（青海大学）
一、问题的引出
在1990年日本举行的第21届国际数学家大会上，4个菲尔兹奖中的3个分别授予了美国的E · Witten，新西兰的V · F · R · Jones和苏联的V · L · Drinfeld。Marc Hindry在他的文章[1]中说：“这个现象并不出人意料，但它却引起了人们对数学的地位和作用的激励和反思，尤其是E-Witten的获奖引起了又一个问题，数学的关键在于论证和严密性，而Witten的工作似乎并非如此，过去的菲尔兹奖总是奖励那些用严密证明的定理作支柱的十全十美的作品，可是这种传统现在受到了挑战，事实上，没有人会对Witten天才的直觉和丰富的假设及猜想提出异议。”
这一情况引发了一场争论，1993年第1号《美国数学学会公报》[2]发表了一篇题为“理论数学——数学和物理的文化综合”的文章（注：译文刊登在《数学译林》1994年第2期上），作者是哈佛大学的Arthur Jaffe和弗吉尼亚理工学院的Frank · S · Quinn。他们提出：“在数学中使用推测危险吗？而数学和物理的相互影响迫使我们提出这个问题，一方面传统的数学法规阻碍着推测，另一方面推测又是理论物理的基础。”实际上，他们提出了一个“不要证明的‘理论数学’是否允许存在”的问题，这篇文章的发表引起数学界强烈反响，在今年4月号的《美国数学学会公报》上，发表了16位数学家关于这个问题的讨论文章[3]，其中包括当代大数学家，菲尔兹奖获得者Michael Atiyah、Willian · P · Thurston、Ren? Thom、Edward Witten以及Benoit B · Mandelbrot。他们提出了赞同的或修正的，也包括反对的观点，就连公报的编辑Palais也说 :"Jaffe和Quinn提出的问题太重要了，他们将这个观点写成文字，这是他们做出的一个贡献。”
Jaffe和Quinn的全文分“理论与严密”、“分工”、“与物理学的旧关系”、“与物理学的新型关系”、“成功的事例”、“一些告诫”、“问题”、“措施”及“结论”九个部分进行阐述。
二、关于严密性的讨论
Jaffe和Quinn建议把数学工作划分为“理论数学”和“严密数学”两个领域。前者指“表示推测及直觉方面的工作”。后者指“与证明有关的工作。”他们认为“证明使数学具有其他任何学科无法比拟的明晰及可靠，严密证明在数学中的作用类似于实验在自然科学中的作用，其作用表现在两个方面：一是为确保数学断言的可靠性提出了一个手段，同时，作为证明的副产品，经常带来一些新的见解及意想不到的数据和结果。”Jaffe和Quinn在承认证明的作用的同时，指出数学中由于严密性的过分追求，阻碍了数学的发展，且使数学变得难懂。加里福尼亚大学的物理系教授Albert · Schwarz认为“数学不必以严密的证明为特征，一些从事严密工作的数￥家有时也不得不进行一些推测性工作，如今，大多数数学家被一个陈旧的观点所束缚，即只有严密证明了的结论才值得发表，我们希望作者的文章的讨论有助于摧毁这种旧观念。”曾获1958年菲尔兹奖的法国数学家Rene Thom说：“数学的严密性是一个相对的概念”。他给出一个非常有趣的词，即“rigor mortis”（意指僵死），这形象地说明了被极端严密化（rigor）了的数学是“僵死”的。
芝加哥大学数学系教授Saunders Mac Lane在讨论中提到了关于数学研究的一个小故事。在1982年，在海湾国家召开的国际数学大会期间，在一个秋高气类的夜晚，Michael Atiyth和他坐在一间屋顶的凉台上就如何做数学研究工作开始了讨论，Mac Lane认为一切研究工作首先给出定义，加以理解这些定义，然后从此出发推理及计算得到一些定理，而Michael Atiyth则不然，他认为，首先对一些含糊不清的东西苦思，试图从中找到或猜想出什么来，然后通过猜想再给出一些定义及定理和证明。这件事说明数学的研究方式会是截然不同的，但到目前为止给出定理证明成为一致标准。
三、关于“理论数学”存在问题的讨论
作者承认严密证明的重要性的同时，提出了他们的中心论点：在数学中需要推测及猜想，应当允许不需要证明的“理论数学”存在。他们认为有关数学结构的知识是分两步得到的首先形成的是直觉认识，由此提出猜想，并推测其为正确的大致纲要，然后，修正猜想和推测，并通过证明使它们可靠。数学发展的初始阶段即直觉的和猜想的工作。Jaffe和Quinn还认为在物理中，已经接受了理论家和实验家的分工，并且最近，这种分工变得更明确，这种情况与当前的数学对照一下，大体上同一部分人既在推测数学结构，又通过严格证明验证他们的推测，这表明数学上还没有出现这种分工。
Jaffe和Quinn认为“数学与物理间的一种新型关系给数学中使用推测方法带来强大的推动力。在一些物理领域中，如‘弦理论’，‘拓扑量子场论’等出现了一股数学热，从物理观点来讲，这种理论物理对自然界的预测尚未达到成熟，有些东西可能存在于现实世界，但无法试验如‘能量惊人的粒子’、‘新宇宙的创立’等，这些情况导致了这些物理学家脱离了他们设想的实验领域，但由于进展来自于理论和实践的相互作用，因此他们找到了一个新的实验群体——数学家。正是数学家给他们提供了可靠的研究结构的有关信息。他们常常给数学家讲述他们的推测以刺激新的‘实验’工作，这些物理学家做的正是‘理论数学’，因此，数学界一些人尤其是那些资深的数学家肯定了他们的工作并建议仿效，有些人就转向更具有推测性工作的方式。”
