你可曾想到诸如人体的两手或两眼的对称（近似对称）现象的后面，正深深地隐藏着主宰我们这个世界的法则！

对称会感染人的视觉，它常与人们对美的感受相联系。本文尝试从关注具体物体的对称性出发，进一步讨论物质世界对称的本质问题——物理对称性。

1.物理对称性

尽管牛顿力学和相对论已提示对称的重要性，但对称性正式成为物理学的一个热点却只有20多年的历史。所谓物理对称性是指物理量与物理定律的对称性，具体说它可包含三个环节，即物理量→变换→守恒。其中，物理量泛指坐标、作用量、量子数等等；变换包括变动、运算、操作、反应、衰变等；守恒即守恒律、不变性、物理量差别的不可区分性。概括地说，物理对称就是使物理量不变的任何变换。

表1中列出迄今为止物理对称性的主要内容 :

对表中多处提及的规范变换略作解释。规范一词来自拉丁语qaugia，泛指标准尺度。韦尔（H · Weyl）在把电磁学和引力统一在一个几何理论的有趣但不成功的尝试中第一次使用“规范变换”的术语。虽然规范变换现已成为物理学的固定词汇，但迄今权威性的词典对此仍不作语义解释。对经典规范理论而言，规范变换在数学上相当于乘一个相因子，即

ψ→ψ'=e^-1θψ （1）

式中：ψ中表示场（例如电子场），ψ'为变换后的场，e^-1θ为相因子，如θ为常数则系整体规范变换，如θ是空间与时间的函数则形成定域规范变换。

以下，我们列举对称性在三个方面的应用：

——预测物理实在

我们的宇宙存在数以百亿计的星系，每个星系又包含数以百亿计的恒星（它们大都比太阳大得多）。宇宙中的粒子是那样多，据估算质子的总数目约为10⁷⁸个，光子的总数目约为10⁸⁸个，而大多数粒子的寿命又不长。自然界的准则之一是：“一切可能发生的事，总会发生”。对于众多的粒子，究竟哪些反应或衰变可能发生？这可用对称性的守恒律分析。例如，质子衰变p—e⁺υ，按电荷守恒，它可能发生；但按重子数守恒，它不会发生（科学家正坚持质子衰变的实验，一旦观察到质子衰变，重子数守恒律不推自倒）。又如，n+υ_p→e^-+p，此反应符合重子数守恒，但它不发生，因为轻子数不守恒。

犹如一张门捷列夫元素表能准确预测哪些尚未被发现但肯定存在的元素一样，依靠对称性能够预测哪些新的“基本”粒子有可能存在。1961年著名物理学家盖尔曼和以色列驻伦敦大使馆武官尼曼（他于32岁时向国防部长请两年假学物理，以后作为萨拉姆的弟子坚持搞业务研究）两人分别独立地提出了描述强作用对称性的对称群SU（3）。该群要求有10个共振态，而当时人们只知道有9个共振态。他们预言，还有一个叫Ω^-的共振态并用对称性原理预言了其所有特性。后来的实验证实了Ω^-粒子的存在，它的特性和预言的一模一样。

