理论物理与数学的关系特别密切，采用合适的数学方法，对于理论物理的发展是十分必要的。尤其是近代物理，其各种理论体系几乎都是原理性理论。所谓原理性理论，是指从基于经验事实的创新的（物理）概念和（物理）原理出发，凭借数学方法，通过逻辑演绎，建立起抽象的数学形式体系（或称作公理化体系）。理论的抽象程度，自本世纪初以来快速地提高；因为采用的是更为抽象的近代数学工具，进行逻辑演绎的数学推理步骤也愈加繁复，用爱因斯坦的话说，通往（检验理论的）实践的思想链条愈来愈长。那就意味着数学方法在物理理论建树过程中所起的作用越来越大；实际上，近代物理理论正就是一些对其作出一定物理解释的数学结构体系。因此，爱因斯坦意识到“理论物理学家越来越不得不服从于纯数学的形式考虑的支配”，并认定理论物理的“创造性原则寓于数学之中”。本文试就近代物理的几个主要理论的形式结构的特征及其建树过程中的创造性因素，作一些综述性的讨论，以探究爱因斯坦的这些见解的涵义。
一、近代理论物理的主要数学方法
近代理论物理的数学结构有几个明显的特征：物理量以各阶张量和旋量表示；从线性形式向非线性形式过渡；体现物质世界的高度对称性；分析形式体系的几何化。下面对这些特征逐一说明。
数学为物理学提供必要的表示形式。各种物理量和对各种物理性质的描述都对应于不同种类的数学量，这是物理理论结构的基元；除此以外，物质体系不可能有其他的精确表示。20世纪以前的物理学，以三维的矢量（一阶张量）和标量（零阶张量）表示大部分物理量，在宏观低速范围是足够使用的。然而相对论和量子论把研究对象扩展到高速微观领域，许多物理量不再限于以三维的矢量和标量表示。因为相对性原理已成为一条基本原则；在四维时空中，不仅是低阶，而且高阶（二阶以上）的张量所满足的方程都自然具有相对论协变性。比如将电场矢量（E）和磁场矢量（H）的分量构成四维的二阶电磁张量Fμv，那么麦克斯韦方程组便成为Fμv的微分形式，这样其相对论协变性不证自明，而且电与磁的统一性变得一目了然。至于微观粒子体系，包括量子化的相互作用场，单靠张量还不敷应用，而需采用旋量——张量的推广形式（张量是旋景的特例），旋量的阶数是微观粒子自旋的2倍。所以说，各阶旋量与各种量子场有一一对应的关系。显然，张量、旋量的各种代数的和分析的运算法则，正是建立各种物质场理论的基本方法。
众所周知，经典力学是线性理论，其核心牛顿运动方程是三维矢量的线性微分方程。相对论力学和相对论电动力学也是线性理论，其核心方程是四维张量的线性微分方程。其他一些物理理论，如量子力学和不少量子场论，也均为线性理论。然而实际的物理过程往往是非线性的，只是在大部分情况下，忽略非线性项，求得线性运动方程的解确已是对物质体系运动状态描述的良好近似。诚然，线性理论的线性数学结构，本身只是一种假设性模型，是对实际的物理过程的一种简化。但由于数学上线性微分方程理论发展得已甚为完善，一整套的求解方法使各种以此线性形式表示的物理理论充实有用、令人满意。可是，在近代物理的不少分支里，出现了向非线性过渡的趋势。因为计算机数学的发展为求解非线性微分方程提供了较方便的途径。而更为重要的原因是，研究领域的拓宽，并不是线性理论所能囊括无遗的，某些物质场体系必须由计及场的自作用的非线性方程描述；否则，若取其线性近似，就太不精确了。广义相对论便是一个很成功的例子。对于强引力场，牛顿引力理论给出的描述过于粗糙，而爱因斯坦引力场方程这个度规张量的非线性微分方程的解，才是强引力场的准确表示。若干年前，温伯格等人提出需要高精度地检验量子力学，在其线性的薛定谔方程中添入非线性项。目前，量子力学的这种非线性研究已引起人们的关注和兴趣。
