卡丹诺夫（L. Kadanoff）四年前在本栏上（1987年3月号《今日物理》第7页）发表的关于复杂性和混沌的文章，至少对我是一件未曾预料到的事情，因为物理上的新领域不是每天都会突然冒出来的。从此之后，关于复杂性的研究工作已经蓬蓬勃勃地发展开来。卡丹诺夫最近（1991年3月号《今日物理》第9页）描述了这方面的一些进展，而在1991年7月号《今日物理》第9页上菲利普 · 安德逊（Philip Anderson）详细地阐明了复杂性的科学是怎样发源的，并且概略地介绍了由复杂性科学提出的一些新课题。然而如果复杂性科学的研究已经蓬勃开展，那么混沌则已经爆发开去。关于混沌的文献激增，新的必威体育备用地址 大量涌现，而且非线性动力学已经在力学课程中占有一席之地。关于混沌的一本书列出了纽约时报畅销书的一览表，几乎每过一个星期，作为科学上的可靠印象仲裁者的《物理评论通讯》就向我们提供混沌这个课题方面的一些文章。
有些混沌新发现的盛行明显地是美学上的。曼德勃洛特集合的幻觉效应具有太阳爆发以及海马的分形视觉，它是真正的壮观景象。（实际上，分形和混沌之间的联系不是那样容易理解，但是关于混沌几乎没有什么东西是容易理解的）。有些盛行还必须归于混沌的外来词C。混沌这个词本身的内涵是不固定的，它使人想起上帝启明之前宇宙的状态，当今社会的状态以及大多数美国家庭中当孩子们正在成长时所处的状态，它还使人想起在昂贵礼品商店或在非线性动力学讲演中可以看到的那些动力学小玩意儿所作的飘忽不定的运动。人们还能想象出比“奇怪吸引子”或“蝴蝶效应”更加富有魅力的术语吗？
我要对这个一览表再附加上“量子混沌”，这个词把近代物理中两个颇为时髦的名词相提并论，但是，它们并没有和睦共存。问题在于薛定谔方程是线性的，它的解本质上是周期的和准周期的。量子力学没有为不规则运动留有余地。混沌是严格的经典概念；“量子混沌”是修辞学中的矛盾修饰法。
不管量子混沌是不是矛盾修饰法、这个课题已经引起了很大的兴趣。一般情况下，量子混沌被解释为去研究一个系统量子力学行为的那些特殊的性质，它们是在相应的经典运动呈现混沌行为时所表现出来的。贝利（M. V. Berry）1987年在贝克林所作的演讲提供了对量子混沌的一个非常吸引人的综述。贝利把这个课题描述成“研究那些系统的半经典而不是经典的特征行为，这些系统的经典运动呈现混沌”，他还建议把这种研究称为“量子混沌学”。不幸的是，他的这个提法没有得到公认，物理学家表现出回避那些以“什么学”结尾的词，例如“占星学”和“骨相学”（当然他们不避开“宇宙学”）。专家们从来没有被“量子混沌”这个术语所迷惑，尽管他们常常会离开自己的方法也避而不用这个术语。我参加过一个讨论会，在这个会上除了一个人鼓起勇气涉及到“这个所有人都想过，但没有人敢于吭声的术语”以外，每位演讲者都小心谨慎地避开了“量子混沌”。
混沌通常被定义为“呈现对初始条件极端敏感性”的运动。因为对一个多粒子系统没有任何方法可以确定初始条件，更谈不上去对单个轨道进行映射了，混沌不是复杂系统的一个特征，而是简单系统的特征。下面的图说明了对初始条件极端敏感性的一种情形。图中显示了一个粒子的两根轨道，这个粒子在xz平面上运动，受到势V=A/r+B（x2+y2）的影响，这里A和B是常数。左边的轨道返回到原点：粒子的运动转向，并且粒子一次又一次地穿过同一条路径一一很清楚，这是一种周期运动的情形。在右边的图中，轨道的初始角度被改变了约106分之一。粒子回不到原点而且经历一条飘忽不定的路径，很明显，粒子运动不会转向。