——描述粒子特性

鉴于迄今为止，粒子间的相互作用尚未全部搞清楚，因此有关粒子运动的动力学理论尚未建立，对称性便被用作研究粒子性质与结构的“代用品”。

电荷守恒禁止单个带电粒子自行产生，同时它也阻挠电子转变为更轻的粒子而结束其寿命，从而使电了帮助趋近于∞（实验数据表明电子的平均寿命至少大于20万亿亿年）。

电荷宇称守恒要求对玻色子的粒子和反粒子有相同的宇称；对费米子的粒子和反粒子有相反的宇称。

同位旋守恒要求介子π和π^±有相同的自旋，即自旋均为零。

CPT守恒对粒子特性有两个推论，即粒子和反粒子具有相同的质量和寿命；e⁺和e^-、μ⁺和μ^-的磁矩大小相等方向相反。

电荷及电子数的规范变换描述电子和光子的相互作用理论——它能解释树叶为什么是绿色的这样诸多问题。

——深化物理理论

19世纪基础物理的发展过程可以归结为：有关电性质的现象和实验→麦克斯韦电磁理论→对称性（洛仑兹不变性）。爱因斯坦和闵可夫斯基意识到把发展过程的箭头反过来一把对称性作为出发点的重要性！事实上，如果我们已知洛仑兹不变性（它给出了时空统一观和电场磁场统一观），那么甚至不用实验也可推出麦克斯韦方程的框架。

70年代初，科学家借助于对称性使弱作用获得了彻底的解释。同时，绕过传统的强相互作用理论去解释强相互作用的诸多实验结果。用对称性可以分析各种场和它们的相应粒子之间的相互作用。对称性与量子力学休戚相关，今后若发现CPT不守恒的实验证据，那么无疑将动摇量子力学的基础。

从对称性概念能上升到作用量不变性。作用量在牛顿力学中具有力、位移、时间等形式；例如：

作用量=能量×时间=（力×距离）×时间=动量×距离 （2）

广义地说，作用量即动力学变量的某个泛函。数学家和物理学家已经证明这样的规律：物理学的某种对称性是指，在作过与这种对称性相应的变换后作用量不变。值得提到的是女数学家诺特尔，她是本世纪初冲破传统习惯势力走上德国大学数学讲坛的第一位女性，她又是世界上第一个通过作用量分析意识到对称和守恒的永恒联系——一个对称性对应着一个守恒律的科学家。

当代分析对称性的主要数学工具是群论。群论始于19世纪，最初的功能是描述高次（3次以上）代数方程根的对称性。后来，晶体的对称性、空间的对称性，相对论中的洛仑兹群以及量子力学中的李群等，使群论与物理学的结合日趋密切。

所谓群就是带有一个代数运算的非空集合G。简言文，群G是一系列元素的集合：

G={A，B，C，……} （3）

由于群的元素往往用矩阵表示，因此可以认为群又是矩阵的一种组合。例如，SO（3）群——它包含的变换是三维空间中所有可能的旋转变换，是由10个三阶正交矩阵组成。现在，基本上所有的群都已被数学家们分类编号并赋予特定的含义。

这里，我们简述用群表示对称性的几个特点：

对称性的连续变换（如空间旋转一角度后再旋转一个角度）对应于群的乘法。如果两个相继变换不管它们进行的顺序如何，都给出相同的结果，这种变换群称为阿贝尔群；反之，则称为非阿贝尔群，如著名的杨-米尔斯场属于非阿贝尔群。

使用群论往往可以简化繁杂的计算，如可较简单地计算出原子中电子的量子态各种跃迁的相对几率。

物质的相互作用可由对称群的代数结构所确定：电磁作用为么正群U（1），弱作用为特殊么正群SU（2），强作用为特殊么正群SU（3）（夸克可视为SU（3）的三重态）。相互作用的统一可用两个及两个以上单群直接构成的群表示，用SU（2）×U（1）作规范群建立了弱电统一理论，而包括强作用在内的大统一，其群的可能形态为SU（3）×SU（2）×U（1）。如果在高能量（10¹⁵GeV以上）下，大统一则对应于SU（5）群。理论推测，包括引力在内的4种基本相互作用的统一对应于SU（10）群。

2.现实世界对称的近似性

完全对称意味着一切都很完美，但它产生了一个深刻的悖论。假如物理定律在任何地方、任何时间都相同，它们是均一的、不变的，为什么在宇宙中会存在“有趣的”结构，包括我们的生命呢？如果宇宙中的每一地方都可与其它任何地方交换，那么不是所有地方都无法分辨了吗？如果宇宙任一时刻的状态都相同，那么宇宙大爆炸和宇宙膨胀又从何解释？