对称性是物理理论的一个主要特色，而且凡越抽象的理论，往往所体现的对称性也越高。我们把那些具有明显对称结构的数学理论称作对称性数学，那么，它无疑是近代理论物理最富成效的工具。群论，特别是李群理论就是对称性数学之重要一例，因其在微观物理中日趋广泛地应用而受到越来越多的理论物理学家的重视。爱因斯坦及其后继者们所有艰苦卓绝的探索，表明了他们坚定的科学信念：大自然是高度对称的，所以要设法利用合适的对称性数学工具构造出日臻完善的统一理论，以描绘物质世界本身的和谐美（见本刊1990年第8~9期登载的《为了探索自然的对称与和谐》一文）。关于对称性问题，下文还将作具体讨论。
物理理论的数学结构差不多都是（数学）分析形式体系，这不仅仅因为物理现象赖以作定量描述，更因为各种物质运动规律大多以微分方程作为其核心表示。然而微分几何的发展，标志着分析与几何密切结合起来。分析体系的几何化使理论物理的分析方法得以简化，并因其加强了物理图像的直观性，便更能加深对物质运动规律的本质理解。具体说来、张量、旋量都看作是空间中的几何实体，微分方程即为微分算符对这些几何实体的作用，相当于进行一种空间变换，而此变换构成一个群。空间有四维普通时空和高维想象空间之分，后者可用以研究各种量子场以及场的统一理论；又有外在直观空间和内禀抽象空间之分，后者反映各种物质体系的内禀对称性。微分几何在物理学中的杰出应用成果有广义相对论和杨（振宁）－米尔斯理论等。以前者而论，爱因斯坦用黎曼空间的曲率（时空度规张量的非线性微分形式）代表引力场中的物质分布，由此得出引力场等同于一种四维黎曼空间——弯曲时空的非凡思想；如果将引力场方程这个非线性方程单单通过分析的方法去探求，显然不及爱因斯坦有意识地探索引力场的几何结构，以致给出由物质分布引起时空弯曲这样一种几何化的研究方式来得直观且含义深刻。用微分几何的方法建立物质体系的动力学理论，以几何性状描述物质场的运动规律、从这个意义上说，理论物理可称作几何动力学。这个名称正好充分体现出近代理论物理的分析形式体系的几何特色。微分几何以及因其有效应用而导致诸如李导数、外微分等分析工具和某些新概念（黎曼流形、纤维丛和矢量与求导的同化等）在近三、四十年理论物理中得到推广，例如纤维丛及其上的联络论在杨－米尔斯理论等规范理论中的效用是十分显著的。
可能是失之片面地总结一句：微分流形及其微分几何，特别是黎曼空间中的张量分析、纤维丛上的联络论；泛函分析，特别是希耳伯特空间及其算符谱论；李群及其群表示理论；非线性方程理论及其数值分析等，是相对论创立以来近代物理各种理论研究的主要数学形式和数学方法，它们涉及数学三大分支：分析、代数、几何，这三者中分析方法是基本的，同时结合以代数方法和几何方法，从而近代理论物理成为三种数学分支相互渗透，彼此补充，结合一体这样一种所谓“近代数学分析”（亦可称作大范围分析）的形式体系；当然，须赋予适当的物理意义。
二、表述形式体系的美学标准
科学家往往有意无意地遵循着艺术家所推重的美学标准；诚然，一个物理理论是否完美，自有其特殊的含义。爱因斯坦认为：“要是不相信我们的理论构造能够掌握实在，要是不相信我们世界的内在和谐，那就不可能有科学”。其实，如前面提过的，理论物理学家正是以探索自然的内在和谐，描述自然所固有的运动规律以及内蕴的高度对称性为其科学创造的宗旨。首先，物理理论要揭示物质体系的运动规律，这些严密的规律经常是某一些对称性的体现。既然自然是对称而和谐的，那么物理理论的表述形式必具有明显的对称特色。其二，任何原理性理论都有其假设性前提，或者说，理论结构有一个依托的基础。前提愈简单，或者说，基础包含愈强的统一性，则理论结构的对称性就愈高，所掌握，的实在面也就愈宽。对称性势必使理论具有美感，而前提的简单性或基础的统一性则是理论完美的内禀依据。
