在资本主义国家中，作社会选择主要有两种方法：投票选举，通常用于作“政治”决定；市场机制，通常用于作“经济”决定。在世界的其它地方，社会决定有时由一个人或一小群人作出，有时（现在越来越少见）则根据一套包罗万象的、用以应付任何情况的传统法规作出，例如用宗教法典。
后两种社会选择方法，独裁和传统，其形式结构具有投票和市场机制所缺乏的一定的明确性。在理想的独裁体制中，仅有一个人的意志与选择有关；而在理想的传统社会中，只有神的意志，或者假设存在的全体个人的共同意志涉及社会决定。所以这两种情况均没有个人之间的意志冲突。另一方面，投票和市场机制则是通过混合众人的口味来作社会选择的。在任何个人都能够作出合理选择的意义下，独裁和传统的方法是，或者能够是合理的。对于涉及许多人不同意志的集体选择方式，是否还有这种个人与社会之间的协调性？
应该在此强调，本项研究只关心上述问题的形式方面，即探寻形式上是否可能构造一个从一组已知的个人口味得到一个社会决定模式的程序，并要求该程序满足一定的自然条件。为说明问题请看下面著名的“投票悖论”。假设有一个由三人组成的团体，它必须对三种备选的社会行动（例如裁军、冷战或热战）作出选择。有时备选对象并不都可行。团体的合理行为意味它把备选对象根据集体偏好排定秩序，然后在任何给定场合中挑选实际可行的对象中排名最先的那一个。获得集体偏好的一个自然方法是少数服从多数。设A、B、C表示这三个备选对象，1、2、3表示这三人。假定1认为A优于B并且B优于C（从而A优于C），2认为B优于C并且C优于A（从而B优于A），而3认为C优于A并且A优于B（从而C优于B）。于是多数认为A优于B和B优于C，从而团体认为A优于B和B优于C。如果团体的行为是合理的，则它必须认为A优于C。但事实上团体的多数认为C优于A。从而上述方法不满足我们通常所理解的合理性。
另外一个获得社会选择的方法更具有经济学的特点，这就是补偿原则。要在两个备选经济状态x和y之间作出选择，如果在状态x中有个给予补偿的方法，使得每个人由于这个补偿而处于的状态比处于状态y更富裕，就认为x优于y，即使这个补偿实际上并未实行。接受这个原则除有道德上的困难之外，还有一个形式上的困难：可能同时出现x优于y和y优于x。正如投票表决方法，这种汇集个人偏好的方法也可能导致无法把备选对象线性排序。请注意这两种方法不一定真的导致悖论，我们所说的一切就是，存在某种偏好分布，如果社会成员的偏好服从这个分布将导致社会选择方案的不协调。
本文的目的是要证明这些困难具有一般性，对于通过汇集个人偏好来获得社会选择的任何方法，只要它满足一定的自然条件，总能找到一些个人偏好分布，它们导致的社会选择方案不具有线性次序。
定义和符号为方便起见，我们将用一些符号来描述偏好，这些符号，数学家特别是符号逻辑学家非常熟悉，但经济学家还不惯使用。备选对象用字母x、y、z、……表示，在任意给定的场合中，所有可能的备选对象构成集合S。对于消费者来说，每个备选对象是一组商品；对于厂商来说，备选对象关于投入和产出的一个完整的决定；对于福利经济学来说，是关于商品和劳务的—个分配。xRy表示“x优于或无差别于y”，R本身被称为“（序）关系”，并且同时表示所有满足xRy的x、y对。假设任意两个备选对象之间可以比较，即有：
公理1对于所有的x、y，或xRy或yRx。请注意公理1对于x=y也适用，因为我们通常说，对于任意的x，x与它本身无差别，这就蕴含xRx。还请注意词“或”并不排除同时xRy和yRx。这个词仅断言两个事件至少有一个发生，也可以都发生。
前面提到的关于不同的备选对象偶偏好之间的协调性可以用符号语言更精确地陈述：
公理2对于所有的x、y和z，xRy和yRz蕴含xRz。
很清楚，一个同时满足公理1和公理2的关系可以把所有的备选对象排列成行。
定义1xPy意指非yRx。
定义2xly意指xRy且yRx。
“xPy”读作“x优于y”，“xly”读作“x无差别于y”。很清楚，如此定义的P和I对应于通常的“偏好”和无差别”的概念。
引理（a）对所有的x，xRx。
（b）如果xPy，则xRy。
（c）如果xPy且yRz，则xPz。
（d）如果xly且ylz，则xIz。
（e）对于所有的x和y，或xRy或yPx。
（f）如果xPy且yRz，则xPz。
这些结论用前面的公理和定义很容易证明。从这些符号所对应的实际意义来看，它们也是直观自明的。
