算出最后结果时几乎已是凌晨三点了。能量原理对于所有的项都成立，我不能再怀疑我的计算显示的那种量子力学的数学一致性扣协调性。起先，我惊得目瞪口呆。我感到我透过原子现象的表面看到了奇美无比的内景，想到我现在就要探察自然如此慷慨地展现在我面前的数学结构之财富，我几乎觉得飘飘欲仙了。
看到爱因斯坦和海森堡的这些关于自己的发现的言论，回想海森堡记下的海森堡与爱因斯坦的谈话，那是很有意思的。以下是一个摘录：
当自然把我们引向具有极大的简单性和优A性的数学形式——形式指一个由假说、公理等构成的融合贯通的系统——引向前所未见的形式时，我们不禁要想到它们是“真的”、它们揭示了自然的真实特性…你一定也有这种感想：自然突然在我们面前展现各种关系几乎令人生畏的简单性和整体性，我们之中没有一个人有丝毫的准备。
海森堡的这些话与济慈的几句诗前呼后应：
美就是真，真就是美，这是一切你知道的，这是一切你应该知道的。
现在我想回头讨论我前面说到的罗吉 · 福雷的问题，即如何看待一个美学上令人满意同时又相信它不真的理论。
弗利曼 · 戴森曾引用韦尔的话：“我的劳作是努力把真和美统一起来；如果我不得不选择其中之一，我常常选择美。”我要问一问戴森：韦尔是否举过他为了美牺牲真的例子？我了解到韦尔举的例子是他的引力度规论，这个理论是在他的《时空问题》中提出来的。显然，韦尔确信这个理论作为一个引力理论是不真的；但它是那样美以致他不愿意放弃它，因此他为了它的美不让它消亡。但很久之后，度规不变性的形式系统被纳入量子电动力学，证明韦尔的本能直觉是完全正确的。
另一个韦尔不曾提到、但戴森注意到了的例子是韦尔的二分量中微子相对性波动方程，韦尔发现了这个方程，但由于它违背宇称不变性原则，约有三十布未受到物理学界的重视。但结果再一次证明韦尔的直觉是正确的。
因此我们有证据说明，一个科学家凭异常高超的审美直觉提出的理论即使起初看起来不对，终究能够被证明是真的，正如济慈在很久以前看到的：“凡想象认作美的东西一定是真理，不论它以前存在与否。”
确实，人类心灵最深处看作美的东西变成外部自然中的现实，这是一个难以令人置信的事实。
凡是可理解的同时也是美的。
我们可以问：精密科学中的美在它得到详尽理解之前、在它能被合理地阐明之前就是可承认的，这是怎么回事呢？这种阐明能力的根本何在？
这些问题从最早的时候起就使许多思想家百思不得其解。正是在这种情况下海森堡注意到了柏拉图于《斐德罗》中表达的下述思想：
灵魂对美感感到震惊不已，因为它感到灵境中被唤起的某种东西不是由感觉从外部输入的，而是一直在那儿、处在深处的无意识领域。
休谟的一个警句表达了同样的思想：“事物的美存在子思考它们的心灵中。”
开普勒发现了行星运动定律，这个发现向他揭示的自然的和谐使他深受感染，他在《世界的和谐》中写道：
现在我们可以探问，不作概念思维、故不具有关于和谐关系之先天知识的灵魂何以具有这样的能力：即能认识外部世界中已有的东西…对于这个问题，我的回答是，一切纯理念或和谐的原型（如我们才说到的）是那些能够理解它们的人所固有的。但它们不是通过概念过程被接纳进心灵中的，而是一种本能直觉的产物，是先天的。
最近，泡利发挥了开普勒这些想法，写道：
从起初无秩序的经验材料到理念的桥梁是某种早先存在于灵魂中的原始意念——开普勒的原型。这些原始意念并不处在意识中，或者说不与特定的、可合理形式化的观念相联系。相反，它是属于人类灵魂的无意识领域的形式问题，是具有强有力的情感内容的意念，它不是被思考的东西，而是像图形一样被感知。发现新知识时感到的快乐来自这种先前存在的意念与外部物体运动的协调一致。
泡利下结论说：
