本文给出了数学建模的实用定义，评述了数学建模的发展史；提出了为什么在本世纪过去的30年来，尽管数学课程有了巨大而深刻的改变，但对数学专业毕业生还有那么多的不满之处这一突出问题。另外，本文还考察了数学建模的现状，研究了计算机及信息技术所产生的影响，概述了数学建模及应用未来发展总的基本趋势。

1.引言

“模型”这个词用于不同的领域有不同的含义。它通常是指：“人们制造的用于衡量或代表某些实物尺码较小的东西”。例如，飞机或建筑物的缩微模型。尽管这个词有许多不同的用法，但它却指明一个共同属性，那就是与实物的相似性。

那么，什么是“数学模型”呢？数学模型是指，“为了更准确地理解和分析现实存在，并预测其未来发展，从而做出的现实存在的数学表述或转译。

“数学建模”是指建立并运用数学模型的过程及技艺。当然，这绝不是简单的工作。

在这里，我们不打算详述数学建模的方法学。有关这一内容的文献非常丰富。例如：Bender（1978），Cross和Moscardini（1985），Maki和Thompson（1973），Meyer（1985），Saatie和Alexander（1981）等的著述。

显然，数学本身自始至终充满了数学模型。比如下述故事所及：有一位双目失明的牧羊人，每天清晨坐在羊圈口，当他放出一只羊时，就将一颗小石子放入口袋。而到晚上，则当收入一只羊时，就从口袋里取出一颗小石子。

纵观历史，回顾17世纪末叶牛顿和莱布尼兹独立地做出划时代的发明——微积分，具有重要的意义。在微积分发明之后的一些年里，研究者们主要是运用微积分及建立数学模型过程中产生的某些新概念研究自然现象。例如，牛顿的引力理论，麦克斯韦的电磁理论以及爱因斯坦的相对论。

然而，到了本世纪，由于计算机的发明带来的技术革命，各种各样的社会和经济因素、20世纪的战争，这三者导致了将数学划分为纯数学与应用数学，粗略地说，纯数学是研究数学自身的问题，而应用数学关心的则是数学的现实运用。

20世纪还出现了所谓的“现代数学”或“新数学”运动。它大致包括苏联第一颗人造卫星上天后，争论开始及延续两个阶段，即70年代回到基础的呼吁及80年代信息技术的迅速发展对教育体制和数学课程的影响。这些可从全球范围的文献中得到考证。在此，我们就不再花费时间概述或讨论它们了。我们关心的是，正如Arora所说：“尽管在数学教育中发生了如此巨大而深刻的变化，但为什么在世界范围内对我们培养的高中毕业生的数学能力越来越不满意？为什么从学校出来的受过教育的人常常是数学盲？”任何一个当今从事数学教育的严肃思考者，不论其国度如何，文化背景怎样，都将面临这一带有根本性的问题。

具有讽刺意味的是，在许多国家数学课程改革带来的间接后果之一却是人们对数学在现实生活及周围环境中的应用更感兴趣。人们对建立现实世界与数学联系的重视导致了将数学建模作为重要内容引入中学及大学的数学课程。然而，有关建模的课程相对来说还是较少的，特别是在中学课程中。但不管怎么说，共同可肯定的一点是，可应用问题的范围是扩大了，一些重要的建模论题作为初等或高等教育中不同程度的数学课程的一整块被包含在导论中。

2.数学建模及应用的现状

直到20世纪20年代，中等数学主要讲授算术、代数、欧氏几何和一些可能的18世纪的微积分。而大学数学课程是建立在这些预备知识基础之上的。这种模式几乎遍及全世界。

19世纪数学所发生的具有深远意义的巨大变化，给中学及大学数学课程的改革带来了新的丰富的内容。这些变化包括，数学思维严密性的引入和恪守、继Cantor集合论之后新研究领域的出现、纯数学与应用数学的划分、卫星时代的开始、现代数学的诞生及其它领域的发展。概率论、统计学、集合论、逻辑学、变换几何等都渗入了学校的数学课程。学校中出现了纯数学及应用数学专业，并设置了相应的学位。有关静力学、动力学、流体动力学的传统课程也让位于已形成规范的分析学和抽象代数学课程。

传统上，数学的应用是指应用数学中的例子。比如，牛顿质点力学中的问题，或一些杂题如：“一列火车以80 km/h的速度于10点离开车站A；与此同时，另一列火车从相反方向于……离开车站B……”，又如：“如果约翰能在6小时内做完一件工作，而Tom做同一件工作需要9小时，…”。但这种情形已发生变化。现实生活中的一些模型已被人们发展起来并引入课堂教学。课堂教学的重心已从制作问题转移到问题求解上来。美国数学教师全国委员会（NCTM），在其《1980年的行动纲领》的第一条建议中指出：“问题求解将是80年代学校数学教育的焦点”。在其行动号召中，要求：“数学教师应创造适宜的课堂环境，以促使问题求解教学的健康发展”。并“为问题求解所有不同程度的课程发掘合适的素材”。

