四、理论结构拓展的相对独立性和实践基础

爱因斯坦把理论建树过程中前提性原理的推广和数学推理及其物理解释的程序称作“自由创造”；所谓“自由”，是指理论拓展对于其实践基础来说有相对的独立性。因为许多数学理论具有某些形式逻辑结构的特征、故在其思维领域里便有其独立发展的规律，那么凭借物理直觉和数学推理方法建树的近代物理理论，其数学形式体系的拓展当然也就带有这种相对独立的色彩。凡纯数学理论，愈向前发展，其抽象程度愈高，逻辑的简单性愈明显，实际上其普遍性也就愈强，应用范围便亦愈广。这种数学的简单性，爱因斯坦将其视作物理理论拓展其真理道路的“可靠源泉”。各种物理理论的数学形式体系都是一些“盈余结构”。所谓“盈余”，即如前述，新理论可预示并掌握远远超出其前提性原理所依据的实在范围的经验事实。并且，往往形式体系愈抽象，盈余性也就愈大。从理论的数学形式体系拓展的相对独立性，以及其盈余结构的不断扩大的角度出发，我们且探究一下数学的简单性可否成为物理理论的真理源泉问题。

在物理学史上，每当发生一个重大的理论突破之后，总有一段稳步拓展其形式体系和探求应用（包括理论性的和技术性的）和实验验证的过程。这里先撇开实验验证和可能转化成技术应用不谈，仅在理论思维领域中加以说明。比如可看看20年代量子力学建立后的情况。狄拉克等人于1927年以后用相对性原理考查薛定谔方程，从而得到满足相对论协变性要求的狄拉克方程（以描述自旋为1/2的电子的运动状态）和克莱因 - 戈登方程（以描述零自旋粒子的运动状态）、普罗卡方程（以描述自旋为1的粒子的运动状态）等。这些方程把相对论和量子力学结合起来，以此为先导建立起的相对论量子力学，成为近几十年来拓展出的各种量子场论体系的基础。这里要举一下狄拉克预言正电子一例。狄拉克方程除了有描述已为实验披露的电子运动规律的正能解，还有其负能解，后者违反通常能量正定性原则，而且正能电子向负能态跃迁似亦不合情理；为此狄拉克提出“空穴假设”：物理真空是所有负能态都被填满的最低能态，若缺少一个负能电子，即出现一个“空穴”，便相当于出现一个正能反电子——正电子。狄拉克的这一预言是十分惊人的，从而打开了物质形态一大领域——反物质的窗口；当时粒子物理实验并无反粒子踪迹，这纯属是对电子的相对论性运动方程内蕴的解的对称性含义进行巧妙而恰当的物理解释的结果。相对于原有的实验基础，倒确是数学的简单性为卓越的物理创见提供了逻辑依据。

量子力学的波粒二象性概念被用于各种物质场，导致量子场论的建立。也正是狄拉克，把场当作无限维自由度的力学体系，首先通过电磁场量子化途径，提出二次量子化概念，作为量子场论的出发点。接着由泡利和海森堡建立了量子场论的普遍形式：他们令每一种微观粒子均对应于一个量子化的场，将场量算符化，又把作为力学体系广义坐标的场量和对应之正则动量构成哈密顿算符，并按量子力学原理导出场量满足的海森堡方程；这实际是有限维自由度力学体系的薛定谔方程的推广。可见，量子场论是量子力学原理应用于连续场的结果，前者所采用的数学方法、其表述体系的结构形式，与量子力学是一脉相承的。量子力学体系的自然拓展，必然会进入场论研究的领域。当然，这种拓展是符合实验进展的需求的。

