新一代数学家一反过去那种定理加证明的传统做法，新潮数学家们喜欢独自用计算机做思考问题的实验，但因循守旧的人担心这样做会使数学失去具有特色的东西。

2300年前欧几里得编写了一本在整个数学中最有影响的书——“几何原理”。由于对古希腊几何学中的基本发现作了精辟证明，因而从那时起它就令数学家们着迷。欧几里得还建立了一个简单模式：数学就是你可以通过一系列的逻辑步骤演绎得到的东西。在此模式基础上，数学家建立了现代科学的语言。在2000年后的今天，上述模式已开始出现裂纹，这些裂纹正在使整个数学世界破裂。

促使上述巨大变化发生的根源是计算机。计算机是一代数学家的发明，又被下一代数学家当作孩子们摆弄玩具丢弃一旁，但这种简便的计算处理机现在又卷土重来缠上我们这一代人。它可使数学家有能力在自己办公桌上完成亿万次复杂计算。从而导致产生一种研究数学的全新方法，人们称它为实验数学。

实验数学家像大多数其它科学家那样用归纳法来获取知识，而不是通过一步一步地演绎证明，一般科学家是在现实世界的局部中做实验的，而新数学家却是通过查找存储于计算机内部的抽象世界模型来进行实验的，过去数学研究结果往往是一篇对某定理进行证明或否定的科学论文。现在，它可能是一些色彩艳丽的图画，以及兴奋的高叫：“瞧，我发现了什么！”

至于欧几里得的证明，如果仍然需要它们，那么，这将可能是别的什么人的工作，一部分数学家则忙于实验。

虽然中、小学生们花费很多时间来学习一门叫作“数学”的科目，他们对数学家究竟研究什么知之甚少。学校主要讲授一些计算方法，这些方法对于作数零钱或计算炮弹弹道之类事是很有用的，掌握这些方法很不容易，这正是数学在学校里很难学的原因。而专业数学家主要关心的是，证明这些方法是有效的，这完全是两回事。

说得深入些，所有的数学都仿效欧几里得的例子，都以若干条公理为基础，这些基本公理就是确定研究领域的基本规则。公理如“两点之间最短距离是直线”是假定的，而定理如“三角形内角之和等于180°”则是在一个从公理逐步推导出来的。进行推理叫证明的过程中，利用逻辑规则。不同干其它学科，数学在20世纪仍然是一门统一的学科。事实上，近年来最壮观的研究工作是把一些分支学科重新统一起来。例如，拓扑学，一种新几何学，这里，任何形状都可以被随便拉伸但不允许割开，在与分析学结合后，产生了80年代受物理学家欢迎的超弦理论。但是，实验数学的脱颖而出正在引起某种分裂，这种分裂已对基础物理之类的其它科学产生很大影响。

昔日，数学家们在独自以个人的聪明才智同玄秘作斗争时，仅仅依靠黑板和粉笔为武器，整日梦想着构筑一条使某定理得以证明的成功之路。今天，他们可以怀极大热情，花费更多的时间摆弄一台个人计算机，有些人已开始称自己为实验学家。他们同过去的同事们坐在一起显得十分尴尬。有的大学已开设实验数学系。“实验数学”杂志即将创刊，总编辑是考文垂市瓦尔威尔大学的几何学家戴维 · 爱泼斯坦（D. Epstein）。

“原先，做实验就是用笔作计算，把你认为可能是正确的定理的各种特殊例子都试验一下。”爱泼斯坦说，“然后，当你找到足够的证据使你相信它是对的，你就着手证明它。这就是（卡尔）高斯大量使用的方法。他的未发表的笔记中有大量的计算。”

事实上，这种数学实验跟数学本身一样古老。直角三角形毕达哥拉斯定理是古代巴比伦人发现的，这一发现实际上要比毕达哥拉斯早几百年。毕达哥拉斯后来证明了它，但是该定理是经验地发现的，有实际经验的人发现了它，接着它成为大家公认的事实，然后它被证明，这正是实验学家们希望看到未来数学取得更大进展的方法啊！

