数学是从哪里来的？它是早已存在着等待我们去发现的，还是人类在进步中把它制造出来的？柏拉图认为，数学概念确实在某种离奇而完美的现实中存在，这种完美的现实紧挨着宇宙的边缘。一个圆不只是一种观念，它是一种理想。我们这些不无缺陷的生物可以追求那种理想，但永远得不到它，倒不只是因为铅笔尖太粗。但是有这么一些人，他们说，数学只存在于旁观者的头脑里，它在与人类思维无关的地方并不存在，如同语言、音乐、足球规则一样。它是人类想象的虚构物。

大自然的型式

那么上面两种意见谁对？不错，在柏拉图主义者的观点中，有那种非常的诱惑力，它让你把我们的日常世界看作是一个更完美的、有序的和数学的实在世界所投的暗淡的阴影。首先，数学的型式渗透到科学的所有领域。其次，它对科学有一种宇宙感觉；有点像上帝在盘算如何装修宇宙时，内行地翻查某种数学墙纸的篇目。不仅如此，上帝的型式篇目的用途是非常多方面的，同样的型式可用于许多不同的装饰。例如，沙丘的表面皱纹与液晶的波型十分相同；雨滴和行星都是球形的；虹与池塘里的波纹都是圆的；蜂窝的型式是蜜蜂用来储藏蜂蜜的（鸽巢为了保证安全），这种型式还可以在区域性鱼类的地理分布、大道的冻结胶浆和浅湖里因对流产生的岩石堆中找到；旋涡可以在澡盆外流的水中和仙女座星系中看到；泡沫汽泡则在洗碗时和在星系配置中出现。

由于有这类相同的数学型式在多处出现的现象，物理科学家将它袖之以去，并宣布它存在于空间、时间和物质的最基本的地方，就不足为奇了。E · 威格纳（Engene Wigner）对数学作为理解宇宙的一种方法的

“超常有效”表示吃惊。许多哲学家和科学家把数学看作是宇宙的基础。柏拉图写道：“上帝从来按几何原理工作。”物理学家J · 琼斯（James Jeans）宣称，上帝是个数学家。量子力学发明人之一P · 狄拉克（Paul Dirac）走得更远，公开说上帝是一个纯粹的数学家。几年前，E · 弗来德金（Edward Fredkin）论证，宇宙来自信息，而信息则是数学的原材料。

这是强大的稳固的原材料，它高度地诉诸数学。然而同样可以理解：这种显而易见的基础数学全都存在于旁观者的眼睛里；说得精确一点，存在于旁观者的头脑里。我们人类只有通过感觉才能感受到宇宙的原材料，然后用我们的头脑说明其结果。那么，在多大程度上我们用心智选取某些特定的感受，认为它们是重要的，而并没有获得宇宙运作中真正重要的东西？数学是发明，还是发现？

要我说，两者都沾了边。因为两个词中没有哪一个能恰当地描述这个过程。进而宫之，它们不是二者取其一，它们并不对立，它们都没有丧失可能性。找到早已存在于物质世界的东西，我们用“发现”这个词。哥伦布发现美洲——它早就在那里。但是既不是他，也不是与他同来的其他人，知道这是美洲。D · 利文斯顿（D. Livingstone）发现了维多利亚瀑布。“发明”这个词，意思是某种以前不存在的东西现在产生了。如爱迪生发明电灯，贝尔发明电话。

然而，哥伦布在美洲登陆时，他实际上是打算发明一条到达印度的贸易路线；而利文斯顿的发现，对当地居民来说并不新鲜，他们每天都看到维多利亚瀑布。爱迪生理应感到，他好像发明了电灯的观念，然后花了许多年时间设法去发现如何把观念变成现实。因此，在特定的前因后果中两者都发生：人们得悉，在他们的世界里有某种新的事物。

数学亦然。在外部世界看来像是发明，内部的人感到的却更像发现。数学的特点使事情更加微妙，因为数学客体引领着一个虚拟的存在而不是真实的存在：它落脚在头脑里，而不是镶嵌在任何一种实物之中。但是它不像（比如）诗，它那个虚拟世界服从硬性法则，而那些法则在各个数学头脑里几乎全部是相同的。