在各种量子场沦中，量子电动力学是建立最早、也最成熟的一个，所描述的自由电磁场（光子场）、自由电子场及其相互间作用的量子化方法，解决发散困难的重整化方法都具有代表性，可将其推广到其他各种粒子及其相互作用场。特别屋由电磁场的内禀自由度——电荷的守恒所对应的规范变换不变性抽象出普遍成立的规范对称性原理及其群表示方法，对于深入研究微观粒子体系的运动规律，开拓相互作用场的统一理论的成功途径是有决定性意义的。而揭示规范对称性作为一切相互作用场的共同本质是杨 - 米尔斯理论的主要成果。该理论试图推广量子电动力学的形式体系，以某种非阿贝尔李群的伴随表示对应某些矢量规范场，以群元代表规范场的量子，群的对称性表示规范场内禀空间的转动不变性（规范变换不变性），于是便可揭露各种量子场的内禀对称性，揭示某些与其相关的量子数的守恒定律。量子理论发展到这一步，理论研究变为主要是拓展数学形式体系：对于任何量子场，就只要寻找一个合适的李群作为其规范对称群；对于构造几种作用场的统一理论，就只要寻找一个以这几种作用场的规范群为子群的更大的单纯李群作为其形式体系的核心结构。

众所周知的四种相互作用场——电磁场、弱作用场、强作用场和引力场、前三者分别以U（1）群、SU（2）群、SU（3）群为其规范对称群；而弱电统一理论的核心结构就是U（1）和SU（2）的直积群U（1）×SU（2）；以U（1）× SU（2）×SU（3）为子群的单纯群SU（5）、SO（10）或E₆等等都被作为各种统一电、弱、强三种作用场的大统一模型的规范对称群；至于以这些大统一规范群为子群的对称群（例如超弦理论的E₈× E₈群）可把引力作用也收入理论体系。随着群结构的不断扩大，数学推理演算愈益繁复，但群结构的对称程度也不断升高，这表述场论的形式体系就愈益抽象，那么所披露物质场的对称性亦愈高，掌握物理实在的面也愈广了。在统一理论的探索道路上，随着数学形式结构的拓展，其盈余性愈见明显。例如在弱电统一理论建立之前，已知传递电磁作用的规范量子是光子，U（1）x SU（2）群元代表这两种作用场的规范量子，那么便应有四种量子，除光子外，还预言另三种量子为传递弱作用的中间玻色子W^±、Z⁰。大统一模型的SU（5）群共有24个生成元，即代表24种规范量子，其中8种胶子，传递强作用；W^±和Z⁰传递弱作用；光子传递电磁作用；还存在12种未知粒子X及X^-（X^-是X的反粒子）。那就是说，这个理论模型不仅统一已知的三种作用场，描述它们的运动性状，而且还预示可能由未知粒子X传递的未知规范作用。再则，由该理论模型还得出另一个重要预言——质子衰变，这是由未知规范作用引起重子数和轻子数的守恒破缺而造成的。显然，大统一模型比弱电统一模型，所掌握的物理实在的面宽得多，预测功能也强得多。至于超弦理论，其更大的群结构的盈余性更大，它预示更多的未知粒子和可能由未知粒子传递的更多种类的未知规范作用；除了统一各种作用场（其规范量子为玻色子）以外，还揭示玻色子和费密子之间的超对称性，并描绘出与相对论给出的截然不同的时空结构。诚然，它所掌握的物理实在的范围，是弱电统一理论、大统一理论所无法比拟的，它提供的一幅对称而和谐的物质世界图景正是爱因斯坦以及许多理论物理学家所向往的。要是没有李群等数学工具的扩大应用，统一理论的探索是不会如此迅速地达到今天这样的成就的。相对于粒子实验实践来说，量子理论的群结构是在相对独立地自然拓展。算得不同层次上的统一理论有不同量级的统一能标（电、弱作用的“小统一”能标为10²GeV；电、弱、强作用的“大统一”能标为10¹⁵GeV；电、弱、强、引力作用的“超统一”能标为10¹⁹GeV），目前实验上能达到的能量尺度接近10²GeV。可见，逐步拓展的理论结构离实践基础愈来愈远，理论相对独立地发展一段时间后，会超前实践相当大的一段距离。