千万不要断言理性认识所建立的东西是人类理性的唯一可能的预设。
泡利提到的先前存在的意念与外部实在之间的这种协调一致一旦被强烈地感受到，似乎就有这样的后果：它导致有此感受者对自己的判断和价值坚信不疑。否则，我们怎么能理解一些伟大科学家作出的这样一些陈述：
热力学创立者之一罗德 · 开尔芬评论玻耳兹曼关于维恩 - 斯忒藩定律的推导时说：“是热力学发疯了”。
“你从恒星的观点看；而我从自然的观点看，”爱丁顿在与我争论时说。
“正是在这一点上我不同意当今多数物理学家的看法，”狄拉克在讨论量子电动力学中的现有重正化方法时说。
“的确，看起来好译我们第一次有了一个宽大的框架，足以包罗整个基本粒子范围及其相互作用，实现我1933年的梦想，”1957年海森堡与泡利合作（这次合作的结果很不幸）研究统一场论时说。
爱因斯坦说：“上帝不掷骰子”，他还有一句更有挑动性的话，“当判断一个物理学理论时，我就问自己：倘若我是上帝我会不会那样来造这个宇宙。”
爱因斯坦的后一句话使人想起玻尔的劝诫：“我们分内的事不是责成上帝应该怎样指挥这个世界！”
也许我们正是要根据这种坚定不移的自信去努力理解一些原本是伟大的心灵相比之下却无所成就。正如克劳德 · 贝尔纳说的，“那些过于相信自己的想法的人是不适于有所发现的。”显然我踏上了一个危险地带。但这使我有机会注意到一个曾给我带来极大困惑的事实：它涉及伟大艺术家、作家、音乐家一方与伟大科学家一方似乎绝然不同的成长和成熟方式，至少我看是这样。
看一个伟大作家或伟大作曲家的作品时，人们常常区分早期、中期、晚期。从早期、中期到晚期的过程几乎总是一个越来越深刻、优秀的过程。有时，例如拿莎士比亚和贝多芬来说，最后的作品是最伟大的作品。J. 多佛 · 碣尔逊在叙述莎士比亚的伟大悲剧中艺术的发展时有力地描述了这一事实。
从1601年到1608年他的全部气力都花在悲剧上；这八年中他走的路好比一条山路，从平川开始渐渐上升，越往上兮窄，直到山巅，峰如利刃，刺云破雾，两边都是万丈深渊；然后又渐渐地易于立足了，越往下越宽阔，慢慢地落入另一侧的山谷里。
八部戏剧构成这一悲剧历程。首先是《裘力斯 · 恺撒》，写于真正的悲剧期前一点。这不是一出邪恶的悲剧，而是一出软弱的悲剧。在《哈姆雷特》中，邪恶的力量出场了而且凶相毕露，不过主调仍然是性格的软弱。在《奥塞罗》中，莎士比亚创造了第一个满身都是邪恶的人物形象，同时伊阿古的牺牲品是没有过错的——他不再让人性的软弱与上帝一道承担责任。《李尔王》把我带到了那万丈渊源的边缘，因为在这里战栗叠着战栗、遗恨垒着遗恨，铸成世界文学上最伟大的人类痛苦与绝望的纪念碑…莎士比亚在《李尔王》中差不多已疯狂了。
接着他又连续推出了《麦克白》、《安东尼与克莉奥佩特拉》（莎士比亚最伟大的戏剧之一）、《科利奥兰纳斯》。多佛 · 威尔逊问：“在这一人类精神所经历的最危险、最艰巨的历险中莎士比亚是如何使自己的灵魂得救的？”莎士比亚活下来了，他活了下来只是为了给他伟大的悲剧接上神奇的戏剧《冬日故事》、《暴风雨》。
我担心我不厌其烦地给你们讲莎士比亚的艺术发展是有点离题了。但我这样是要向你们强调这二发展的规模。我确信这也适合于贝多芬的后期乐曲，包括《哈默克拉弗奏鸣曲》、《庄严弥撒曲》、最主要的是最后几首四重奏曲。
大概只有莎士比亚和贝多芬在他们的生命即将结束时踏上了峰如利仞的山巅而又得救了，不过也有一些人在不那么激烈的层次上经历了同样的渐次上升到较高的成就之峰的历程。但是我不知道有一个科学家，对于他可以说同样的话。他青壮年时的成功常常是他最后的成功。（我这里不包括那些早逝的科学家，如科茨（Coates）、伽罗瓦、阿贝尔、拉马努詹、马约喇纳。就这些人来说，我们无从知道倘若他们长寿，那会有怎样的遭遇。）不管怎么说，他们似乎没法作到连续不断的上升发展。事情为什么这样？我不奢望回答这个问题，而要转向一些更具体的考虑。