在某种意义上，数学观念的世界是一种虚拟的集合，它可与琼（Jung）的著名的“集合无意识”（指一种观念：所有人类头脑已进入广大的、演变着的古代和支配我们众多行为的潜意识结构和过程）相比。但是在何种意义上它们是“集合”？这里必须在单个的无意识实体（我们都浸泡在里面）和大量的有差别然而又非常相似的无意识性之间作出关键性的区分。

从特殊作用的观点来看，这种区分不是十分重要的。你可以与你的邻居讨论这样的问题：不让树叶落入“池塘”，而不必事先去挑明你所说的池塘是单个的普通池塘，还是谁家都有的各个池塘的典型代表。但是如果你想知道接着进行一般性的讨论将是什么情况，这就产生区分的问题。对所有的人的单个的无意识心理的概念，是一个神秘而有点愚昧的概念。它引入到心灵感应的方向。多少相同的各个下意识的集合（由于它们的公共社会关联而表现相类似），是相当平凡的，但却非常敏感。

我认为共同点在于我们应该怎样看待数学这个核心问题上。因为我们有一个关于虚拟集合的单词，并且打算把它看作是单个事物（好像琼的神秘的心灵感应无意识），所有数学家都浸泡在里面。这是一个难以捕捉的概念。那个事物在何处？它是用什么制成的？它是怎样生长起来的？把数学看做是被普遍分布在世界上数学家的头脑里，较为合适。每个数学家的脑子里都有他（她）自己的数学。再说，那些各别的系统相互间极其相似，比琼的潜意识还相似得多。这不是指每个脑子都包容着数学的总体。比方说，我的脑子里包容着动力学系统，你的包容着分析学，她的是代数。但是由于数学家所受的训练和交流他们的观点，三者所包容的在逻辑上是互相一致的。如果我脑子里所包容的与你的不一致，那我们中有一个是错了，我们会通过讨论直到搞清谁是对的。

烤面包

人类活动的大部分领域是以这种方式构建起来的，因此存在和发现相对于发明这个难题，对于数学不起限制作用。以药物为例，药物是什么？它生活在哪里？它是谁发明的还是发现的？现在用重锤、皮带、足球、语言或骑自行车来代替药物，显而易见：这种构造分布得多么广泛，上面那个问题为什么对人类活动的各个领域没有多大意义。可采纳的既不是发明，也不是发现，而是依前因后果而定的两者的复合物。

当涉及数学时，有时它真像发现。在你进行数学限定领域的先期研究时，感到像发现。因为答案是什么，还无可选择。但是在你打算把捉摸不定的观念定形化时，或者在你找到一种新方法时，就感到更像发明了；你上下求索，用各种浮光掠影的观念进行尝试，根本不知道这一切会把你引向何方。一个数学领域建造得越多，就越强烈地感受到好像存在某种固定的逻辑图景。一当你作出几条假设（公理），根据它们所得出的种种都是预先决定了的。但是这样的考虑遗漏了大部分关键性优点，这就是意旨、简洁、优美；论辩是多么令人信服，论辩的一切给予逻辑图景以特性。

但是如果数学存在于数学家的脑子里，为什么它会如此“超常有效”呢？方便的回答是，大部分数学是从真实的世界出发的。比如，两只羊加上两只羊是四只羊。同样，牛、狼、疣、巫婆也一样。一个小小的步骤引人了宇宙中2+2=4的观念，这就是抽象。因为抽象来自现实，再把它应用于现实，是顺理成章的。

然而这样的看法太简单化了。数学有一种逻辑推理的内部结构，使它按非所预期的方式生长，它还从内部产生出新的观念。什么时候都有人试图去填补逻辑图景中的空缺。比如，已经搞清楚如何去解由烤面包问题（或其它问题）导出的二次方程，你还应当试着解决三次和五次方程。在你能说“伽罗瓦”（Evariste Galois，本世纪初法国著名数学家，他发现用根式解五次以上的方程是可能的，自同构群是可解的，他是群论和现代代数的奠基人。——译注）之前，你实际上在研究着伽罗瓦理论，但几乎全部没有实际价值，这说明无法求解五次方程。这时有人推广伽罗瓦理论，使之应用于解不同的方程，而你也蓦然找到了它的应用，不过不是应用于面包房，而是应用于动力学。

大象群

有一股从现实世界到数学问题和概念的川流，还有一股从数学的解到现实的回流。威格纳的观点是，回流可能并不回答你开始求解的问题；反之，它可能回答某种像是真实的东西，像是重要的东西，然而它们确确实实是不相关的。