但在相当长的时间里，数学家工作中的文化因素使他们低估了实验工作，因为上面提到的那个定理最终是以其证明者毕达哥拉斯的名字，而不是以率先发现它的巴比伦人的名字命名的。爱泼斯坦曾因为隐瞒了他的实验而深感内疚，“典型的例子是我写的那篇140页的论文得了奖。”他说“整个事情都是以计算机工作为基础的，但论文则只是从理论到理论。这篇论文是两年研究的成果，其中只有半页计算，研究的整个方针、怎样选择实验对象以及下一步如何做，这些都是通过实验确定的，但是关于所有这些我只写了半页纸。”现在，爱泼斯坦要使实验从幕后走到台前。

要实验地发现毕达哥拉斯定理，巴比伦人一定画过许多不同的直角三角形，并将它们斜边平方的大小与另外两边的平方进行比较，这些工作可以在几天内在沙地上完成，但是若想依靠人工方法做今天数学所要求的复杂计算则需花费长得多的时间，计算机不断增长的计算能力能让人毫不费力地解决大量这类计算。这反过来也激励人们来做实验。例如，只有计算机的出现，我们才有可能描绘一幅混沌图像。

虽然计算机对于许多上年纪的英国研究者来说仍然是件不太熟悉的工具，但许多年轻的美国数学家已对它运用自如了。有些程序，如Steven Wolfram数学包，可做通常需要大量时间的常规计算，这种程序能免除人们解多元方程组时的繁琐和枯燥，并使先前数学领域里那些乏味的东西重获吸引力。过去10年里人们为特殊领域里的实验设计了一大批更好的程序。例如麻省理工学院的麦考利程序，使关于算术一般化的理论、叫作环论的一部分内容恢复生机，这个程序的出现已有5年多了。Axiom——IBM的一种新程序用于证明数学定理也取得了成功。

爱泼斯坦及其同事认为，不厌其烦地花时间编写用于实验的新程序是值得的。因为实验能培养人的对于数学的理解和直觉。实验数学为我们开辟了新研究领域，向人们展示了一批新成果，还为旧研究领域带来解决问题的新技术，新方法。人们在这里感到数学的创造精神真正得到解放，但是有人担心会为此付出代价。还有些数学家害怕数学将完全失去有特色的东西。他们说，数学之所以如此强大，完全是因为它所包含的东西都经过证明。过去依赖直觉知识建立起来的定理出现了错误，完全以实验为根据建立的定理可能也会如此。

对于实验太多和证明太少的普遍关注，使人们对分形研究的质量究竟如何进行激烈的争论。分形研究领域对于外界来说是实验数学的一个典范。像英国海岸线那样的蜿蜒曲折的形状，无论人怎样靠近它看依然如此蜿蜒曲折，研究这些内容的分形几何近来备受青睐。分形几何大约诞生于70年前。20年代法国数学家尤利亚（Gaston Julia）证明了有关分形的定理。很多人仍然不知道分形，因为它不同于一般几何形体，不能用一支铅笔和一张纸描绘。“我认为我的责任是研究它，但它并不是很有趣的。”阿尔福斯（L. Ahlfors）回忆说，他是84岁的哈佛大学的几何学家、菲尔兹奖的获得者（该奖相当于诺贝尔数学奖），他感受到了使该课题被一时遗忘的乏味。

计算机给分形几何带来了新的生命力。在60年代曼德布罗特（Benoit Maudebrot）开始用计算机描绘分形图形。他的名字被用于命名一个最著名的分形集合。一下子，每个人都能看到了曾经只是尤利亚头脑中的幻想的那些令人惊讶的图形。今天用计算机画一张分形图比证明它要容易得多。