社会状态的序社会状态的最精确的定义将是关于如下状况的完整描述：每个人所拥有的各种商品量和投入的劳动量：各类生产活动中所投入的各种生产资料量；以及各种各样的集体活动（例如市政服务，外交及其附属工作等）量。假定社会中每个人对所有可设想的社会状态根据它们对其本人的可取程度给予确定的排序。一般来说，根据个人的直接消费对社会状态的排序与加上关于“公正”、“平等”或“金钱攀比”之类标准后的排序是不同的。我们称前一种排序反映了个人的口味（tastes），后一种反映了个人的价值。记号Ri、Pi和Ii分别表示根据个人i的观点（口味或价值）确定的关于备选社会状态的序关系、偏好关系和无差别关系。有时要考虑同一个人的几个不同的各种关系，为区别起见在记号上加撇（例如和Ri'、Pi'和Ii'）。类似地，社会作为整体对备选社会状态有社会序关系、社会偏好关系和社会无差别关系，分别用R、P和I表示，对于不同的各种社会关系也用加撇区别。
在整个分析中始终假定个人的行为是合理的，即序关系满足公理1和公理2。我们的任务行为作为一个整体的社会构造一个同样反映了有理选择行为的序关系R，所以假定R也满足公理1和公理2。
社会福利函数对于给定的一对备选社会状态，其相对次序一般来说会由于一些个人的价值观的改变而改变。假定次序不随任何个人的价值观的变化而变化，按照传统的柏拉图实在论社会哲学，就是假定存在其定义独立于个人意愿的客观的社会的善。这个社会的善，人们常常认为，可以用哲学探究方法很好地把握。这种哲学可以并且已被社会精英，世俗的或宗教的，用来维护政府的合法性。
但是对于现代的唯名主义者来说，关于在柏拉图的实在王国存在这样的社会想象物的假设是没有意义的。享乐主义心理学则进一步暗示，社会的善在某种意义上是由个人的意愿合成的。这类观点常被用来证明政治民主和放任自流的经济是合理的。用我们的符号可以方便地表达上述观点：
定义3—个“社会福利函数”是指一个过程或规则，它对每个关于备选状态的个人序R1、R2、…R3的集合（一人一序），给出对应的社会序R。一个特殊的社会福利函数是，对每一个人序的集合赋予同样的社会序。这时的社会选择当然就完全独立于个人的口味，这就表达了柏拉图的实在论哲学。
一般来说，我们并不要求社会福利函数对每个逻辑上可能的个人序的集合都有定义。只要求：
条件1社会福利函数定义在每对容许的个人序偶R1、R2上。这里“容许”指与我们关于经验可能性的先验假设相容。
社会价值与个人价值的正联系既然我们在试图描述社会“福利”（welfare）而不是某种“祸害”（illfare），我们必须假设社会福利函数对于个人价值的响应是正的，至少是非负的。即有：
条件2假设使备选社会状态x在每个个人序中的位置上升或不下降，同时在这些序中不作其它变动。如果在社会序中x在改变之前就优于另一对象y，则在改变之后x仍然优于y 。
无关备选对象的独立性正如个人一样，社会在任何给定的备选对象集合中的选择应独立于此集合之外的备选对象的存在。用符号语言来表述：
条件3设R1、R2和R1'、R2'是两对个人序，如果对于给定的备选对象集合S中的所有的x和y，均有xRiy当且仅当xRiy（i=1、2），则在S上相应的社会序R和R'完全一致。
公民主权的条件
定义4一个社会函数被称为具有强加性，如果存在某两个不同的备选对象x和y，使得对于任意的个人序R1、R2，总有xRy。这里R是对应于R1、R2的社会序。换句话说，就是团体永远不可能认为y优于x，即使团体内所有个人均如此认为。我们当然希望社会福利函数不具有强加性。
条件4社会福利函数不具有强加性。
应该注意到，条件4排除了前面讨论过的柏拉图情况，它充分表达了这样的思想：所有的社会选择均由个人意愿确定。条件2和条件4一起，对应于通常的消费者主权的概念。由于我们在此主要考虑价值而不是口味，我们可称它们表达了公民主权的概念。
无独裁者的条件独裁选择就其纯粹形式来说，意味着社会选择只依赖于一个人的偏好，即只要独裁者认为x优于y，则社会也如此认为。
定义5—个社会福利函数是“独裁的”，如果存在个人i使得对所有的x和y，xPiy蕴含xPy，不管除i之外其它个人序如何。
既然我们只对构造集体的社会选择感兴趣，我们希望去掉独裁的社会福利函数。
条件5社会福利函数不是独裁的。