列宁指出：“自然界的统一性显示在关于各种现象领域的微分方程的‘惊人类似’中”。物理学的情况正是如此。是牛顿第一个成功地用微分方程的分析方法“逻辑地演绎出范围很广的现象”；这是人类“最伟大的理智成就之一”。具体地说，空间坐标对时间的二阶常微分方程是经典粒子动力学中的一种最普遍的方程形式。经典场动力学中的各种物质场的一些主要方程大多是一些二阶偏微分方程。而经典粒子动力学若采用拉格朗日表述形式（或哈密顿表述形式），便可推广到经典场动力学和量子力学及量子场动力学的许多领域。无论是粒子坐标也好，还是物质场量也好，一般都满足形式相同的欧勒－拉格朗日方程（当然对不同的物质体系，其拉格朗日函数的表示不同）；理论物理从整体形式上显得那么优美圆满。可见，对于不同物质体系的物理效应，不管是宏观的、微观的，不管它们千变万化，其各种各样的变化规律都可采用基本一致的方程形式加以描述。这在数学上称为单义性，数学应用广泛正源出于此。而拉格朗日表述形式，是立足于数学分析的一条基本原理——变分原理；之所以可把变分怯则用于不同的物质体系，是因为它们在运动变化过程中总有一些不变的量——守恒量。这一点是不同物质体系的一条共性，此共性才形成客观世界的内在和谐，此共性赋予各种物理理论以统一的基础，从而使它们有“惊人类似”的表述形式。在此意义上，理论物理研究中探讨美学价值才成为可能。
分析数学结构可以看作是一种形式逻辑体系，它必定具有内洽性和完备性；这也正是成功的物理理论达到完美水准的标志。例如，电磁场理论的核心麦克斯韦方程组，是电磁场运动规律的完备表述，电磁场的任何性质都可由此方程组及其各种推论给出满意的解释，几乎没有例外。但在引入位移电流之前，表示传导电流激发磁场的那个方程与方程组别的方程不相洽。麦克斯韦在进行电磁场矢量分析运算时发现了这个矛盾，于是就引入变化电场的导数项，即假设所谓的位移电流，令其也作为磁场的源。这样便既消除了矛盾，使方程组具有内洽性，而且使电与磁完全处在同等的地位上，因为实验中发现变化的磁场会激发电场，那么变化的电场也会激发磁场。所以说，位移电流的提出不仅是适应方程组内洽性的要求，而且是出于对电与磁对称性考虑的结果。麦克斯韦方程组的自洽和完备以及显而易见的对称特征，使电磁场理论成为19世纪最完美的物理理论；它的成就启迪后来的爱因斯坦等人自觉地去追求其数学表述的自洽性和完备性，以使新建树的理论成为对称性更高、结构更完美的形式体系。
本世纪的一些物理理论模型建立时，尽管数学论证和演绎推导十分繁复，但前提却相当简单，所建树的最终表述形式也不复杂。因为按爱因斯坦所坚信的：“物理上真实的东西一定是逻辑上简单的东西，也就是说，它在基础上具有统一性。”数学推导看来冗长而繁复，但其逻辑上却是简单的；并且，理论结构进一步拓展，其形式体系往往更为完美，其前提的简单性往往更为明显。因此，简单性是完美理论的又一标志。且看狭义相对论和广义相对论的建立过程，虽然后者愈加抽象，推导亦愈加繁复，但从前提而论，却是更简单一些。前者的前提是“任何惯性参考系等价”的狭义相对性原理；而后者的前提是“任何参考系（包括惯性参考系和非惯性参考系）俱都等价”的广义相对性原理。狭义相对论置惯性系于特殊地位，撇开非惯性系而不论，以致不能解释引力场问题。而广义相对论将非惯性系置于与惯性系同等的地位，其对称性进一步提高；又因非惯性系与引力场在动力学意义上等效，这拓展后的理论结构就必然对引力场运动规律作出描述。可是，任何参考系之间坐标的一般变换比惯性系之间坐标的线性变换（洛仑兹变换）繁复得多，前提的简单性与数学推导的繁复性是同时增强的。即便如此，广义相对论的核心——爱因斯坦场方程却并不复杂，这是因为黎曼几何及其张量分析体系具有直观而简洁的表述形式。一般说来，数学理论因其逻辑上和表述上的简单性，正好为具有简单前提和统一基础的物理理论提供简洁而完美的形式体系。