在讨论中，许多数学家赞成在数学中使用推测和猜想。Michael和Atiyh说：“数学的真正生命在推测之中”，他赞同Jaffe和Quim的大部分观点，特别是关于区分基于严格证明之上的结论与基于推测之上的结论的重要性，他说：“数学要更新自己，开创振奋人心的新领域，那它就允许有一些新思想及新技术的探索。数学历史上充满了一些缺乏严格性而好的激动人心的例子，如欧拉发散级数的应用等。
Jaffe和Quinn在回顾历史时，注意到推测和猜想所受到种种遭遇。例如关于三维流形中二维胞腔的“Dehn引理”，在1910年被提出来时，以后一直被认为是一个重要的猜想，到后来发现了一个错误。还有代数几何的“意大利学派”在本世纪初10年辉煌的推测之后，由于它的基本假设未能证实而松弛下来，Rone Thom关于微分流行的早期工作是卓越的，而且总体上是牢固的，为此获得菲尔兹奖，后来关于奇异性工作却不是这样严格，著名数学家、菲尔兹奖获得者Willam Thurston关于Haken三维流性结构的“几何化定理”是另一个常被引用的例子，一个很漂亮但缺乏充分提示的宏大见解被提出了，但是证明从未完整发表过，对许多研究者来说这个未被证实的断言很难理解，但最后人们终于理解了，Thurston的结果是完全正确的。
耶鲁大学数学系教授Benoit · B · Mandbrot将AMS（美国数学学会）成员们讽刺为Charles数学家。他认为这些Charles数学家们可能会接受Jaffe和Quinn的观点，他则不然，他讥讽说“几个主要人物仅‘通过’一些没有实际证明的论断而备受奖励，这大大伤了一些Charels数学家们的感情，”他说历史上不断出现一些具有最高数学天赋而没有屈服于像Jaffe和Quinn文中提到的那些压力的人，如果真的屈服了，他们离开了数学，对每个人都是很大的损失。
他列举两个人，第一个是概率论家Paul l?vy（1886-1971）、他那时代的法国风格的Charles数学家们常常谴责他没有完整地证明过任何东西，但他仍坚持，产生了一些杰出的惊人般直觉性的“事实”，这些事实可能仍“不完整”，但人们仍在研究它们，为此得到了一些回报。一直到他71岁时，这位大概率学家从未被允许教概率，你难以想象以何种方式折磨了他的大半生。
第二个人是Poincare，在近期出版的一些Hermite（他的导师）给Mittag-Leffle的信中，经常有一些抱怨说Poincae不愿理会叫他发表一些完整的证明的好意劝告，认为Poincare不可救药，Hermite和E · Picard避开Poincare，不让他教数学，只让他教数学物理及天文。Poincare的1895的《位置分析》长期无人理睬，但那是拓扑学的开端，说这一作品不严格可能是对的。但如果Poincare敬畏于Hermite和他的同事，而去弄清楚怎样加以严格化并等待发表，难道情况会更好吗？
四、关于一些问题及措施的讨论
Jaffe和Quinn针对一些问题如“青年研究者的导向”，“关于研究公报”，“理论数学文章的标志问题”，“荣誉分配问题”等，提出了一些措施，想把数学基于没有证明的直觉上产生的危险降低到最低限度，他们认为应该将猜想和严密证明清楚地区分开来，要承认理论工作的不完整性，在一篇理论性文章中应该使用标准术语如用“猜想”取代“定理”，用“预测”取代“表明”，用“启发式说明”或“支持性论据”取代“证明”等，文章的标题中应该用“理论性的”、“推测性的”或“猜想性的”等术语。可Jaffe和Quinn说“如果采取一些措施，‘理论数学’和‘严密数学’分叉现象发展更快，带来的麻烦会更少。”Machael Atiyah指出：著名的魏尔猜想最终由Deligne给出证明，难道魏尔就不该得到荣誉吗？荣誉取决于猜想中使用的方法及证明思想的相对重要性，Rene Thom建议可将理论文章分为三类；第一类文章的标志是“婴儿的摇篮”，这类文章是“活的数学”，允许修改、补充，可进一步发展。第二类文章的标志是“坟墓十字架”，它们已经是严密化了的“死的”东西，是“坟墓性数学”。第三类文章的标志是“教堂”，这类文章是权力至上的，对它们应仔细审核以便决定其归入“死的”还是“活的”一类。加州大学数学系教授Morris · W · Hirsh建议对已经发表的数学文章，像一瓶出厂的好酒一样，标上生产日期，如果10年以后未发现错误，定理通常认为可以被接受，对每一个证明附一标志，如“计算机辅助证明”、“模糊证明”等，且对每一个给出的定理（有的仅是猜想），都赋予一个值以表示定理有效性的大小。
Jaffe和Quinn提出了一个允许猜想、推测存在的框架、他们的这种设想可能对未来的数学发展产生影响。
参考文献：
（1）Marc Hindry《les medailles Fields 1990》（La Recherche 21（227），1540-1541（1990年12月）
（2）Bulletin（New series）of the American Mathematical Society Vol. 29，No. 1，1993年7月
（3）Bulletin（New series）of the American Mathematical Society Vol. 30，No. 2，1994年4月