译者按20世纪的数学比19世纪有哪些进展？对于非数学家来说，这是个难以搞清的问题；对于职业数学家，这也是个难以概括准确的问题。本世纪的数学发展迅速、分支林立，体系博大精深，远非一般人所能把握。美国著名数学家哈尔莫斯作了一项有益的工作，花费大量精力，凭着自己对众多数学分支的通晓，把76年来数学的进展概括为22个主题，对我们了解现代数学的发展颇有借鉴意义。哈尔莫斯毕业于伊利诺斯大学，曾给著名数学家冯·诺伊曼当过几年助手。他的研究领域主要是遍历理论、代数逻辑、希尔伯特空间算子等等。《数学译林》1985年4期曾译出他的影响很大的论文《应用数学是坏数学》。
序言
我们知道戴德金（J. W. R. Dedekind）所不知道的东西吗？当然。戴德金逝世于1916年2月。在此之前6个星期、1916年12月最后一个周五的下午，美国数学协会（MAA）诞生于俄亥俄州的哥伦布。到1990年8月MAA已成立75周年，值此我想报告一下在过去的76年中数学是否发生了变化以及怎样发生的。
我不想在这个报告中教授任何数学知识、更不想讲述任何数学史，我只想和诸位分享一下在过去的75年中数学的进展。每个人都有能力花几个月时间阅览所有现存的《数学评论》和其它十几种杂志，从而找出我所能找出的一切，但大家都没做这件事，我却做了，并准备讲述我所看到的。
我所提出的问题可以换种表述：如果你拥有一架时间机器把你带回戴德金的时代，你会向他讲述数学中的哪些进展？我尝试把可能的答案组织成三类：概念、突破和进展。
第一类由戴德金不可能预测到或期望的一些概念组成，它们是些新词汇，今日的数学家对此都很熟，如突变理论。“突破”指数学家公认的纯数学中的一些重大进步，这类进步不但《美国数学会会报》感兴趣，《时代周刊》、《纽约时报》也争相报道，如四色定理。第三类由一些深刻的并且在某些情况下甚至是惊人的发展所构成，时报对此全无兴趣，但这些发现可能获菲尔兹奖（Fields medals），如连续统假设的独立性。
我一共列举了22个主题：9个概念、2项突破和11项进展。有些专题可以（应该？）包括在内但没有包括，如怪球、主猜想（Hauptvermutung）、NP完备性、伪微分算子和单形法。
每一主题之后只列出一篇参考文献，从中可查到更多文献。EDM*指《数学百科词典》（The Encyclopedic Dictionary of Mathematics），MI指《数学信使》（The Mathematical Intelligencer）。如EDM146/B指EDM上标号为146/B的文章；MI8/1/40指MI上8卷1期40页开始的文章。
概念1：穆尔-史密斯极限
现代一般拓扑学（特别是它的具体化：某些函数空间上的所谓弱拓扑）告诉我们，序列极限对于分析来说不再是一个足够强的工具。在经典分析中我们知道，一个集合是闭的，当且仅当它包含其内的所有收敛序列的极限。但是，存在许多重要且有用的拓扑空间并不满足这个命题。如果序列用“广义序列”（精简的叫法为“网”（nets））代替，相应地通常的序列极限用网的穆尔 - 史密斯极限代替，则经典的证明工作通常只需换一下术语就可以了，并能得到与经典情况一样有用的结果。例如，一个集合是闭的，当且仅当它包含其内的所有收敛网的穆尔 - 史密斯极限。这里穆尔指E. H. Moore，史密斯指H. L. Smith。“网”这个词据我所知是1950年柯勒（J. L. Kelley）首次使用的。
参考文献：EDM89/H。
概念2：广义函数
具有紧支集的无穷光滑函数Rn的集合S以一种显然方式成为一向量空间。我们说此类函数的一个序列｛φm｝收敛到0，如果所有φm的支集被某固定紧集所覆盖，并且不但此序列一致收敛到0，而且它的所有混合偏导数序列也如此。
若f是Rn上的复值可积函数，则方程
