绕着靠近黑洞的轨道运动的物体觉得离心力是向里推而不是向外推的。这个佯谬效应对天体物理有着重要意义。解决这一问题必须建立一种新的框架：光学几何。

如果你乘汽车在公路拐弯处行驶，你就有了受到离心力作用的体验：它从拐弯的曲线中心向外推；如果汽车的速度加大，离心力也随着增强。最近，我与印度阿默达巴德物理研究实验室的同事A. R. 泊拉松那一起了解到爱因斯坦广义相对论预言，在某种情况下离心力的方向可以是指向圆周运动的中心而不是离开中心，我们感到非常吃惊。我们现已证明，如果一个宇航员驾驶航天器紧紧靠近一个极其巨大而致密的物体（比如黑洞）运行，宇航员会感到离心力是向里推，而不是向外推的。与日常经验相反，航天器轨道速度增大，向里推的离心力也跟着增强。

根据我们的计算，在紧挨黑洞的区域，不只是离心力倒转方向，而且所有涉及向内和向外的动力效应都倒转方向。这一认识对于理解黑洞物理学的许多问题十分重要。人们认为黑洞是为宇宙间最明亮的星系提供动力的神秘发动机的关键部件。对离心力佯谬的研究已经对这些星系能源行为提出了不少引人入胜的见解。

离心力佯谬的理由是黑洞产生的异常强大的引力场。爱因斯坦1915年预言，引力场使空间扭曲，使光线弯曲。1919年，A. S. 爱丁顿通过测量紧挨太阳通过的光线的弧分折射而证明了爱因斯坦的预言。当光线掠过太阳表面时，太阳的引力场会使光线弯曲千分之一度弱。因为黑洞产生的引力场远比太阳的引力场强，所以黑洞能使光产生大得多的弯曲。

天文学家还没有直接观察到黑洞，但是他们已经收集到足够的间接证据，说服了大多数科学家相信黑洞确实存在。在过去20年里，他们辨认了许多看上去意味着有黑洞的物体，包括一些明亮的X射线源，还有许多所谓活跃星系的心核（通常是遥远星系的明亮心核）。

任何辐射和物质如果过分靠近黑洞，黑洞就把它捕捉起来，有去无回。不能返回的点确定了黑洞的大小或它的引力半径。质量与太阳相同的黑洞引力半径大约是三公里。如果光线在离黑洞表面大约3倍于黑洞引力半径处平行通过，光线弯曲45\最为引人注目的是，如果光线在与黑洞相距1.5倍引力半径处通过，它就成为围绕黑洞的圆形光线。圆形光线是解开离心力佯谬的关键。

20年前，我和J. P. 拉索塔（现在巴黎天文台工作）第一次发现佯谬的线索纯属偶然，那是在华沙天文中心钻研一个有关广义相对论的相当专门的问题，特别是我们正在解一个由我们的学生推导出来的复杂公式。公式提出一种预言：如果一物体绕着黑洞沿着与一圆形光线相同的轨道运动，这一物体会“感到”何种力的作用。那个公式意味着不论物体运动得多快，物体始终感到相同的总力推着它向里。尤其当一抛射体以近乎光速作圆周运动时，无运动的物体在其内部也恰好感到同样的向里推的力。

根据基础力学，离心力取决于轨道速率，引力则不是这样。因此，总力——离心力与引力之和——必然也取决于轨道速率。因为那个公式没有给我们以我们所期望的答案，所以我们认为它是错误的。但是在我们反复细致计算核对他的推导之后，找不出它有什么错误。公式正确，关于沿圆形光线路径运行的物体行为的预言也正确。

物理学中没有真正的佯谬。有时我们可能发现一种佯谬现象，其实是我们固守一种片面的心理图画，阻碍我们理解事物的真正面貌。我和拉索塔认识到沿着圆形光线路径所作的运动显得十分荒谬，原因在于难以接受这样的事实：尽管光线确实是圆形的，但在特定意义上，它又完全是直的。

为了形成圆形光线的直觉，可以设想有两个宇航员（比如鲍勃和爱丽思）在黑洞周围的空间站从事实验。太空站是一个圆形管，管的中心正好在圆形光线上，因而管轴和光线路径重合。宇航员知道管轴是圆形的，因为鲍勃已经用直尺沿管长测量了管壁的曲率。但是由于光线是弯曲的，他们看到管子却像条理想的直线。

设想爱丽思把一盏测试灯固定在管的中心，然后她离开灯开始沿着管子行走。对爱丽思来说，灯总是在管子的中心上，决不会因为管子的弯曲而把灯从她的视线中遮盖起来。不论她走到哪里，灯光总沿着相同的圆形路径射到她的所在之处。如果爱丽思向后看，因为她越走越远，灯光逐渐暗淡起来。如果她向前看，灯光则越来越亮。由于灯光沿着管子循环多次，所以她看到了灯的多重像。