我们现在有了关于构造社会福利函数的5个看似合理的限制条件，这些条件以很一般的形式表达了公民主权和理性的信条。现在的问题是要从任何给定的关于所有可能的备选社会状态的个人序的集合中，构造符合这些条件的社会序。
社会福利函数的可能性定理我们下面将证明，不存在同时满足条件1—5的社会福利函数。设x、y、z是三个备选对象，x'和y'表示可能的备选对象的变量符号（换句话说，x'、y'取值于x、y、z）。设两个人分别用1和2表示，R1和R2分别表示1和2关于x、y、z的序，P1和P2是相应的偏好关系。
结论1如果x'P1y'且x'P2y'，则x'Py'。换句话说，如果两个人均认为x'优于y'，则社会也如此认为。
证明根据条件4，对于个人1和个人2分别有序R1'和R2'，使得在它们对应的社会选择中有x'P'y'。在R2'中通过使x'上升到最高，同时保持另两个备选对象的相对位置不变，得到R1″；用同样的方法从R2'得到R2″。根据条件2，社会仍应认为x'优于y'，即x'P″y'。但由构造知，必有x'P1″y'和x'P2″y'。再根据条件3，知结论为真。
结论2如果有某对x'和y'，使得只要x'P1y'和y'P2x'就x'Py'。则对于这两个x'和y'，只要x'P1y'就x'Py'。
证明 设R1满足x'P1y'，R2是任意的序。令R1'与R1相同，R2'则是通过把R2中的x'下降到底同时保持另外两个对象的相对位置不变的序。由构造知，x'P1'y'和x'P2'y'。由假设得x'P'y'。现在R1、R2与R1'、R2'之间的唯一区别是，在个人2的价值尺度中x'在后者中的地位比在前者中相比有上升（或不下降），于是根据条件2必有x'Py'。
结论3如果x'P1y'且y'P2x'，则x'Iy'。即如果两个人关于给定的两个备选对象的选择正好有相反的利益，则社会认为这两个对象无差别。
证明假设结论不正确，即存在某对序R1和R2以及某对备选对象x'和y'，使得x'P1y'且y'P2x'，但非x'Iy'。这时或x'Py'或y'Px'。下面我们证明假设x'Py'将导致矛盾，同样方法也能证明y'Px'导致矛盾。
不失一般性，可设x'=x、y'=y。于是据条件3得：
（1-1）只要xP1y并且yP2x，就有xPy。假设xP1y和yP1z，同时yP2z和zP2x，从而yP2x。由（1-1）得xPy，由结论1得yPz，从而xPz。再由条件3：
（1-2）只要xP1z并且zP2x，就有xPz。现设R1是y、x、z序（即yP1x和xP1z，以下类似），R2是z、y、x序。则由结论1得yPx，由（1-2）得xPz，从而yPz。根据与前面相同的理由得：
（1-3）只要yP1z且zP2y，就有yP2。如果R1是y、z、x序，R2是z、x、y序。则由结论1和（1-3）得zPx和yPz ，从而yPx。于是
（1-4）只要yP1x且xP2y，就有yPx。如果R1是z、y、x序，R2是x、z、y序。则类似地有zPy和yPx，因此zPx。
（1-5）只要zP1x且xP2z，就有zPx。如果R1是z、x、y序，R2是x、y 、z序，则利用（1-5）得zPx和xPy，因此zPy。
（1-6）只要zP1y且yP2z，就有zPy。由（1-1）到（1-6）和结论2，很容易得到：对任意的x'、y'，只要x'P1y'就有x'Py'。根据定义5，个人1是独裁者，这是条件5所禁止的。因此（1-1）必然不成立，这就证明了结论3。现设个人1的序为x、y 、z，个人2的序为z、x、y。由结论1，
（1-7）xPy。由于yP1z且zP2y，根据结论3，
（1-8）yIz。由（1-7）和（1-8）得xPz。但还有xP1z和zP2x，根据结论3这蕴含出xIz。x不可能既优于z又无差别于z，因此假设存在满足条件1-5的社会福利函数导致了矛盾。换句话说，如果假设社会福利函数满足条件2和条件3，进一步假设条件1也被满足，则或者条件4或者条件5被违反。即有：
可能性定理如果至少存在3个备选对象，社会成员可以用任意方法对其进行排序，则一个满足条件2和条件3，并且获得的社会序满足公理1和公理2的社会福利函数必然具有强加性或者是独裁的。
本定理表明，如果不对个人序的性质作任何先验S假设，则没有任何投票方法可以消除前面讨论过的悖论，无论是双重投票还是任何按比例代表的方案，不管方法多么复杂。类似地，市场机制也不能产生合理的社会选择。