物理学家们总是利用数学方程描述自然界。但有些数集是不可计算的。对于宇宙的定律，这意味着什么呢？

数学，按R. 培根的说法，是“通向科学的大门和钥匙”。自从近代科学萌生以来，科学家们便认定，知识的最可靠的形式是定量表述的，伽利略写道：“自然界的伟大的书是用数学语言写成的。”

科学家们利用数学并不仅仅是为了以适当的方式把数据资料组织起来。他们相信，数学关系反映了物理世界的真实面貌。科学有赖于这样的假设：我们生存于受精确的数学定律制约的有序宇宙之中。因而物理定律，科学的最基本的原理，全是用数学方程表示的。物理学家几乎在所有的调查研究工作中都采用定量的方法，而物理学往往被当作成功的科学如何公式化的典范。

数学和科学之间恰当的共生关系已兴盛了几个世纪，在此期间它们各自都充实丰富起来，并互相促进。大多数人以为这种舒适的安排会继续下去。但能如意吗？我们能期待自然界定律必然能用简单的术语表述吗？

最近几年，有些科学家已开始检验这个问题。他们的研究是以物理学家和数学家为一方，以计算机科学家为另一方，不断增加对话的结果。在物理学研究工作中，计算机的使用日益增畏，使得人们把注意力集中于什么样的物理过程能够用计算机模拟，什么样的物理过程不能，反过来，这已导致对计算技术逻辑基础的重新检验。

计算的现代理论是由J. 冯诺伊曼和A. 图灵于50年前奠定的。然而，其历史的开端要早得多，在1900年，德国数学家希尔伯特在其著名的演讲中就已提出了挑战。希尔伯特问道：为可靠地确定所有的数学推测，有可能找到系统的程序吗？

这是希尔伯特的想法、像“65143545677是素数”这样的语句应该有明确的答案：真实的或虚假的。可设想一充满人的房间，或一部机器，取上述语句做输入，应用标准程序，经过有限步骤之后便传递出答案。

在希尔伯特做演讲时，没有人怀疑所有有意义的数学语句即使很复杂，原则上都应存在相应的一般程序。然而，把这种程序找出来当属另一码事。

1930年代初期，逻辑学家K. 哥德尔给希尔伯特的思想以致命的打击。哥德尔证明，甚至在普通算术中，都存在不能用设想的方法判断其真伪的数学语句。这种意想不到的困难与19世纪末B. 罗素所做的著名的自关联（self-reference）悖论的研究有关。作为一个例子，考虑一对句子，A说B是假的。B说A是真的。

如果B是假的，那么“说A是真的”不可能正确。结果A是假的。但如果A是假的，那么B必须是真的。但B不能既是真的又是假的。哥德尔证明，数学中这种矛盾以一种基本的方式出现。在已知公理系统中，某些真正的定理能被可靠地加以证明。但总存在某些无法证明的定理，除非增加公理的数目。一已知系统本身是否相容和完备是无法同时证明的。

哥德尔定理的基础能借助于一个小故事加以解释。在一遥远的国家有一批逻辑学家确信，决定所有命题的普遍方法确实存在，他们正式建造起一个真正抻奇的系统来付诸实施。没有人能肯定该系统是什么——一个人，一批人，一部机器，或是这些东西的某种组合——因为是在规模很大的大学里建造并禁止公众进入。该系统被称为“Tom”。为试验Tom的性能，提供给它各式各样的复杂的逻辑的和数学的语句，经过一定的数据处理时间，送回答案：真的，真的，假的，真的，假的……

不久，Tom的名声大震。许多人到该大学访问，并提出更微妙而复杂的问题，试图难倒Tom。但没有人办得到。因而国王提出奖赏，奖励任何一个能挫败Tom的人。一天，来自另一国家的一位旅行者来到该大学，带给Tom一封信。信内是写有一句话的一张纸。我们给这句话起个名字叫S（S代表一句话，或代表难倒的意思），这句话筒单地说：“Tom不能证明这句话是真的。”S被及时送给Tom。刚过几秒钟，Tom开始某种剧烈震动。不久，从房间跑出来的技术人员带来消息：Tom由于出现技术问题而被关闭。发生了什么事呢？

