这不是一篇线性代数发展史的文章，我想要做的是表述我个人关于在近60年里线性代数发展的一些方方面面的观点。

60年前，四维空间成为科学假设的主题。四维空间也是关于相对论的许多通俗写作文章的迷人题目。在广泛使用的教材中，“线性代数”名称并不是初次登场的。线性变换被视为无须涉及向量空间结构的变元的变化，事实上，“向量”一词在主题索引中是不能找到的。第一本关于线性代数的现代课本，例如Schreier（施雷尔）与Sperner（斯佩纳），还有Van der Waerden（范 · 德 · 瓦尔登），是大约60年前出版的，但是开始时并没有广泛地传播到德国之外。尽管Peano（皮亚诺）关于向量空间公理已经在1888年他的书给出，可是一直到1923年~1932年关于向量空间公理才出现在Weyl（韦尔），Van der Waerden，Banach（巴拿赫）和Von Neumann（冯 · 诺伊曼）。

随后在1931年，Weyl在他的书引言里写道：“线性代数理论从初始必须不断地向前发展，因为这一数学分支（指线性代数，译者注）的基本概念意外地出现在数学与物理学中的各个领域，对线性代数的认识也像微分学原理一样广泛地被人们所熟悉，这多少是有些困难的。”

现今，线性代数出现在数学、物理学、工程、统计学、运筹学、经济学等许多分支中。在这些分支领域中经常出现线性代数的许多新问题，导致了众多重要的结果。线性代数的近代发展不仅受益于与其他数学的和非数学的领域多种多样的相互作用，而且深刻地影响着这些领域。也许适当引述间接的资料Stanislaw Jerzy Les的论述：“思想的跳跃就像跳蚤从一个人身上跳到另一个人身上，但是跳蚤不能咬遍所有的人。”下面，我利用跳蚤跳跃的思想以线性代数与一些数学分之间相互作用的方式来讨论。

组合数学与矩阵论

线性代数与组合数学的交融部分，现今已成为已发展得很好的组合矩阵论。组合矩阵论方向之一是研究块设计、（0，1）矩阵、拉丁方阵、阿达马矩阵等等。另一方向是线性代数与图论相互作用，特别是图的谱及关于图理论方法的研究，包括区域研究及矩阵特征值的估计。

与图论紧密联系的是拟阵，拟阵是由G · Birkhoff，Maclane在本世纪30年代最初引入的，而后Whitney推广了拟阵中像线性相关、生成及线性代数基的基本概念。现今，组合数学的大部分（例如，图论、组合格论、横截理论）能被统一成为根植于线性代数之上的拟阵理论。

由线性代数到凸分析与非线性分析

线性代数深远的影响涉及到线性泛函分析，这是众所周知的。在非线性分析中，Lusternik与Schnirel man的范畴理论与临界点是由Fischer的埃尔米特矩阵的特征值最小最大表示所激发的（以后Courant推广到线性分析）。在对策论与数理经济学中一个重要的结论是冯 · 诺依曼的最小最大定理，它是线性代数中关于双线性形式的定理。这一定理是由冯 · 诺伊曼独具天才的证明给出的，从而开创了关于集值映射的不动点定理。这些不动点定理与一般的最小最大值定理（不再局限于双线性形式），已经成为非线性分析的部分。所有这些定理广泛地应用在众多的数学分析分支（例如位势理论、偏微分方程、单调算子、变分不等式、最优化问题），对策论及数理经济学之中，对策理论激发了线性不等式与应该被认为是线性代数的一章的线性规划的重要性。非线性规划与凸分析只是在这上述发展中自然而然的延伸。另一方面，在线性与非线性规划中对问题的矩阵计算法的研究导致了不动点逼近计算方法与经济均衡的研究。