全部完全对称的宇宙是理想的高能的数学的宇宙，但我们不生活在这个宇宙中。我们生活在现实的相对低能的宇宙内。在我们这个世界里，固然有完全对称性（如表1中所列的精确普适的对称性，但对它们的永恒性无法保证）；也固然有完全不对称性（如中微子的左旋性及反物质的稀少等，但对引起它们的原因尚未找到）；然而，确实存在大量的不完全对称性——近似对称性，主要表现在：

——偏离对称的程度不大

我们的两手，从长短、粗细、肤色乃至皱纹看都只是近似对称。近似对称反映在物质材料中就是没有绝对的纯、食盐中除了Na⁺和Cl^-整齐地交替排列着外，还含有其他杂质；对于半导体硅材料，纯度一直是技术工艺追求的目标；钻石的晶莹和昂贵，就在于它相对地纯！现已观察到，一个特定氨基酸与其镜像之间的能级差大约是1/10¹⁷。大自然中呈星状的美丽的雪花是何等对称，但仔细观察结果表明，它们之中竟没有两个是完全相同的！

——产生不对称的几率很小，出现的时间很短

使时间对称守恒律出现危机的K介子衰变实验中，中性K介子K'通常衰变为π^-，只有十亿分之一的几率才衰变为π⁺。分析表明，正是上述后一种衰变显示T守恒不成立。

由测不准原理△E△t>h可知，若时间的变化△t很小，则能量不确定量△E会很大。因此，瞬时的能量守恒律可能不成立。在真空中，超短时间内发生的量子涨落，可使能量“无中生有”地产生出来。

——对称这应的范畴受限制

平静的水面具有无限的对称性（水面可任意平移或旋转保持对称），向水面投石形成圆形纹后其对称性大大减少了（只有绕投石点的旋转对称等），但它未全部被破坏。我们知道不少对称性不适应全部相互作用，宇称守恒及电荷宇称守恒在弱作用中不成立，同位旋、么正旋等只适合于强作用，甚至对强作用也是近似的。在亚原子核粒子的行为中，有时表现出近似对称性。

在原来视为完全对称的范畴内，近似对称性的“领地”随着时间的推移在扩大着。在1956年以前，科学家们相信CPT变换中的7种形态（P、C、T、CP、CT、PT和CPT）都属精确对称性。至80年代初，只剩下CPT是精确对称的了。

以下，我们简述局域对称和破缺对称，它们充分地显示了物质世界对称的近似性。

2.1局域对称

局域（又称定域）对称是对整体对称而言，其特点是式（1）中的θ不是常数，而是时间和空间坐标的函数，即与时空相关。局域变换的想法最初出自爱因斯坦关于引力的思想。他对付一个任意引力场的策略，是将时空分成越来越小的部分，以使每个区域内引力场被视作一个恒量。这犹如地图是把地球球面划小，以达到每个区域可视作平面一般。局域对称往往具有更现实的近似性，例如，电荷守恒是局域性的，它要求某个体积中电荷的改变伴随邻近体积中电荷的补偿性改变，而不可能要求千里之外的地域的电荷（库仑数）也随之改变。

局域对称与规范理论密切相关，量子规范理论正是以点粒子定域相互作用为前提建立的。这种联系的重要性可表现为：当一个粒子放射或吸收一个规范玻色子（光子、W^±粒子、Zo粒子、胶子等）它就变成另—个粒子，即一个局域规范场使粒子相互变换。按现代物理观点，电子的局域作用被解释为：彼此接近的两个电子受到斥力而排开，归因于光子交换的机理，相互作用根本不在两个电子之间，而在每个电子和同一个光子之间。这是带电粒子同光子间的局域作用——每个电子局域地（有自己位置邻近）同一个光子作用。

