要把一个充气的球的内部翻出来，意味着放出空气，把它的内表面通过开口翻出球外，再度打进空气，最后把球封闭，但是一个数学的球是没有孔的，要翻出它的内部，如果不开一个口子，在直观上似乎是不可能的。

然而，数学家们依照他们自己的规则玩耍这类智力游戏。假如使一个曲面穿过自身是可能的话，这意味着曲面上的两个点可以暂时占据空间中的同一点，则球面外翻的数学问题可能有解。诀窍是在进行外翻时不允许有皱折出现。

现时在加利福尼亚大学柏克莱分校工作的斯马利（Stephen Smale），于三十年前证明了把球内部翻出来是可能的，但是他没有给出任何简单的直观化的程序，从此以后一些数学家构想此变换，并继续寻求更简单，更有效的手段以描述和演示此变换出现的情景。

“这是一个招引想象力的问题”纽约州立大学斯托尼 · 布鲁克分校的数学家菲利普斯（Anthony phillips）说。“这个问题十分容易叙述，似乎做起来应该轻而易举而实际上非常复杂。”

现时在路易 · 巴斯德大学工作的法国数学家莫里（Bernard Morin）找到了外翻球面的一个最简单的可能的途径。他说：“我仅需要追踪12个点的位置。在整个变换过程中这些点的坐标行踪提供了数学家为了懂得球外翻所需要的全部信息。”

这个问题属于拓扑学这一数学领域，它研究几何形状的基本性质。通过对一种形状到另一种形状的变换的研究，拓扑学家确立了不同形状之间的关系，并懂得了用以区分不同形状的关键差别。这种抽象的数学在许多非数学学科（从分子生物学，粒子物理和宇宙学）中起着越来越重要的作用。

直观提出球外翻的数学问题如果不允许有皱折出现是无法解决的。设想有一个球，在其外部涂上蓝色内部涂上红色，把球的南极和北极推向其中心，使它们互相穿过，迫使原先的内表面越来越凸。这个被变换的东西开始看起来像一个红色的球，外面还有一个蓝色的管子围绕着它的赤道。此蓝色的管子（此时仍然位于外部）开始变得越来越细，直至它消失为止，这使球仅剩下一个红色的外部和一个绷紧的圆圈。此圆圈这个难关必须解决，这就产生了一个明显的皱折，这是不允许的。

1959年，斯马利，当他还是一个大学毕业生的时候，证明了一个抽象的定理，由此间接地导出使球外翻是可能的这个命题，当时这个结果大大惊动了他的论文指导老师伯特（Raoul H Bott）（现时在哈佛大学），伯特坚决认定斯马利出错了。

但是斯马利的证明的逻辑仍然有效，事实上，他的证明构造出一步步的全过程直至完成球的外翻。但是在这样一个复杂的论证中，没有一个人能设想他的程序。因此在斯马利的发现之后的一段时间内，数学家们知道把球内部翻出来是可能的，但毫无实施的办法。

最后，一些数学家，包括菲利普斯（Philips）和莫里在内，设计出一些行得通的球外翻方案，它们包括一系列的移动，即在整个变换过程中通过最重要的阶段时，对此曲面加以伸长，挤压和缠绕。莫里最近的努力把问题简化为追踪球面上12个点的坐标——在这个问题中为此目的，把球做成一个具有12个角落（或顶点）的多面体这一拓扑等价的形状。

莫里从一个十四面体着手，它像一个砍去一些角落的立方体。此多面体具有12个顶点和14个面（六个正方形和八个等边三角形）。借助于一系列初等移动（沿着边移动顶点），莫里把此十四面体变换成一个奇形怪状的图形，他称之为“中心模型、仅具有12个面，但顶点数如前。它有四个面是凹五边形，看起来像一个开凹口的四边形，其余是三角形。

接连六个初等移动使中心模型通过错综复杂的外翻阶段。最后一个移动，像变戏法似的，又得到一个八面体，现在把球内部翻出来了。

莫里的成就在好几个方面是不平常的。伊利诺斯大学的数学家弗朗西斯（George K. Francis）在他的书“拓扑画册”（A Topological picturebook）中论及莫里的球翻问题的历史时写道：“莫里并没有糊涂，和我们这些人不一样，我们只知道用铅笔和纸依样画葫芦。他是盲目的。他具有高超的空间想象力，他直接在空间中配置曲面的复杂的同伦变换。他追踪在双重曲线上，以及为这些曲线所支撑的曲面补片上的暂时的变化。他对于艺术家的一个示范是他心中的模型的一个生动的描述。”

莫里的球翻的多面体模型使人们易于追踪所有的曲面补片在变换中的走向。“用这种方法，你可以明智地丢掉很多复杂的东西而着眼于实质部分。”菲利普斯说。

“如果你从有十二个顶点的十四面体着手，你会看到许多现象。你必定会看到缠绕，很多特定的东西被缩短了，又有很多别的东西被拉长了。”莫里补充说。

虽然莫里的论述是关于球最简单的可能的多面体模式，但它不是第一个多面体模式。去年，位于罗得岛的布朗大学的休斯（John F. Hughes）创造了一种具有更多顶点的多面体模式。在一番努力之后，他找到一套方程，他能用以构造计算机程序去执行和演示完全的球外翻过程。

休斯的求出一个显示公式的方法，是从许多补片来组成一个给定的曲面，这些小补片是已经用多项式函数定义的。这个过程很像用碎布拼制成一条百衲被子，在数学上，所对应的概念就是把每一个用来定义一小片曲面的多项式函数连接起来，并确保补片平滑地缝合。

休斯曾用他的方程产生出一个动画片，逼真地演示了球外翻过程。他现时正研究另一种模式，其中球外翻的所有步骤表现为穿过四维空间中一个特别曲面的不同薄片。

弗朗西斯说：“在某种意义上，因为这是使一个十分抽象的东西直观化的一个尝试，球外翻问题是一个不断探求的问题，在直观化方面，总有做不完的事情。”

[Science News，1989年5月］