现在我想讲的问题是，怎么可以以文学或艺术批评的方式把科学理论当作一件艺术品来评价，广义相对论提供了一个很好的例子，因为几乎每个人都赞成它是一个优美的理论。我认为探讨这种美的根源何在是有益处的。我想，用一个像狄拉克的断言（在不同情况下作的）那样的东西取消这种探讨是行不通的。狄拉克说：
［数学美］与艺术美一样是不能下定义的，但研究数学的人一般是不难鉴赏数学美的。
我认为我们也不应满足于玻恩这样的见解：
它［广义相对论］在我看来就像一件伟大的艺术品，要从远处欣赏它、赞美它。
（这里插几句话，我可以坦率地说我不知道怎样看待玻恩的意见，广义相对论只能从远处欣赏吗？它不像其他物理学分支一样需要研究和发展吗？）
虽然这样的讨论有许多固有的困难，我还是试图阐明广义相对论为什么引起我们的美感，我们为什么认为它美。我将采用两个标准。
第一个是弗兰西斯 · 培根的标准：
一切出色的美都有奇异的组合比例！
（这里“奇异”是指“奇特到引起好奇和惊讶的程度”。）
第二个标准是对培根标准的补充，这个标准是海森堡表述的：
美是各部分之间以及各部分与整体之间恰到好处的协调一致性。
广义相对论具有培根所说的组合上的奇异性，这一点是很明显的，这首先在于它把一直被看作是完全独立的两个基本概念联系起来、结合起来了：一边是时空概念，一边是物质和运动概念。确实正如泡利1919年写下的：“时空几何不是既定的，而是由物质及其运动决定的。”在随后引力与度规（metric）的结合中，爱因斯坦于1915年取得了黎曼于1854年所预言的结果，即度规场与物质及其运动有因果联系。
也许最大的奇异性在于我们的时空观的变化。爱丁顿写道：“空间不是一些相互接近的点，而是一些相互连结的距离。”
爱因斯坦广义相对论的建立还有一个方面仍然是新奇的。即：我们能欣然承认牛顿的引力定律需要修改，以容许光速有限性并否认瞬时超距作用。承认这一点就能推出行星轨道偏离牛顿预言值的量级是v/c的二次项，这里v是行星在其轨道上的速度的测量值，c是光速。在行星系统中，即使在最顺利的情况下，这些偏差不超过百万分之几。因此，如果爱因斯坦找到了一个理论，它通过摄动处理只允许与牛顿理论的预言值有如此小的偏差，那就完全足够了。这是一种常规方式，但不是爱因斯坦的办法：爱因斯坦寻求的是一个精确的理论，他通过对一个物理性质的定性推断与准确无误的数学优美性和简单性感觉相结合，获得了他的场方程。爱因斯坦能通过这样的思辨［理论］思维达到一个完美的物理理论，这个事实就是肖我们跟随他的思想时感到“好像把我们与真理隔开来的墙壁坍塌了”（韦尔）的原因。
前面的议论只适用于导致场方程的理论基础。现在我们要问，经过进一步的考察，这个理论是否满足关于美的第二个标准，即“各部分之间以及各部分与整体之间的协调一致性。”这个理论在每一个阶段都显示了“组合上的奇异性”，同时又满足第二个标准，且有过之而无不及。我们可以作点解释。
首先考虑广义相论的一些解允许黑洞存在。大家知道黑洞使三维空间划分为两个区域：内区和外区，内区的边界是二维零面，它［内区］不能与外区沟通，外区是渐近平坦的。一个令人惊奇的事实是：有了这些非常简单和必要的限制后，广义相对论就能容许静止黑洞有一个单一的二参数解族，这就是克尔族，在那里两个参数是黑洞的质量和角动量。更让人震惊的是，这个解族的度规是明确知道的，克尔度规是轴对称的，表示黑洞绕对称轴旋转。