尽管爱丽思也许难以解释为什么灯会在她之前和在她之后都出现；还有，她也许对多重象感到迷惑不解，但她一定会得出结论：这个管子是直的，因为管壁始终没有把光遮住。因此，她不会在管内运动的物体上去寻找任何离心力效应。她会推断出离心力应该是零，而且推想作用在管内物体上的唯一的力是引力，引力不依赖于轨道速率。爱丽思只要以她所看见的情况为基础就能够作出各种精确的预言。我把这称作“眼见为实”原理。

在1985年前，眼见为实原理还没有向我展现它的真正意义。那年春天，我在美国加里福尼亚理论物理学会上作了一次关于圆形光线佯谬问题的便餐讲演，有幸同几个相对论专家交谈，其中有巴黎天文台的B. 卡特。我演讲后的第二天，卡特提出了他的真知灼见。他认为，如果物体沿任何光线的路径——圆形的，弯曲的，直线的——恒速运动，维持物体航线的力不取决于物体运动的快慢。物体循着空间光线的路径，但它的速率当然小于光速。

卡特提出，眼见为实原理应当在引力场中处处成立。也就是说，如果物体沿着被一引力场所弯曲的光线路径以恒速运动，则物体的行为如同直线运动。卡特、拉索塔和我后来证明，卡特的意见是正确的，只要相关的引力场不随时间变化。我们得到了一个光学几何的概念。它是一个理解强引力场下物体的动力行为的有用框架。后来，德里斯特天文台的J. C. 米勒与西里西亚大学的Z. 斯杜希里克发现这一框架中动力学和几何学间的若干基本关系；普朗克物理研究院的N. 韦克斯提出一种使光学几何适合于旋转黑洞的美妙方法。

普通空间几何以标准直尺（它确定长度单位）的测量作为基础，而光学几何则依赖于应用光信号的测量。

在普通几何里，测量一条曲线的长穴可以把直尺沿曲线配装起来数一数有多少个直尺单位。空间两点间的距离定义为两点间最短曲线的长度。这种最短曲线叫做短程线（geoolesic）。如果在平坦空间中作测量，或者说，在没有引力场的空间里作测量，短程线恰好是一条直线。

在光学几何里，空间两点间的距离定义为光从一点传播到另一点再返回所化时间的一半。时间用放置在第一个点处的钟来测量。在没有引力场的空间里，光学几何正好与普通几何相同，因为光线和短程线都是直线。因此，在这种情况下，空间几何用光线来描绘。

根据爱因斯坦广义相对论，三维空间和一维时间一起形成四维时一空。在任何有或者没有引力场的时空中，光总是沿着短程线运动，因此，光总是描绘着时-空几何，但是，在一个被引力场卷曲了的时-空中，光线被弯曲丁，一般不与短程线相吻合。所以，在一般情况下，空间不用光线描绘。

光学几何恢复空间几何与光线路径之间的联系，办法是调整所有“真实”的距离尺度（即直尺的测量值），光学几何在应用时许多地方同作一个圆球的平面图的方法相似。光学几何是把一个弯曲空间作成一种简便图形的方法。不过这样做有着一些与普通制图法相同的困难。因为一个球不能用没有某种畸变的平面图表达出来。普通制图法和光学几何中都用一种特殊的图像把某些图形的畸变减至最少而让其余的扭曲不易辨认。图像的选择按照制作图形的目的来确定。虽然在普通空间几何里光的传播与动力学没有联系，但它们在光学几何里却是联系在一起的。

尺度改变在光学几何里的应用是相对论中常用的数学处理方法之一，术语叫保角变换。尺度改变使弯曲了的光线变直，这样它们在光学几何中表现为短程线。

物理学家可以应用光学几何对受空间曲率影响而形成的复杂技术进行分离，以便集中注意于基本的物理结果。这样的保角变换使我们能直觉地理解弯曲空间的动力学，动力学始终与所见现象一致。光学几何圆满地说明沿圆形光线路径运动的物体的表面上的佯谬行为。

借助于光学几何得到的最重要的成果也许是，在特定的情况下空间表现为把里面翻到外面。我是在读了剑桥大学两个研究生M. 安德森和P. S. 拉莫斯的专业论文之后才认识到这一点的。论文中证明，如果气体移动的轨道非常靠近黑洞，则云中的粘滞应力向内转递角动量。这一发现是新奇的，因为粘滞应力通常是向外转递角动量的。对于天体物理学家来说这是个具有基本意义的重要原理。它有助于解释气体云（叫集积盘）绕中心黑洞轨道运行时怎样为有些星系的活跃心核供给能量。粘滞应力趋向于使集积盘的旋转更具刚性。因此盘内部迅速转动的部分减慢下来，而盘外部缓慢转动的部分加快起来。这样，角动量就向外传带出来。

安德森和拉莫斯发现粘滞应力能向内传送角动量，但他们没有能说明为什么。我在读了他们的论文后蓦然省悟到，光学几何提出了这一效应的权威性解释以及几个令人吃惊的类似结果。我发现靠近黑洞的空间向外翻；直尺确定的向外方向与光线确定的向外方向相反。安德森和拉莫斯所描述的情况下，角动量确实是向外传送的，它应当是这样，但是这里的“向外”必须始终理解为光学几何上的意义。在远离黑洞的地方，普通几何的向外方向同光学几何确定的向外方向一致。但是在紧挨黑洞的地方，两者的向外方向是相反的。因此，就普通几何来说角动量是向内传送的。这看起来像是佯谬。