假定Tom已作出结论认为S是真的。这意味着“Tom不能证明这句话是真的”这句话被证明是假的，因为Tom刚刚证明它是真的。但如果S被证明是假的，S就不能是真的。若Tom回答说S是“真的”，Tom做出的便是一假的结论，与它吹嘘的绝无错误相矛盾。因此Tom不能回答“真的”。从而，我们已得到S事实上是真的结论。但在作出这一结论时我们已有证据证明Tom得不出这一结论：显然，我们知道某些Tom不知道的事情。这就是哥德尔证明的基础：总存在某种无法证明其真实的真实语句。自然，这位旅行者知道这一点，不费劲便构造出S并取走奖赏。

系统的程序能证明什么和不能证明什么的问题是图灵提出的，当时他还只是剑桥大学的学生。为解数学问题数学家们常提到“操作变换的”或“机械的”程序。图灵思考是否能设计出一部机器来完成这些事情。这种机器奴隶般地按事先决定好的指令顺序工作，不需人的参与便能自动决定数学语句的真实性。图灵想象类似于打字机的某种机器，能够在页面上打印出符号，但附有能读出或抹去其它已知符号的性能。这种机器有一条无限长的纸带，上边划分成许多小方格，每一方格带一个符号。纸带每次移动一方格，读出符号，而后或者留下，或者抹去该符号，或者用别的符号取代之。

虽然看起来原始，图灵机在概念上是现代通用计算机的先驱。它所做的是通过置于机器结构内部的系统程序把一套符号转换成另一套。实质上，普通的数学归结起来正是这种符号转换。例如5×6，由符号串30取代三个有序符号5，×和6。别的数学计算，或许十分复杂，只不过是同样基本程序的精心加工。一部图灵机，不管其活动指令系统多么简单，只要在上边工作的时间足够长，总能够研究复杂无比的数学语句。

设想有一部图灵机，给它指令以计算某些数。如果顺利，机器要执行一系列步骤，在纸带上输出数，而后停机。原则上可以假定，任何数都能通过此途径计算。自然有某些数，例如x，小数点后有无穷位，因而其计算准确度只能达到某种特定程度。其计算误差，通过延长计算步骤数便能任意地且有系统地减小。

图灵的伟大发现在于：有的数在图灵机上是无法计算的。他的做法是这样的。设想用名字来代替数。考虑表列出六个字母的名字，譬如说：Sayers，Atkins，Piquet，Mather，Belamy，Panoff。现执行下述简单的程序：取第一个名字的第一个字母并按字母表顺序下移一个位置。给出字母T。同样取第二个名字的第二个字母也按字母表顺序下移一个位置，第三个名字的第三个字母也照此办理，如此继续下去，结果为“Turing”。你能确信，名字Turing并没列在原表中，因为它和表中的每一个名字都至少差一个字母。

图灵对数学做类似的论证。设想有一所有可计算数的数表，按小数点展开式列出。（该表格将无限长，但证明的基本形式和上述例子完全相同，任何不在表上的数都是不可计算的，这种情况不会影响证明的基本原理。）在开列的每一个数中按上例做法取一个数字加以改变，组成一个新数。这个新数便不能出现在原表中。但原表包含所有的可计算数。因此，这个新数必定是不可计算的。

无需假定，不可计算数是“常态”数中稀疏的歪数，它们必然有无穷多。事实上，不可计算数不属于常规而属于例外。正如存在不可计算数一样，也存在各种各样的不可计算的数学运算，在计算机上试图进行这种运算是徒劳的，机器总是发出突突声。

已知存在不可计算数学，那么就会出现这样的问题：物理学定律是否总能按可计算的运算加以表述。与此紧密相关的问题是：物理过程是否总能在足够大的计算机上模拟。通常假定，对二者的回答都是肯定的，实际上，某些物理学家已走得很远，提出整个宇宙就是一种巨型计算机。（《宇宙是一部计算机吗？》见本刊1991年第5期——译者注。）