3年来，曼特布罗特和美国圣路易斯市华盛顿大学的数学家克朗兹（Steven Krants）陷入一场关于研究分形究竟有无价值的争论之中。克朗兹认为分形如此流行，以致充斥世界一流物理杂志“物理评论快报”三分之一的版面。克朗兹说，分形研究只是赶时髦，漂亮的分形图形大量涌现，然而这方面的理论研究结果却很少。他说这一课题的研究并不费力，从事这方面的研究毫无意义，最终将只会昙花一现。更糟的是某些数学家担心做实验就像浮士德与魔鬼做交易，现在高兴，以后就会苦恼，因为他们还必须澄清那些混乱的证明。曼德布罗特则坚持自己的观点：是的，只有证明才算数；但是，分形的研究工作是富于想象力和启发性的。这些研究深化了我们对大自然的理解，因此是有意义的，不管你是否相信它已解决了任何深奥问题。

关于数学是什么的竞争观点正在朝两个完全相反的方向发展。很粗略地说，克朗兹他们认为数学主要是证明，而曼德布曼特等人却认为数学主要是理解。追求理解的研究者可能会舍弃证明，而追求证明的研究者则可能失去深入理解问题的机会。要么证明，要么理解，要么欧几里得几何，要么实验数学：这是一场数学灵魂的搏斗。

爱泼斯坦正在试图让上述矛盾相互融通。他说：“我的价值观念将继续把证明置于较重要的位置，我也同样赞成另一个观点，即理解是本质的东西。但如何表示你已理解了呢？如果某人在做了一些计算机实验之后就说：‘现在，我已明白是怎么回事了。’并且不再做任何证明，这将引起绝大多数数学家的愤慨，现在这种做法具有诱惑力。”

欧几里得方法与实验方法之间的对峙，在对曼德布罗特集的争论中达到高潮。在这个领域中已解决的很少的问题之一，就是曼德布罗特集究竟是一些孤立岛，还是单连通域。曼德布罗特集看上去像一个衣着华美的人，更靠近一些看它，就会又露出许多更小的衣着华美的人，它们散布在整个集合中。问题是，那个大衣着华美的人与许多小衣着华美的人是否由一些卷须式的环连起来了。这里，实验在寻找答案中的作用得到了显示。

诚如克朗兹与其他数学家指出的那样，如果你看到图形，你会认为这个集合是不连通的，不论你怎么靠近看，画面上仍存在孤立岛。但事实恰好相反，曼德布罗待集是连通的。这说明由实验得到的直觉并不真实。克朗兹得出的结论是，即使在实验数学的心脏部分，新方法仍可能失败。欧几里得。

不过科耐尔大学的哈巴德（John Hubbard），他是揭示了曼德布罗特集的连通性的论文的作者之一，追忆的发现过程不是这么一回事。在一连数小时观察了曼德布罗特集的分形图后，哈巴德开始相信它的确是连通的。他说，图形起了主要的激励作用。哈巴德继续说：“我们主要是通过思想实验而不是计算机实验而得出曼德布罗特集是连通的这一结论的。不过，他又补充说，看了图形之后/我们深信在局部基上它是连通的。我们试图设想它在一定条件下会出现什么，但似乎有拓扑学上的矛盾。”他还说，他得到的并不完全是证明，而是对在获得证明的过程中发生的东西的充分理解。至此，欧几里得数学与实验数学战成了1：1。

曼德布罗特集出人意料的连通性正是数学家们在过去100年里坚持形式证明的原因。很容易断言曼德布罗特集是不连通的。在其它学科中一直有这样的断言，然而维多利亚时代数学家已经发现，对于数学来说，这可能是极有危害的。

研究奇形怪状的数学

19世纪，数学中出现了一系列明显矛盾，牛顿与莱布尼茨的微积分基础被动摇了，特别，意大利数学家皮亚诺（Guisθppe Peano）发现了一种形状怪异的线，它虽然是一维的，但却充满了整个二维平面。