物理学家相信，若对称性规范变换局域化，为保持规范不变性，要求引入希格斯场，以赋予我们现实世界中的物质质量等特性。在这个意义上，局域对称又与自发对称破缺相关。

2.2破缺对称

完整的名称是自发对称破缺。直到本世纪60年代，物理学家中最优秀的头脑都还没有产生自发对称破缺的思想，而如今此名词已颇为流行。对称破缺泛指物质、粒子及相互作用力等原有的对称关系被破坏，其物理过程统称“相变”。从拓扑学观点看，这相当于出现拓扑缺陷；从方程式的解看，这相当于对称性方程出现非对称解。宏观范畴内对称性的自发破缺现象如：高度对称的水变为冰晶随机取向的冰的过程；铁磁物质到温度小于居里点呈现有序的铁磁性过程；超导体中由于电子“库柏”对的形成，光子变为有质量粒子的过程等。

引起自发对称破缺的是希格斯（Higgs）机制——假设存在一种希格斯粒子的场，促使对称性产生自发性破缺。规范对称要求相应的规范玻色子没有质量；但当一个规范玻色子自发破缺时，它相应的质量就增大。前者相当于高能量的情况；而后者相当于低能量条件。在我们现实世界的能量条件下，W^±及Zo粒子已具有极大质量（如Z°粒子质量约为92 GeV），而光子的静质量仍为零。物理学家们已经意识到自然的对称破缺与各种相互作用的统一联系着、理论预测，从大统一的极高能量到现实的低能状态，规范对称性要经受两次自发破缺，其希格斯粒子质量，第一次破缺约为10¹⁵GeV，第二次破缺约为10²GeV。

描述强相互作用的SU（3）群具有破缺的（近似的）对称性，它的破缺原因是一个迄今为止尚未解决的重大课题。

3.关于对称性的思考

诺贝尔物理学奖得主S · 温伯格曾说：“物理学并不是一个已经完成的逻辑体系。相反，它每时每刻都存在一些观念上的巨大混乱”。鉴于对称性涉及面广量大，人们对其的认识仍在深化之中，我们有理由认为有关对称性的逻辑体系还远没有完成，它留给我们诸多的思考。笔者仅从对称性概念的完善、发现近似对称的重要性、微观与宏观对称性的联系以及对称性的统一问题浅析之。

3.1对称性概念的完善

物理守恒的含义是两个相关物理量或一物理量变换前后存在等同的关系，即两者之间的“差异”不可区分或不可测量。例如，由空间原点改变后引起的差异——与原点有关的相互作用势能的差异的不可区分性，就可以导出动量守恒律。但在有的专业书籍中把上述的“差异”两字省略了，这会引起概念的混乱。因为在上例中，原点通过平移的位置是可任意改变，也是可区分可测量的。

旋转对称是一个使人易犯错误的概念。长期以来，人们认为只有对一个圆或一个球才能说是旋转对称；如果是指轨道，旋转对称意味着轨道必须是圆形的、我们现在才知道，旋转对称根本不要求轨道是圆形，其定义仅仅是：在旋转我们的视点时，物理现实保持不变。

对称性是受条件（边界与初始条件）约束的。迄今为止，人们还没有找到一个物理定律在空间、时间、能量等边界或初始条件上能无限适应的，当然对称性也不例外，试问 :宇宙大爆炸瞬间产生的巨大能量，似乎是一份“免费的午餐”，此时能量守恒如何解释？现在星球间仍在相互快速分离，且分离速度与彼此间的距离成正比，动量守恒又该如何计算？

3.2发现近似对称是科学进步的突破口

通过众多对称性的分析，似乎给我们留下如此的印象，即大自然提供了一个精确的完全对称的时空又以破缺的近似对称的规则形成了各种零散杂乱的粒子和万紫千红的物质！

回顾原来以为完全的对称性被实验证实为近似的这一系列的史实，使我们进一步懂得创造性思维在物理学中的地位。这种思维方式表现在 :它不是不断地去扩大守恒律存在的实验证据，而相反，是千方百计地去猎取守恒律不存在或不完全存在的实验证据，而后者的每一突破往往成为物理发展史中的一个里程碑。例如，弱作用宇称不守恒的发现，某些条件下CP不守恒的证实，自发对称破缺理论的假设，微观世界时间不对称的提出等等。科学家们不断地发现自然界中存在的更多更广的对称性，又深入地论证多种对称性的近似性，造就了现代物理的辉煌，使人类在与自然相处中争取更多的自由！