芝加哥大学的R. 杰罗奇和圣巴巴拉加里福尼亚大学的J. 哈特尔提出了相反的观点。他们的见解是由研究量子引力产生的。按照量子力学法则，一个量子态可以通过许多不同的经典态叠加来描述。例如，莅经典物理中，一粒子在空间由A运动到B可通过这两点之间确定的轨道进行，量子描述则要考虑之间所有可能的路径，通过所谓的“路径积分”在数学上把它们合到一起。路径积分可用于预测粒子的最可几行为。

量子引力不是按粒子而是按时空几何结构考虑，因为引力场表现为时空几何结构的翘曲或扭曲。粒子的众多路径对应于众多时空结构，它们必须通过与路径积分相当的普遍法则合到一起。然而当考虑到时空不仅可能有不同的几何结构，还可能有不同的拓扑结构，数学开始难以处理。空间的或时空的拓扑结构指的是其整体结构的连接方式。例如一个二维表面，其整体结构形式可以是一个球，一个环，一个无界的平面，一无数相互连结的环等等。对于四维时空存在类似的拓扑结构。

量子引力特有的处理方法要求各种可供选择的时空拓扑结构通过适当的路径积分加以计算并合成。有计算“孔洞”、缠绕、结点数目和其它空间拓扑特征的数学程序，杰罗奇和哈特尔发现有迹象表明，当把这种程序用于计算包含在路径积分中的全部时空拓扑结构时，运算是不可计算的：企图进行这种计算的图灵机或通用计算机将永不停止。他们推测，这可能是一座冰山的顶端，我们凭什么来保证自然界之书是周可计算的数学语言写成的呢？

对于包含有不可计算数学的物理理论，这将意味着什么呢？科学方法的关键特征在于，理论工作者能明确预言某些可测量参数的值，实验工作者于是能不迟疑地前进，以某种精确度对其验证。一个很好的例子便是电子的磁矩，在科学中它是最好的试验预言之一。这个参数已经被测量到九位有效数字。用量子电动力学非常确实的理论，它的值能正确地计算到这个同样令人吃惊的精确程度。然而，这种对比的成功取决于理论工作者有能力提出一个误差范围附加在他或她的预言上。假设某参数的值而不知其精确度，该值对理论工作者做预测是没什么用处的。

在不可计算的情况下做预测，科学家面对的正是这样一种不确定性。这并不是说不可能把理论和实验相比较，而只是说预测不能由“操作变换的”计算工具做出。用灵活的数学技巧仍然可能获得清晰的预测精确度范围。但没有系统的方法可以做到这一点。作为替代，理论工作者不得不在改进各理论和实验的比较方法中，使用越来越具独创性的方法。

这种情况将使数学物理成为一门几乎无法处理的困难学科。正如杰罗奇和哈特尔所评论的，科学进展最困难的部分首推寻找一个好理论。实际运用该理论一般是直截了当的，虽然有时很麻烦。因此，靠牛顿的天才创造力才能表述他的运动定律，但应用这些定律却仅凭仪表操作的计算能力就行。在不可计算物理的情况下，发现理论和应用理论之间的关系会戏剧性地改变。有可能提出一个颇具吸引力的理论而实际上不能应用，因为没有人聪明到能想出如何“解”它。

爱因斯坦说，上帝是神秘不可思议的但并不怀有恶意，我们必定希望，物理定律最终是可计算的。果真如此，就会招致各种各样令人感兴趣的科学和哲学问题。究竟为什么世界构成的基本原理能用“切实可行的”数学来描述？这种数学能力在人类是如何逐渐形成的？

牛津大学的D. 多伊奇提出了一个更令人感兴趣的问题。他指出，计算的实际过程有赖于物理定律的自然本性。我们叫它计算机的东西不得不遵守力学定律。我们能设想具有完全不同定律的另一种宇宙，因而计算机遵守非常不同的原理。在这种假想宇宙中所进行的数学运算在我们自己的宇宙中是不可计算的，反之亦然，有可能存在这种情况吗？在这些另一种世界中物理定律根据它们的定义也是能够计算的，我们能做这种期待吗？或者是否只有我们的宇宙才享有定律与可计算性的自调的相互依赖性这种乐趣呢？

[New Scientist，1992年3月21日]