图示的行为更使人感兴趣，这是因为势描述出一个真实的系统：在磁场中的一个氢原子。（忽略自旋、相对论性效应和其他效应，因为它们在这里没有重要的作用。）我自己对这个常常被称为抗磁性的氢原子问题有兴趣，因为当知道在场和能量的某种结合搣情况下，经典运动经历了一个通向混沌的跃迁的范例时，我和学生恰好在实验上研究了这些系统。当时我们很幼稚，对于谱线会发生什么情况没有任何想法：对初始条件极端敏感性的量子相似可能是一场恶梦；谱线可能是不稳定的，也不会重新产生，因为我们从来不能确切地重新产生实验上的条件，譬如产生出磁场。
我们可以预料到的许多图像已为大家熟知。当经典运动变成混沌运动时，能级互相排斥而且谱线经历着一种变换，它的特征在于谱线的涨落。能级之间间隔的分布变成了维格纳分布：
这里s是以平均间隔为单位时相邻能级的间隔。
关于量子混沌的一个给人深刻印象的理论主体部分已经发展起来，而且已经有了丰富而齐全的谱线数据记录，它们都显示出普遍存在的维格纳分布。但是，人们用来研究真实的量子系统并且在遍及经典运动各个区域内控制这些量子系统的实验，如同在一次计算机会议上出现计算尺那样的稀少。马丁 · 古茨维勒（Martin Gutzwiller）最近写的一本书《经典力学和量子力学中的混沌》对近代力学作了一次令人神往的研究，该书有八百多篇参考文献，其中只有十几篇涉及量子混沌的实验。这些不是理论物理学家忽视了这些实验，恰恰相反，进行这类实验的任何人都会在理论物理学家中找到有鉴赏力的读者。
我提出两个很平常的问题。第一个问题是：由于量子力学比经典力学更加基本，量子混沌的目的不是应该可以被用来从量子理论中预言经典行为吗？
在某些情况下，经典运动可以从量子行为中导出。例如，卡尔 · 怀尔奇（Karl Welge）及其同事们研究了抗磁氢原子的吸收光谱，或更专业性地说，研究了光谱的傅里叶变换。他们发现了一些峰值，这些峰值正如已被古茨维勒，赖因哈特（W. P. Reinhadt）和其他人所预料的那样，应该相应于各种周期轨道的周期。知道了周期以后，怀尔奇和他的合作者继续发现了一组以前从未预料到的轨道。由于这些轨道通常是不稳定的，因而发现这些轨道不是一件轻而易举的事情。我们的数据资料表明存在着极长周期的轨道，尽管它们必定会被发现。长周期不稳定轨道是难以从经典上找到的，虽然量子力学可以对经典运动给出某些预言。
第二个问题是，第一个问题事关重大吗？经典物理具有一个固定的量子力学的依托，这一点是必不可少的吗？在某些情况下，答案当然是肯定的。例如经典统计力学有一些基本的问题只能由量子理论来解决。但是，在非线性动力学和混沌中，在经典层次上就存在着如此众多的概念上的麻烦以致难以指望量子力学会结出什么结果。
如同古茨维勒的书解释的那样，经典力学并没有被人们所彻底理解：它是一个远比大多数物理学家已认识的更为复杂、更为精致的课题。例如人们还没有设计出任何方法来预言一个给定的系统是作有序运动还是呈现混沌运动？看来似乎令人合意的是从量子力学中导出混沌，尽管当我们还不能从经典力学中预言混沌时，这一点看起来是不现实的。这样选定了一个方向去着手把量子力学和混沌联系起来会提供我们某些两难推理的东西。
这个两难推理是我称之为“首尾之谜”的一个例子。这个词起源于我和朋友在运河的航行途中，在抵达我们的船上时，我们面临一个令人窘迫然而又是十分基本的问题：船的哪一端是船首，哪一端是船尾。然而，这个问题又变成仅仅是人为的。乡村是如此的赏心悦目，以致我们在旅行途中感到乡村处处景色如画：在每个方向上景色都美不胜收。
[Physics Today，1991年8月号]