线性代数与群表示

在非交换调和分析中，两个重要的问题是，等价地说，确定局部紧群的不可约线性表示和已知表示分解成为不可约的。有限维表示理论与古典群几何学被看成是线性代数的分支，群论的组成部分实质上又丰富了线性代数。这对于紧群来说，是特别真实。因为关于每个紧群的不可约表示，是有限维的，由于所有任一紧群上的连续复值函数几乎都是周期的，本质上紧群表示的代数方法的处理（包括很小拓扑的考虑）都是可行的，因为几乎周期函数的冯 · 诺伊曼定理是清楚的。

对于许多重要的群，有限维不可约酉表示是自然被构造出来的。这些表示的矩阵形式的详细计算是可以用统一成特殊函数的重要类别，例如Legendre，Jacobi，Laguerre，Hermite及Tchebycheff多项式，Bessel函数，υ函数，超几何函数来表示。这样，特殊函数的现代理论是与线性代数紧密联系的。

也应该提到的是：李代数的实质内容可以用代数方法处理成线性代数的一个分支。

与数学物理的相互作用

群表示论在数学的许多分支中起着非常重要的作用，这是大家知道的，尤其是在量子力学及粒子物理学中。特殊函数也同样是数学物理的基本工具。

希尔伯特空间中紧算子的许多关于特征值或奇异值的不等式是线性代数中有限维结果的自然推广。这些不等式也同样成为数学物理学的有用工具。

线性代数的另一个重要领域，不确定内积空间几何学及该空间算子的谱理论，是由Dirac的最初在量子理论方面的研究引入的。数学原理是由Pontrjagin，M. G. Krein及他的学派提出来的。现今不确定内积空间有了综合理论。许多重要的应用出现在微分方程，多项式算子束的谱理论，力学，散射理论，量子场理论，系统论等中。

在19世纪关于力学系统振动的研究，曾直接导致了古典数学分析的某个领域（例如Stum，Liouville，Routh，Hurnitz，Liapunov）。由于小振动问题的促进，F. R. Gantmacher与M. G. Krein发展了完全正矩阵的理论，更一般的振荡矩阵开始于1935年。这美妙的矩阵分析不仅应用于力学系统与微分方程中，而且应用于样条函数的内插法、随机过程，以及统计决策理论中。

与复分析的关系

线性代数（或者更一般地，算子理论）与复分析的交融处是非常丰富多彩的，并且不断地迅速向前发展。对于算子理论与复分析相互作用，带来了巨大的技巧并且加强了它的深度。复分析在算子理论方面的最早出现是泛函演算。现今，复变量算子值解析函数理论已得到了很好的发展。许多在开的单位圆盘上有界解析函数的古典结论或者被推广到半平面上或者类似许多算子值解析函数的结论（特别地，关于内插法，因子分解法，积分表示法的结论等等）。这样在古典复分析中熟悉的人各一一Schwarz（许瓦尔兹），Pick（皮克），Fatou（法都），Carathéodory（卡拉凯渥铎利），Hardy（哈代），Blaschke（布拉施克）及Nevanlinna（奈望林纳）——也出现在算子理论的现代文献中。关于在复分析中，有些古典结论，甚至可以考虑它们适当的位置是复的Hilbert（希尔伯特）空间（或所有n×n复矩阵代数）上的线性有界C^ψ，而不是复平面。有时，一个定理是属于算子理论还是复分析（也许非交换复分析）是不清楚的。甚至算子理论的核心部分，例如，算子值解析函数的谱分析或算子多项式，这方面的方法极大地依赖复分析的结论。这种算子理论与复分析的“对称关系”（借用Dick Brualdi在这次会议开幕式上讲话中一语），不仅相互有利，而且也有大量的共同应用，在微分方程、工程、预报理论和随机过程。

上面这些只是我个人的在线性代数与其它数学分支的相互作用的方面一瞥，由于我知识的局限，许多重要的领域（比如，在线性代数与其它多种代数领域的情形）没有涉及。

[《Linear Algebra and its Applications》，Vol. 162/164，1992年2月］