Tj（φ）=∫φ（x）f（x）dx
定义了S上的一个连续线性泛函。若μ是Rn中的一个复的有穷测度，则方程
Tμ（φ）=∫φ（x）dμ（x）
定义了S上的一个连续线性泛函。
S上的所有连续线性泛函称为广义函数。菲尔兹奖得主法国数学家L · 施瓦尔兹认识到，广义函数概念推广了函数概念，在许多经典情形中，在某种指定条件下不存在函数，但在同样条件下可能存在一种广义函数，它对于实际目的同样有效。
参考文献：EDM130/B。
概念3：蒙特卡罗法
蒙特卡罗法是种计算方法，是由S. M. 乌拉姆和J · 冯 · 诺伊曼1945年提出来的。
当一个问题所需的计算似乎不许可、不方便时，用—个概率问题代替这一问题，通过实际实验或者更多地通过随机实验的计算机模拟可以把概率问题的答案
这个例子过于简单，但是真正实际的应用本质上与此完全相同。蒙特卡罗法解题的一般过程是，首先构成一个概率空间，然后确定一个随机变量g（x），其数学期望Eg正好等于所要求的值G，最后以所确定的随机变量的简单子样的算术平均值作为G的近似估计。
为什么叫蒙特卡罗？可能因为这是世界上最有名的赌城的名字（在摩纳哥）。名字似乎在暗示你，一个问题如果解决不了，就设法同它赌一局：用赌博问题代替原题，你就很可能解决它！
参考文献：EDM378/B。
概念4：范畴
如果你理解了向量空间和线性变换，你就90%踏上了理解范畴的道路。长期以来数学家们就本能地感到向量空间、线性变换与群和同态“很相像”，进而它们与拓扑空间、连续映射很相像。这种平行关系到处都是。如果你知道子群，你就知道子空间是什么；如果你知道如何形成商群，你也就很容易发现（重新发现）如何定义商空间了。
范畴理论是这种直观理解的一种形式化。它是由艾伦伯格（S. Eilenberg）和麦克莱恩（S. Mac Lane）于1945年正式提出的。一个范畴是一类满足三条简单公理的两个种类、对象和态射的“东西”。粗略地讲，这些公理说，只有定义域与变区彼此匹配时态射才可复合；对任何对象X必存在一个恒同态射到自身；若Hom（X，Y）记从X到Y的所有态射的集合，则Hom（X，Y）与Hom（X'，Y'）相同，当且仅当X=X'且Y=Y'。
向量空间、群、拓扑空间都符合这一方案，抽象集合、环、微分流形、模，等等也都符合。在每一范畴中可定义比态射更特殊的概念，如单态射、子对象、直积、对偶等。
范畴理论的一个重要部分是函子理论。函子是一个范畴的对象和态射与另一范畴的对象和态射的联系方式。典型的例子是：每一向量空间有一对偶，向量空间之间的每一线性变换有一伴随。函子有共变函子和逆变函子，共变函子实际上是范畴的同态。
范畴理论一开始（并且一直）是描述许多现象的一种方便的语言，对于我们中的多数人来说，这就是它的全部。但对于着迷的专家而言，它是一个研究主题，可以讨论商范畴、伴随函子、范畴的范畴，等等。
参考文献：EDM53/A。
概念5：K理论
若U和V是具有实数域（起标量作用）的有穷维向量空间，则U和V的直和U⊕V也如此。初看起来，直和的形成类似一种相当不错的加性过程，然而再一看发现，这里有点错误：过程不满足结合律。直和（U⊕V）⊕W在许多方面很像直和U⊕（V⊕W），但严格说来它们不同。考察第一个直和中每一元素（（u，v），w）与第二直和中元素（u，（v，w））之间的对应性的诱惑几乎是不可抗拒的。这种对应性是有关的直和空间之间的一种同构，排除非可加性障碍的自然的方法是等同两个向量空间，如果它们是同构的。要证明的是，若U和U'是同构向量空间，且V和V'是同构向量空间，则直和U⊕V同构于U'⊕V'。这是对的并且几乎是显然的。一旦如此，就可以定义两个同构向量空间类的直和。