当然，物理理论与数学理论毕竟不同。数学理论的公理化体系是纯抽象的结构，并不特指具体事物，就如李群的生成元和伴随表示等只是一些抽象的符号或关系式，并不特指某些物质体系及其运动规律。但对物理理论的公理化的数学形式体系要进行适当的物理解释，其前提和推论都有特指的物理意义，描述特定的物质体系的运动规律。因此，在其数学形式体系拓展过程中不仅依靠其自身逻辑的力量，还须借助物理直觉。上面所举正电子预言一例，显然就是狄拉克对负能解作出创新解释的结果；否则，该数学解便会因没有物理意义而被扬弃之，就如电磁波动方程的超前解因违反经典的因果律而未被接受，单单留下推迟解以表示作用场的非超距性。然而在量子力学中，这种超前解近期又被人起用，在非经典意义上给予物理解释：以其与推迟解的耦合去表示微观体系的测不准效应。所以任何理论物理，必定对其数学形式体系贯穿以一定的物理思想，对其前提和推论，必定进行一定的物理解释：否则就只能圣纯数学体系罢了。各种量子场论中的群结构，正因为具有特指的物理意义、才会由此披露新的相互作用和各种未知粒子。赋予物理思想，进行物理解释，都须凭借理论物理学家基于哲理思辨的物理直觉。这样，数学形式体系的逻辑简单性和盈余性反过来会使所赋予的物理思想借此得以强化和修正，导出的才是可能为日后的物理实验验证的新的物理规律。因此，我们前面说过，物理直觉和数学推理是物理学理论探索中的两种创造性因素；富于物理直觉的理论物理学家，可从数学形式的逻辑简单性中，从数学形式的盈余结构中，扩大对内在和谐的物质世界的认识领域，开拓披露物理真理的道路。在此意义上可以认为，物3理论的“创造性原则寓于数学之中”，后者是前者的“可靠源泉”。

可是，“数学的简单性”这个源泉绝非唯一源泉、而且仅是第二位的，第一位的源泉还是在实践中。从认识论的角度看，物理理论及其数学形式体系和所采用的数学推理方法都是思维领域中的东西。数学本身正是反映客观世界的数量关系和结构关系的学科，它尽管有其自身逻辑发展的规律，但其根本源泉同样在实践中，正如爱因斯坦以为，黎曼几何也有其地球上的起源。而对于物理学来说，物理实验的进展才是其理论探讨的最终基础。实践毕竟是检验真理的唯一标准、“数学简单性”这个源泉是否可靠，还得由实践鉴定。物理理论所采取的数学结构本身是否正确、用于描述某物质体系的运动规律是否合适，推理方法是否恰当，最终还得由其推论和预言是否为日后的实验验证来判别。一个很简明的例子是麦克斯韦的位移电流概念。它的引入，前文说过是进行矢量分析运算、并考虑到电磁对称性的结果，但麦克斯韦所以会放心地让其进入电磁场方程组，因为这样才能符合由实验得出的电荷守恒定律；并且，这个包含位移电流项的方程组的可靠性，唯有当由其导出的电磁波存在的预言被若干年后的赫兹实验证实时才被肯定，于是麦克斯韦理论才最终被公认为正确的理论。任何理论，诸如相对论、量子力学、各种量子场论以及统一理论，无不在预言得以验证后才为学术界所接受；特别是转化成技术应用后更为人们所重视，电磁理论的电子工程应用、狭义相对论对原子能工业的引发等便是明证。理论物理发展到最近几十年，表示形式格外抽象，推理演绎格外繁复，通向验证实验的思想链条格外的长；那就是说，就目前实验状况来看，验证一些新的理论模型的实验条件还未具备，如大统一理论、超弦理论等，要检验其质子衰变、时空量子化等预言还没有可能。在这样的情况下，虽然各种统一理论模型层出不穷，虽然可用公理化体系的标准对各种模型加以考查，比如看看是否具备内洽性，即逻辑无矛盾性；数学推导步骤是否无误；在极限条件是否可回复成原有的理论等等，但终究不能据此就作出十分肯定的判断。这样，许多模型就未免会鱼目混珠、莫辨真伪。任何那个理论载入物理学史册，唯有在得到实验证实之后。

实际上，“没有一个真正有用的理论是纯粹思辨发现的”。不求转化成实用，那只是纯数学模型，甚至可能是数学游戏。作为公理化的原理性理论的近代物理理论，其建树过程是一个辩证发展的循环。从已有的实验事实抽象，并加以推广，成为理论的前提性假设（原理），尔后寻找合适的数学表示结构，建立起公理化体系，通过数学推理和物理解释，导出新的物理概念和新的物理规律；这些推论和预言须再回到实践中加以检验，如果从新的实验得出肯定的结果，才表明该公理化体系是成立的。这个循环过程起于实践，终于实践。公理化体系基于经验事实，但抽象出的原理不是唯一的，所采用的数学结构形式和数学推理方法也可以不同，因此从相同的经验事实出发建立的公理化体系自然可有多种，对推论的物理解释也会有区别；这就是爱因斯坦所谓的“自由创造”的另一层含义。如当代统一理论的模型不少，全凭模型的创造人对经验事实的哲理思辨、物理直觉及对数学表示形式的选择和对其逻辑推论的物理解释来决定；但它们的真伪优劣，总得由新实验事实来最终判别鉴定。