问题在于，数学家变得懒惰了，他们没有足够严格地遵循欧几里得模式，不再根据基本公理进行严格证明。他们做了一些假设，因而定理的证明失去了严密性，他们的曲线概念并不准确。并且因为关于曲线的不同假设可以在论证的不同阶段引入，它很容易导致矛盾。他们的许多定理仅仅通过对某些简单事例说明而得到“证明”，随后便推广到全部可能情况。

对上述状况补救的方法是坚持对每个假说作严格证明。许多习惯于松散的、直观的思维方法的数学家不喜欢这种想法，然而严密的方法获得了胜利，正像外尔（H. Weyl）所说，逻辑成了使数学家保持健康和强壮的概念的卫生学。在一个有教养的数学家团体中，你在把一个定理放到桌上前，你必须先把手洗干净。

维多利亚数学家在处理创造性与严密性之间的冲突时，选择了他们那个时代的主流——严密性。今天，数学家又要处理同样的冲突。但是我们现在的标准已不同于维多利亚时代。年轻的美国数学家致力于研究实验数学最努力，已养成酷爱自由性格的新一代科学家需要自由数学。他们不再查欧几里得数学的束缚。

然而，瑟斯顿（Bill Thurston）指出，这主要是技术的发展而不是社会的发展。计算机刚刚强大得是以开始帮助数学家。他说：“数学即思考，人类大脑所能进行的思考十分惊人。因此在计算机给予帮助之前，人类的大脑的思维已经相当宽广高深。”然而，瑟斯顿显然是非维多利亚式的数学家。他说/计算机的出现不仅仅只是有趣，它正在改变整个时代，人们将致力研究各种更复杂得多的现象。”实验对于他来说是解决数学问题的另一途径，并且它完全不同于通常的研究方法。他说，看到年轻人给年龄大的人讲授计算机知识是很有趣的。

有争议的是，瑟斯顿要求正式承认好实验的作用，无论他们是否与某些定理有关、他因为他的工作实验的同事工作在数学界得不到承认而感到不快。为此，爱泼斯坦最近提出学院要建立新鉴别标准，要从证明转向理解。他希望也把博士学位授给编写有用的计算机程序的人，而不仅仅是只给从事理论研究的人。

新一代喜欢自由思考的数学家们学会了用的计算机来改变他们每天研究问题与思考问题的方式。在大部分数学家的一生中，在他们的高，度创造力爆发的间隔期间，常有数月甚至数年出不了成果，实验方法则是让他们渡过这无法取得成果的间隔时期的一种方法。因为实验向人灌输对定理的真实性的信仰，在数学研究中，如果你坚决相信某一定理，你就会常常很容易证明它。如果你有怀疑，则在试图证明该定理是否正确时，进展就会很慢。实验能让你加快研究速度，尽快出成绩。

当然，就像曼德布罗特集的连通性情况，如果你相信了不正确的东西，你就可能走错方向，不过用实验方法已作出了大量的发现。发现了非欧几何的维多利亚数学家正在试图证明这些东西不存在。任何方向的进展总比什么也得不到要强。爱泼斯坦说：“我认为很多人会从实验中得到更多的令人满足的东西。你有了那么多抽象的东西，即使你是研究纯理论的数学家，也会得到许多。开始把它与数连系起来就觉得它不怎么抽象了，对此我当然很满意”。

数学家们始终在做实验。他们一直在乱涂乱画，摆弄和检验各种例子。这些是枯燥单调的数学的一部分，而改变的是实验规模，从前数学家用在这方面的时间也许是数小时或数日，而今天他们花费的时间可能是数月或数年。

数学本身可能真的已进入实验数学时期，在欧几里得时代2，300年后的今天，数学家们也许要稍许不拘一格了，当维多利亚数学家发现非欧几何时，他们认为欧几里得几何已经推翻，但他们仍在使用原来的方法进行研究。可能只有到现在，100年以后，新自由的愿望将最终实现。也许欧几里得的《原理》不是基本原理。

［New Scientist，1991年8月3日］