3.3微观对称的原因可能导致宏观近似对称或不对称的结果

宏观和微观世界的运行很像一局围棋，规则很简单——量子化和对称性便是一种规则，变化却无穷。弱电统一理论的奠基人之一的格拉肖把当代物理学家比作是并不知道围棋规则的观众，通过很长时间看比赛去猜测大概的规则。

对一个数学系统而言，如果我们允许会引发完全对称态失稳的微小的不对称扰动存在，那么我们的系统就不再是完全对称的，甚至这种微小的偏离会造成对称性的完全丧失，皮埃尔 · 居里曾指出过“结果与其原因一样对称”的一般原则，但对有扰动的现实世界而言，对称的原因往往产生不够对称的或完全不对称的结果。

如果上述假设成立，那么或许可能解释在对称成为主流的世界中，为什么还存在诸如手征性问题（中微子总是左旋，蛋白质通常右旋，人的心脏偏在中央的左侧等等）那样的不对称现象。

现代技术能探测的最短距离约为10^-16m最短时间约为10^-14s。随着科学技术的进步，人们将可能看到：对那些现在看来是“基本”的粒子和“简单”的事态，会揭示出它们的“内部结构”；对现在认为是突然地产生和湮没的行为，被证明为这是若干事件在极小空间和极短时间内连续变化的结果。这可能会使我们获得微观与宏观对称性的联系是否如上所述的佐证。

3.4对称性的统一

基础物理学家的雄心是，用单个基本定律去取代大量的唯象学定律，以实现对自然的统一、简单和美的描述。四种基本相互作用的统一至今仍是物理学家们追求的最高目标。我们知道，相互作用及其统一的特性已经采用对称群表达。因此，对称性的统一理应成为科学家关注的热点之一。可能会有那一天，表1中的各项对称性会被压缩、深化而变得面目全非！

对称性的统一会涉及物理模型和数学方法的改进。在数学工具方面，除丁群论外，“紧空间”理论可能会得到应用。1910年（狭义相对论诞生后的5年），卡卢萨提出了时空是5维的看起来颇为荒唐的思想，后来为克莱恩所发展。所谓紧空间是指如圆和球这样弯起来的空间。该理论提出，人们认为他们生活在3维空间实际上是一种误解.其原因是空间中的每个点在更仔细观察时是个圆。如果圆的半径远远小于能测量的最小距离，那么我们就误将空间缩减了一维，即把5维时空变为4维时空。据说，爱因斯坦曾表示他非常喜欢5维时空的思想。但是，此假设长期被搁置一边。现代物理学家和数学家在深入研究对称和杨-米尔斯场时，又对其重新予以重视。每一个紧空间在某种几何变换下具有不变性，这与对称性的基本思想十分吻合。

近几年，国外有的数学家提出“形态数学”（morphomatics）新概念，主张数学与自然形态密不可分。如果这种数学一旦建立，无疑将首先在对称性中获得应用。

让我们引用物理学家K · W · 福特的一段话作为本文的结尾：“本世纪，人们又向下和向内考查宇宙，进而发现要谦逊的理由。在我们本来期望找到作为人和世界构件的一些坚实物质基元的地方，找到的却是湮没和产生的混沌……在我们本来期望发现确定性规律的地方，却找到了几率规律……处在这些混沌的几率之上的是那些守恒定律（笔者注：它们来自那些对称性和近似对称性），它把有序施加到宇宙‘不守纪律’的能量上，而使我们周围世界的极为复杂但又极有条理的结构成为可能”。

（笔者在本文写作过程中与中科院上海原子核所艾小白博士作了讨论，获益匪浅，特此致谢。）