上面讲到理论结构对于实践基础来说有一些独立地拓展的阶段，但这种独立性只具有相对的意义。就如统一理论的群结构的不断拓展，致使对作用场的统一范围逐步扩大；从其逻辑发展脉络来看确是理论思维领域里的一种自然延拓，但其中也不无逐渐发现的新实验事实的刺激结果。人们之所以会先考虑弱作用和电磁作用的统一，乃是受实验中发现二者在作用方式上有类同处等事实的启发（二者在作用程和强度方面有很大的区别）；而统一理论进一步探讨的热烈开展又是受发现了弱电统一理论所预言的中间玻色子W^±、Z⁰和中性流这一新实验事实的鼓舞所致。随着粒子实验能量的提高，各种新粒子不断露面，各种相互作用的性状逐步揭示、这才为量子场论的日趋深化、统一理论模型的大量涌现不断增添新的动力。理论往往超前于实践，但毕竟不能超脱于实践。

科学是最高的创造艺术，理论物理当不例外；从描绘和谐、美好的大自然以至创造更美好、造福于人类的现实世界这个意义上说，科学符合最高的美学标准。近代理论物理学家基于哲理思辨的物理直觉以及所采用的近代数学分析的推理方法，具有可观的创造力：众多的物理学史实和尔今已初具规模的、带有美学价值的近代理论物理的整体结构系列，最明白不过地说明了这一点。简而言之，创造力表现在：立足于经验事实的物理理论绝非经验事实的堆积，而是可以把握比前提所依据的经验事实广泛得多的物理实在。本文着重论述的是近代数学分析工具用于近代物理理论建树及其拓展过程中的创造功能，以阐明数学的简单性成为物理学开拓真理道路的源泉的道理。尽管如此，也不能否定实践是认识真理的第一位的根本源泉和检验真理的唯一标准这样一个基本观点。近四、五十年物理实验的实践状况，比起爱因斯坦试图建立统一场论时的年代来已发展了不少，这就从根本上促发物理理论有大幅度的拓展，使当今的理论物理学家凭借近代数学分析的推理方法建立各种量子场理论以及统一理论模型成为可能。目前理论超前实践的距离、理论结构拓展的相对独立性、理论预示未知物理事实的能力比起爱因斯坦生前，亦有显著的增长，这与新物理实验的实践的刺激作用是分不开的。理论结构的盈余性的扩大，固然取决于本身所用数学方法的发展，但数学方法的正确使用，以及对形式体系及其逻辑推论赋予适当的物理解释，都必定离不开实验所披露的新物理现象的启示。或者说，理论结构的盈余性与实践的水准是相与提高的；至于提高的幅度当然是前者大得多，这是因为在新的实验结果的启发下，很快发展的近代数学分析工具得以广泛应用所造成的。

现在，物理学界的状况如何？一方面，致力于发展最新物理实验设备和实验技术；另一方面，面对理论研究的高度数学化和抽象化的倾向，理论物理学家和数学家联合起来共同研究物理学的前沿性理论课题，一来这样会有效地发挥数学方法对于拓展物理理论的创造力，并可避免数学掩盖物理的弊端。最后要指出一点，目今近代物理理论的形式体系正在稳步拓展，逐步扩大其应用领域，然而自相对论和量子论创立以来，尚未发生总体概念上的新突破。新突破的实现，有待于近代物理实验迎来关键性的新发现；同时前沿性理论研究中要找到足以引起根本性变革的新的数学方法，这犹如黎曼几何在广义相对论中以及希耳伯特空间及其算符谱论在量子力学中产生能动作用时的情景那样。一旦到达物理学新的转折时刻，数学方法对物理理论促进的创造力及其所依托的物理实验的实践基础的最终可靠性，将显露得更为清楚。