要了解为什么是这样的，可以再一次设想鲍勃和爱丽思在黑洞周围的圆形空间站做实验。不过现在的空间站不是沿圆形光线建造的，它建造在中心在黑洞上的较小的圆周上。鲍勃用标准直尺测量真实距离，爱丽思则用光信号进行测量。为了方便，假设鲍勃和爱丽思常常察看管子（黑洞在管子左边）。鲍勃用标准直尺发现管子弯向左边，他的测量与真实几何一致；如果他直接用手去摸管子，他会感觉到管壁弯向左边。他得出结论，向外的方向就是向右的方向。

鲍勃由日常经验中知道离心力是向外推的，所以他预言离心力应当把物体推向右边。类似地，他会猜想粘滞应力把角动量向右传送。而正确答案恰好相反。

爱丽思做了一套不同的测量，她以亲眼目睹为基础终于得到正确的结论。她要鲍勃手持检测灯离开她往前走，灯也就沿着管轴移动起来。现在如果用某种方法使光线不被黑洞的引力场所弯曲（光线是直的），灯就会消失在管子左部的后面，爱丽思会得出结论说管子是弯向左边的。如果光线是圆形的，灯就根本不会消失，管子看起来像是直的。但是管子紧靠着黑洞使得光线比圆形光还要弯曲。所以爱丽思看到灯在右边消失，得到的结论是管子向右弯。这样，她预言离心力推向左边，粘滞应力把角动量向左边传递。她的预言是正确的，它的正确性受眼见为实原理的保证。注意，就普通几何从管子内部看来，离心力向着圆运动的中心吸引。

过去几年里，光学几何已成功地应用于解决若干天体物理问题，这些问题涉及到在甚强引力场中旋转物体的行为。其中两个最重要的问题是旋转星的引力坍缩和两个叫中子星的极端致密物体的合并。我和米勒已经为旋转星体经历收缩的形状这种奇异行为提供一个简便的解释。应用非相对论理论，人们期望要是气态的旋转物体收缩，因质量和角动量守恒，那它一定逐渐变得平坦。但是1974年，芝加哥大学的查德拉西克汉和米勒发现，根据爱因斯坦理论，收缩的最后阶段，引力场很强，平坦度递增趋势停止了，旋转星变得更圆。我和米勒用光学几何并考虑到引力场中离心力的非常行为，找到这种行为的正确解释。

现在的争论在于怎么可能去测量和确定强烈弯曲空间中的离心力。这促使我和批评者精心地去完成冗长的计算以对立论作出检验。我的大部分工作是在回答Torino大学的F. de Felice提出的几个挑战性问题时完成的。作为友好论战的结果，我采取了一个离心力的特殊定义。我的定义不是唯一的，但是相比之下，其它可供选择的定义说服力较小，用处不大。

为了测量离心力，设想两艘太空飞船在同一个环绕黑洞的轨道上运行。鲍勃和爱丽思分别驾驶其中的一艘。每艘携带两件装备：一台回转仪和一架悬挂在弹簧上的重物。用弹簧的长度可测定它所受的张力，张力等于作用在重物上的引力和离心力的总和。

为了对这两个力进行单独测量，两人就必须改变他们的飞行器取向。他们转动飞行器以使被拉长的弹簧始终指向机身上的一个标志。这样弹簧的方向就固定在飞船上而不是在太空中。另一方面，各飞船上的回转仪始终指向太空中的固定方向，因此它在飞船沿轨道运动时会相对于弹簧的方向进动。

为了测量引力，鲍勃让他的飞船停止运动。他从回转仪不进动中知道运动停止了。这时他可以肯定拉着弹簧的力只有引力。鲍勃将他的结果通知爱丽思。这时爱丽思正在同一轨道上加速飞行。爱丽思测量出拉着她的弹簧的总力，然后减去鲍勃测得的引力就求出了离心力。尽管这种方法似乎很费事，但是有一个好处，就是不论引力场强弱，结果同样正确。

光学几何的实用价值在于它提供了处理广义相对论难题的简便方法。另外，它还是一种有用的教学法，因为它可以导出现代天体物理中相当重要的某些相对论效应的直觉理解。借助于光学几何，这些效应看起来不再是佯谬或者令人迷乱。

从更为基础的层次上说，光学几何说明“向内”和“向外”并不是绝对的概念；在被强引力场卷曲了的空间里它们是相对的。今天我们理解左和右、上和下是相对的，这不存在什么问题。但是在圣经那个年代里，许多人认为左和右是绝对的，这种信仰受到《旧约全书》的支持。几个世纪之前，许多人认为上和下是绝对的，他们不能想象在地球的那一面，人们正在倒着身子行走。也许到下个世纪结束时，说向内和向外是相对的，再没有人会感到惊奇。

[Scientific American，1993年第3期]

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*本文作者是瑞典哥德堡大学天体物理系主任。