克尔几何的轴对称特性显然保证划出一道短程线的试验粒子的能量及其绕对称轴的角动量分量是守恒的。除了这两个守恒量外，克尔几何还出人意外地允许试验粒子有第三个守恒量（由布兰登 · 卡特发现）。所以，支配试验粒子运动的汉密尔顿 - 雅可比方程在其变量上是可分离的；短程线方程的解可以简化为弦（quadrature）。这已经够令人惊叹了。但更令人惊叹的是，数学物理的一切方程——标量波动方程、麦克斯韦方程组、狄拉克方程、引力波的传播方程——在克尔几何中都是可分离的（与它们在闵可夫斯基几何中一样），因此能得到明确的解。彭罗斯与霍金的单一性定理规定我们的宇宙一定起源于一个单一的东西，这就迫使我们思考下述物理过程的性质，这个过程发生时密度数量级为1093g/cm3具有线性维数的体积的数量级为10-33cm，时间间隔的数量级为10-44秒——这些数字听起来让人头晕目眩。谁发现这些都会感受到同样的震惊的。
霍金定理（黑洞表面积一定总是在增加）表明可用黑洞的热力学的熵确定表面积；这就导致热力学、几何和引力之间的密切联系。
显然这一切都不乏联结组合上的奇异性：
直到这里我说的一切都符合我用作出发点的两个标准，但这个问题还有一个方面需要考虑。
10年前当亨利 · 莫尔（H. Moore）访问芝加哥大学时，我有机会问他应该怎样看雕塑：是从远处还是从近处，莫尔的回答是，最伟大的雕塑能够——确实也应该——从所有的距离去看，因为美的新表现将从各个方面显示出来。莫尔以米开朗其罗的雕塑为例证。同样，广义相对论在任何可以探讨它的后果的层次上都显示了组合上的奇异性。举一个例子就足以说清楚了。
如果把爱因斯坦方程扩展到爱因斯坦 - 麦克斯韦方程上，即适合于市满电磁场的空间的场方程上，并寻求一个球对称解，那么就会得到一个描述有一个质量和一个电荷的黑洞的解。这个解是瑞斯纳和诺德斯特罗姆（Nordstr?m）发现的，是著名的施瓦茨希尔德解的一个推广。由于黑洞电荷之故，很显然如果一个电磁波射在黑洞上，入射电磁能有一小部分会以引力波的形式反射回来。反过来，如果一个引力波投射在黑洞土，那么入射引力能会有一小部分以电磁波的形式反射回来。令人惊奇的是，对于一切频率两个反射回来的部分都完全与对方一样；其根本原因目前被归结为（经典）物理学定律的时间可逆性。这个例子解释了广义相对论在一切探索层次上都显示出组合上的奇异性。广义相对论无与伦比的美正是基于这个事实。
至此，我所讲的都限于公认为伟大的思想，它们出自伟大的心灵。但并不因此就可以说只有伟大心灵在伟大思想中才体验到美。同样，创新的欢乐也不限于少数几个幸运的人。事实上，只要努力去理会组合上的奇异性和各部之间及各部分与整体之间的协调一致性，我们每个人都能体验美和创新的欢乐。把一个科学领域和谐地组织起来，使它有秩序、规范化、连贯，从中也能得到满足。例如雅可比的《动力学讲座》、玻耳兹曼的《气体理论讲座》、索末菲的《原子结构与谱线》、狄拉克的《量子力学原理》，还有薛定谔晚期撰写的珍贵的解说性文章。永恒的光辉透过物质现象隐约可见，在这些书中化为美丽的彩虹。
最后，我想说，我们每个人在我们追求科学美的活动中都能得到一定程度的满足，就像弗吉尼亚 · 伍尔夫的《波》中的戏子：
一个长的，一个方的，戏子把方的放在长的上。放得准确无误，作成了一个完美的住处。留在外面的很少。现在看得见作出的东西了；这里所讲的还不完全。我们既不是这样多才多艺也不是这样的平庸：我们作了几个长的并把它们放在方的上。这是我们的胜利；这是我们的安慰。
［Truth and Beauty-Aesthetics and Motivation in Science，1987年］