典型的对称性数学理论——群论在微观物理中应用甚广，这使量子理论的对称性特色变得相当直观。故而近半个多世纪来理论物理学家往往将寻找合适类型的李群作为其理论探索的主要工作，目的就在于建立起披露微观粒子体系内禀对称性的漂亮模型。凭借群论工具，量子力学的表述形式不断完善，并建立起各种量子化物质场理论，以及物质场的量子统一理论。所谓物质体系的内稟对称性便是杨－米尔斯理论所揭示的内在的规范变换不变性（规范对称性）。举例说，电磁场以及弱作用场的两类规范变换不变性分别对应于电荷守恒以及弱同位旋和弱超荷的守恒性，它们分别以李群u（l）以及SU（2）描述。诸如弱同位旋等是量子场的内禀自由度，可见量子场内含的对称性十分抽象，但通过李群这种抽象的对称性数学形式却形象地表露出来。至于60年代格拉肖等人建立的弱电统一理论的标准模型把电磁场和弱作用场当作一个弱电统一场的不同表现，于是就把U（1）群和SU（2）群的直积群U（1）× SU（2）作为此统一场的规范变换群。很清楚，U（1）× SU（2）群的对称性比U（1）和SU（2）均高，故弱电统一理论就比电磁理论和弱作用理论的基础更统一，结构更完美，所反映的量子场运动状态的面亦就更广。
意大利美学家B · 克罗齐把美学定义为表现理论，艺术的表现形式本当是美学的研究主题；就此定义而言，科学理论的表述形式确也有个美学标准问题。用美学标准去考察物理理论，看来是有利其研究工作高效深入地开展的。所谓理论的美学标准，前面说过，乃指其前提简单，表述形式简洁，结构体系自洽而完备，并具有显著的对称特色；简言之，最基本的标准便是逻辑简单、基础统一。原理性物理理论的表述形式既然就是一些数学公理化体系，而上述标准正是数学公理化体系所具备的，那么，物理理论的美学标准是可能达到的。事实上，19、20世纪的一些成功理论都是完美的体系。特别是爱因斯坦所开创的对统一场理论的探索，近二、三十年中正是理论物理学家所热衷研究的课题之一。无论是爱因斯坦的经典的相对论统一场论也好，还是一些量子统一场理论C如弱电统一理论、强弱电大统一理论、或是试图囊括引力作用的超统一理论）也好，可以说都是有意识地按这些美学标准去构造具有高对称性特色体系以反映物质世界的统一场基础的简单逻辑的成果；理论物理学家们并以“艺术家的喜悦”去欣赏这些统一场理论的种种成果。
三、物理直觉和数学推理的创造力
爱因斯坦在晚年回顾理论物理探索道路时指出：“理论越向前发展，以下情况就越清楚：从经验事实中是不能归纳出基本规律来的（比如，引力场方程或量子力学中的薛定谔方程）”。那么、理论物理学家凭借什么创建新的理论呢？我们且以爱因斯坦所举的这两个方程为例，来看看在原理性理论建树过程中有哪一些带创造性的因素在起作用。玻姆称赞广义相对论时说得非常明白，他认为该理论“是哲学的深度、物理学的直觉和数学的技巧的最惊人的结合”。这告诉我们，爱因斯坦以及其他有成就的理论物理学家都富于哲学探索精神，认清理论科学的思辨性质，因此都有敏锐的物理直觉、得以提出颇具新意的假设前提；还都了解公理化体系中作为逻辑演绎主要手段的数学推理方法的重要性，以致潜心寻求合适的数学结构去表述物质世界的新规律，并借助新的数学技巧导得出乎预料的关系式和概念，而这些推论往往远远超出理论前提“所依据的实在范围”。所谓物理直觉和数学推理的创造力，其含义正在这里。
爱因斯坦把狭义的相对性原理推广，除了出于对更高对称性的追求，主要是依据如下实验事实——惯性质量等于引力质量。这个事实广为人知，但普遍以为很平凡；然而爱因斯坦却悟出其中真谛：既然这两种质量完全相等，就应在本质上是同一的东西。于是他便得出推论：惯性系中的引力场与非惯性系的加速度相当，那么一切参考系应是等价的。显然，对相对性原理的推广，是爱因斯坦凭借其敏锐的物理直觉和深刻的逻辑思维所致。从这条广义的相对性原理出发，时空变换当为非线性的一般变换，所探讨的引力场方程应是计及场之自作用的非线性方程；从这条广义的相对性原理出发，其时空度规就不再是狭义相对论中的闵可夫斯基刚性度规，而是随场点而异的柔性度规，所以时空应是弯曲的。这个结论当然是基本概念的一种突破，其推理过程充分反映了理论的高度思辨性。