在这种加法下可以就所有向量空间的类说些什么？自然的问题是：它们形成一个群吗？确实存在一个单位元素，即有一中性向量空间具有这样的性质：把它加上任何向量空间上均不产生变化，即有唯一的0维向量空间。但令人沮丧的是直和下向量空间并不形成一个群，因为逆元、负元并不存在。
逆问题并不严重，减法并不总有意义。比如说，从u+v中减去u是可做的，但从一正整数中减去任一正整数可能并不可做。类似地，人们会说，从U⊕V中减去U是允许的，结果等于V，但一般情况怎样？特别地，从U中减去U⊕V会怎样？
对于向量空间，出路类似于对于整数。不存在的整数可通过“命令”或明确的集论建构来创造出来，得到负数。在研究中负直和（！）被复合到系统上去，结果就有了一个非常好的群。
这是什么群？答案很容易表述也很容易理解，除了记法不同外。它与所有整数的加群一样。要点在于，若同构的有穷维向量空间被等同，则除了它们的维数（为非负整数）外，没有必要区分这两个向量空间。结果，把“负元”复合到向量空间（或者它们的同构类）上的过程很类似于把负数复合到非负整数上的过程。
上面指出的过程可以实施，并有利可图，甚至实数域用一任意环代替亦可。环在“现实世界”中比域更经常出现，但它们构成一个更困难的课题。代数K理论就是对付这些困难的一种尝试。使用域较容易的原因在于，一有穷维向量空间有一有穷基。一个域上的一个有穷生成模有一有穷基。要点是，用环代替域时环上模的对应命题并不总真。对于“好的”模，命题为真，“好的”一词的精确定义涉及技术细节，这里不讲。
如果向量空间用模代替，群论建构仍然可行。加法通过形成直和而对“好的”模给出定义，定义不得不修正，以便应用于模的等价类（而不是模），结果为一很好的结合加法，具有零元素，但没有逆元素。令逆元、负元通过命令或通过通常的形成有序对和等价类的建构复合到系统上，结果是一个群。定义群的等价关系为环R上的每一模指定群的一个元素，元素起模的广义维数的作用。与指定的环R有如此关系的群记为K0（R），称R的格罗腾迪克群，这种结合便是K理论的第一步。
K理论不止这第一步：一般说它把一个阿贝尔群Kn（R）同每一环R和每一非负整数n结合起来，当n增加时它以某种方式变得越来越神秘。对于n=0，结果是维数的一种推广；对于n=1，它是行列式的一种推广。
现在中心对象不是模，而是模的自同构。如果系数环是一域，则自同构可视为非奇异矩阵。什么时候两个这样的对象可认为是等价的？经典意义上说两个矩阵等价意味着通过有穷次初等变换由其中一个可得到另一个。初等变换在这里指把任意行（或列）的一个任意纯量倍数加到任意其它行（或列）上。一种定义是，一个矩阵是初等的，若它等于单位矩阵或者只是在一个非对角表值上不同于单位矩阵；初等变换定义为左乘和右乘一个初等矩阵。因为初等矩阵的行列式显然为1，所以通过所有初等矩阵的集合生成的群的每一矩阵的行列式都为1，等价的矩阵必有相同的行列式。这两句话是下述定理的弱形式：一个矩阵的行列式为1，当且仅当它是初等矩阵之积；（一个域上的）两个非奇异矩阵等价，当且仅当它们的行列式相同。结论：所有可逆矩阵群与由初等矩阵生成的（正规）子群的商群，等于（同构于）系数域的非零元素的乘群。
环上矩阵的行列式很难搞懂，但初等变换和初等矩阵有十分清晰的意义。由它们导出的概念必须能应付两种矩阵运算——和与积的代数运算和直和的几何运算。做这件事的最好的办法是用类似的方法考虑无穷矩阵（每一个都是一个无穷单位矩阵与一有穷可逆矩阵的直和）。合成的商群记为K1（R），称为R的怀特海群。它是阿贝尔群（一个不平凡的定理），它的元素是（域上矩阵的）行列式的推广，正如K0（R）的元素是（域上向量空间）维数的推广一样。
K理论在代数和拓扑学中的用处是多方面的，特别地，上面讨论的代数理论的拓扑堂兄本质上涉及黎曼 - 罗赫定理之阿蒂亚 - 辛格推广的证明。
参考文献：EDM236/I。
概念6：快速傅里叶变换