电子计算机的发展导致了数学应用许多可能的新领域。在教室中使用计算机的不断增多，极大地影响了人们欲掌握计算技巧的愿望和数学可应用的范围。事实上，现在文字解答的真实含义已发生了根本性的改变；并且，由于新技术的使用，一个更切合实际、更富于创造性、更完整的问题求解过程可以在课堂上进行，毫无疑问，大量低成本计算机的出现已使得在课堂上讲授现实生活中问题的数学建模及应用成为可能，并将与日俱增。在NCTM的《行动纲领》的第三条建议中，指出：“在所有不同程度的数学教学中，要充分发挥计算器及计算机的优势”。

这并不是说，数学模型及应用已经渗入并成为中学及大学数学课程中的一整块，事实上远不是这样。然而，在过去的15年来，部分由于新数学过度形式主义的反作用，部分由于数学应用在其它一些分支，特别是地理、生物和社会经济科学中所取得的进展，使得数学建模及应用已被看作是改进所有不同程度数学教学的动力和必要条件。有关数学建模的教学已引起许多数学教育家的重视，并唤起国内外的广泛响应。已引起注意的一些组织和会议是：美国初级学校科学及数学联合会（USMES）、英国的SPODE小组（THESPODE GROUP）、国际数学教育委员会（ICME）、1978年BIELEFELD会议、1987年的ICTMA-3以及1989年的ICTMA-4。

3.数学建模及应用的未来发展趋势

我们应怎样估计数学建模及应用的未来发展趋势呢？我们相信问题求解及数学模型将越来越引起人们的重视，并使其紧贴生活。正如Henry Pollak在1983年关于数学建模的教学及应用的EXETER会议的开幕词中所说“社会为我们提供了在学校讲授数学的机会，为什么？这并不是因为数学是优美的（它的确如此），也不是因为它可以训练思维，而是由于它是那样的有用”。不过，我们认为仅仅说数学在可以运用于特定问题这个程度上讲是有用的，还显不够。总之，数学和数学教育与社会及文化不断增加的联系，必将反应在数学的问题求解之中，建模练习和它们的应用将成为未来的主题，并将与社会及特定的文化内容更紧密的联系起来。

我们预言数学课程未来的变化将包括：数学在现实生活或现实世界中的应用以整块的形式出现，同时还保持基本概念与应用间的平衡。这将需要大力发掘强调问题求解与概念建立同步进行的教材。这样的教材将更好地满足教师在课堂上独立地创造一个适宜的教学环境的需要。在这个环境中、学生们将首先面临着一个从未见过的新问题，然后被激励着在整个建模过程中不怕冒风险，大胆尝试新概念，勇于奇想怪论，积极从事横向发散性思维。毫无疑问，这样一来就对教师的培训提出了一些非常现实、亟待我们解决的课题。

数学课程的改进将必然地需要计算器、计算机和其它计算工具的帮助。未来的电子计算机将变得功能更强、速度更快、体积更小、价格更低，并将影响每个人的生活方式，这样就需要设计和开发更多新的计算机硬件及教学软件。这些软件将创造出适合多方面教学需要的环境。另外，社会所需的计算技巧的进一步发展将是确定无疑的。这些计算技巧必将影响进入课堂教学的建模环境。然而，我而应看到发展中国家与发达国家间在计算机及信息技术领域的差距将依然存在。这个差距可能缩小，但我们决不能忽视。

我们应清楚地意识到，我们面临着把数学建模的教学从讲授内容到培养并发展学生在数学建模过程中的信心及技巧上来的转移。在采用新方法的教学过程中，学生们将被激励着独立地去研究对象定义问题，并以开放的思维对待新问题，从而设法利用已学过的数学概念和掌握的技巧去研究新情况，最终通过实践得出正确结论。

以上，我们仅仅概述了数学建模未来发展总的一般趋势。由此可略见一斑。对于一些特殊的情况及问题，由于篇幅所限，在此不能一一加以论述。例如，我们已谈到的建模练习将成为教学课程的主题。显然，要开列出这些主题的一个清单，哪怕是其中的一小部分都是非常困难的，另外，我们也指出除非在教师的培训中对数学建模给予足够的重视，否则将会给教师带来很多的问题。

[译自《Teaching of Mathematical Modelling and Application》，1992]