至于通过黎曼几何及其张量分析推导得出时空曲率与激发引力场的物质之能量－动量分布密度成正比这一爱因斯坦（引力）场方程，则定量地描述了弯曲时空结构等同于引力场的革新观念。由此可见，没有黎曼几何及其张量分析工具，就不可能建立这个方程，不可能披露引力场的时空结构之变化规律；再则，加上整个宇宙均匀和各向同性（此即所谓宇宙学原理），求解爱因斯坦场方程，可得出宇宙膨胀的推论。所有这些违反传统思想的方程及其推论均远远超出了当时的实践范畴（正是创建理论的目的所在），当然不会是已有经验事实的归纳总结。要是物理直觉和数学推理不具有可观的创造力，就不可能建立起像广义相对论这样富有创新意义的理论。
量子力学在概念上的突破性更大。是普朗克和爱因斯坦，首先提出“能量子”以至“光量子”概念，对具有波动性的光再赋以粒子性；并引入表征量子概念的普朗克常数h，即频率和波长分别为υ和λ的光具有确定的能量E=hυ和动量p=h/λ。德布罗意继而采用类比法，大胆地提出“物质波”假设，即设想实物粒子与光一样，也可能具有粒子性和波动性这两重性质：与具有确定能量E和动量P的粒子相联系的波，即所谓物质波，其波长和频率分别为λ=h/p和υ=E/h。或许可以说，这正是物理学家立足于统一性观念，依靠其物理直觉而作出的创造。有了物质波假设，薛定谔据以建立描述微观粒子运动规律的波动力学，作为量子力学的主要形式体系。这里，有用的数学工具——希耳伯特空间及其算符的本征理论（算符谱论）的应用，对该体系的建立有关键性的作用。以厄密算符表示力学量，以复变函数表示粒子状态，称为其波函数。波函数在一定的希耳伯特空间按照其“基底”函数族展开，每个空间的基函数族实际是某一力学量对应之算符的本征函数族。一个空间即为粒子状态的一个描述表象，譬如坐标表象、动量表象、能量表象等。从一个表象变到另一个表象，即波函数在一个空间中的表示变到另一个空间中的表示，通过算符的么正变换实现。其中，从坐标表象中的波函数变到动量表象中的波函数最为简单。正因为如此，并依据物质波假设，以平面波表示自由粒子、于是可方便地导出动量算符为-ih▽，能量算符为
这样从经典力学中自由粒子的能量与动量的关系式直接得出其运动方程；对于在势场中的粒子、则添入势能项，就得到量子力学的核心方程——薛定谔方程。再则、玻恩由此方程出发，提出“几率波”概念，以由方程解得的波函数的模长平方｜ψ（r，t）|2表示粒子在r处、t时刻出现的几率密度。那么，与微观粒子联系的波是用波函数描述的“几率波”，这便与经典波有了本质的区别，具有统计学意义，被当作对粒子状态进行统计解释的基础。此外，由厄密算符的性质，可得到任何一对不对易算符所代表的力学量之间的测不准关系式，以给出这对力学量同时测量时对其准确度的限制；这反映微观状态在实际测量上的特征。上述从波粒二象性→物质波→薛定谔方程→几率波→统计解释，是一个逻辑演绎过程。此过程同样体现了物理直觉和数学推理的创造功能。如果不是借助于物理直觉，提出物质波概念；如果不是借助于希耳伯特空间及其算符谱论，是不可能建立起薛定谔方程的。这个方程的几率波推论及量子体系的统计解释，当然都突破了经典力学的概念结构框架，超出了二、三十年代的实验范围，而引起理论物理基础中较之相对论建树带来的革新更为深刻的概念性创造。几率波是经典力学中没有的抽象概念，虽然是量子力学数学结构体系的抽象演绎推论，却更是物理学家的物理直觉的产物。实际上，“在任何富有成效的科学思维中，直觉和抽象总是交相为用的”。所谓富有成效，自然要与新的实验事实相符合；从以后的实验进展来看，统计解释尚无显著的背离。只是理论研究总是带有一定的哲学色调，物理学家哲学上的不同观点往往导致对演绎推论作出不同的解释，而关于量子体系的统计解释的长期论争正反映了这样一个问题。玻姆置“哲学的深度”于理论创造成功要素中的首位，说明上述凭借物理直觉和数学推理得出符合新的实验事实的理论成果，是离不开自觉而深刻的哲学探讨的。
（待续）