实线上函数/的傅里叶变换通常用g函数定义：-
变为n元数组（y0，…，yn-1）的一种线性变换。传统的算法是直接计算上式，大约需要n2次运算（一次运算包括一个复数乘法和一个复数加法）。1965年美国人库利（J. W. Cooley）和图基（J. W. Tukey）提出快速傅里叶变换（FFT）算法，把运算次数缩减为nlog2n次。FFT算法有广泛的实际应用，方法本身在近年来又不断创新。
参考文献：MI7/3/49。
概念7：非标准分析
莱布尼兹使用过无穷大和无穷小，但他承认对它们多少感到不舒服。他的后继者从数学王国中消除了这些东西，转而用ε和δ方法。现代非标准分析理论从地狱中挖掘出被禁止的概念，并设法在柯西的王座之侧恢复它们的地位。
对待无穷小的一种可能的态度是把它们视为“理想”元素。一旦作了假定或定义或建构，处理它们的主要工具就是所谓的转换原理：每一个关于R（代表实数结构）可形式化的命题对R成立者，经适当解释对*R（代表包含无穷小与无穷大数的扩张了的实数结构）也成立，反之亦然。有了这条转换原理，就可以借助于标准分析以了解非标准结构并运用非标准分析来解决标准分析的问题。
基本的标准全集由“个体”、它们的集合、集合的集合、集合的集合的集合，等等以至无穷所构成。非标准全集有许多额外元素；它们是标准全集的值函数，或者准确点说，是根据适当的等价关系识别的函数类。某种意义上这些新元素使人想起序列。常序列（常数值属于标准全集）担任那个值的角色，但存在无穷小（收敛到0）和无穷大（发散到∞）的序列，在非标准全集的民主国度中，它们都平起平坐。
考虑这样的全集引出非标准分析的有序域，但它们不是阿基米德的。
非标准分析为美国数学家、逻辑学家鲁宾孙（A. Robinson）于1960年所开创，已获广泛应用，曾用它解决了多年来未解决的希尔伯特空间上的多项式紧算子的不变子空间的存在问题。
参考文献：EDM274/E。
概念8：突变
考虑由抛物线y2=x和抛物线投影到X轴（正数部分）的投影映射（x，y）→x。除了一个例外点之外，抛物线上每一点都有一邻域，同胚于它的象（它是线上的一个开区间）。当然，这个例外点就是原点，在原点的邻域中并不存在一对一的投影映射。这种现象可这样描述：原点是从一个一维流形（抛物线）到另一个一维流形（实轴）的（光滑）映射的一个奇点。类似地还有折叠、尖角（cusp）等奇异类型。
突变理论可上溯到惠特尼（H. Whitney）1955与的工作。后来托姆（R. Thom）和阿诺德（V. I. Arnold）作出了杰出贡献。
参考文献：EDM410/K
概念9：浑沌（chaos）
浑沌概念与动力系统概念有关，粗略地讲，浑沌理论研究动力系统的无穷过程的行为。考虑任意集合X到自身的变换T，形成相继的迭代T，T2，T3，…，然后问一些有关的明智问题。一个有趣的例子是伊农（Hénon）映射，选择两个参数a和b，在R2中通过
Tab（x，y）=（y+1﹣ax2，bx）
定义T= Tab。当a=1.3，b=0.3时，存在由7个点组成的集合，构成一个“周期吸引子”；但当a=1.4，b=0.3时，存在“奇怪吸引子”。奇怪吸引子的主要特征是，存在一无穷集，对初条件有“敏感依赖性”。浑沌通常与分形（fractal）有关。
参考文献：MI2/3/126。
（未完待续，原文载The American Mathematical Monthly。Vol. 97，No. 7，1990，pp. 565—588。原题为：Has Progress in. Mathematics Slowed Down？作者为P. R. Halmos）
————————————
*系日本数学会编的《岩波数学辞典》第二版的英文版。此书有中译本，即《数学百科辞典》（科学出版社，1984）。