何以如此？数学是推断必然结论的技术，它与解释无关。二加二就是四，不管你讨论的是牛、羊，还是巫婆。换句话说，相同的抽象结构可以有几种解释，所以你从一种解释得到观念，又把它转移到另一种解释上去。数学之所以如此强有力，是由于它是一种抽象。

但是为什么数学的抽象会与现实相符呢？它们是真的相符还全是一种错觉？我们来考虑文化相对主义（cultual relativism）。这是近来在大学人文科学院系中流行的观点，它把数学和科学看成是社会构思（social constructs），与其它任何社会构思一样有效。这不就引导到这样的观念：科学可以是科学家欲其存在它就存在的任何事物了吗？

科学确是一种社会构思。主张不是社会构思的科学家，同那些认为我们都浸泡在相同的集合潜意识里的科学家一样，犯了相同的错误。不过关于科学还有一些特殊性：它是一种构思，它在每一步骤上都已对照外部现实作了检验。如果全世界的科学家聚在一起，确认大象是无重量的，如果不用绳子拴住，它就要升空。那末当一群大象跳离悬崖边缘时，在悬崖下站立不动的大象，仍然是笨蛋。科学必须有现实的检验，因为它是人为的。人通过不完美的和有偏离的感觉知道了现实。现实检验无法做到圆满无缺，但是科学家仍须保留一种非常严格的审核。

那末数学的现实检验是什么？这么说吧：我们钻研宇宙的“基本”性质越是深入，就好像获得越多的属于数学的东西。幽灵般的量子世界不能没有数学去表述。要是你用日常语言去描述，它就毫无意义了。

要注意，不是所有的领域在结构上都明显地是数学的。尤其在生物世界，它似乎并不服从我们在物理学中发现的硬性规则。“动物行为的哈佛定律”（在严密控制的实验室条件下动物表现得乐于赴死）比牛顿运动定律更为适合。但是这里也许有一个尺度大小的差异问题。量子物理学倾向于应用到物质的简单配置——比方几个原子。在生物学里，有意义的物质配置大为复杂：人类基因组有万亿个原子，这还只是复杂得多的组织中一个细胞内的一串DNA。对一个人作逐个原子的描述涉及的数字带有一大串的零。人类可以按照数学规则很好行动，但是这是非常复杂的数学，人类的数学家不可能把它书写出来，更不要说掌握它的含义了。这样的数学，其结构几乎完全是不能贯通的，因为所要包含的信息太多太多。

这是个有新外观的古老的哲学难题：“倏忽进化”（emergence）。倏忽现象似乎是一种超越它们的组成成分的东西，像在物质头脑里产生意识。哲学家有一种讨论“倏忽进化”的习惯，好像它打断了因果链。但是因果链真正发生了什么，这很复杂，连人类的头脑都掌握不了它。你的行为是在你所遭遇到的各种事物的前后连接中，由适合于你的组成原子的数学规则所造成的。但是你无法用计算来检验它们。这是因为它们太纷乱太冗长了。

你也许争辩说，这使整个问题学究化了。这样一种数学基础是否在生物学中存在，这无关紧要。因为即使它存在，也没有什么实际用途。然而有一种吸引人的可能，即使很复杂的数学系统也趋向于在高级的描述中产生可识别的型式。例如，晶体的基础量子理论涉及的原子数像人要涉及的一样多。至少，如果它是人性化的晶体，就会遇到同样吸引人的倏忽进化问题。但是晶体清楚地呈现其本身的数学型式，比如有规则的几何形式；同时没有人能以完全的逻辑严格性，把这种型式从它们的原子的量子力学中推导出来。有一种推理链使它貌似有理——好像量子力学定律真的导出晶体结构的规则性。粗略地说，情况是这样的：量子力学使原子按最低能量构形排列起来；大自然在空间和时间上的总体对称定律造成这种构形的高度对称。既然如此，它们就形成规则的原子晶格。

彩票错觉

从这个观点看来，在生命组织的高级描述中产生的数学型式是生物学本质上也是数学的证据。例如，—朵花的花瓣数接近于斐波纳契数列（Fibonacci Numbers）——3，5，8，13，21，34，55等等，数列中各个数是前两个数之和。这种奇异的“数字命理学"（numerology，根据出生日期等数字去解释人的性格或占卜祸福——译注）可以追溯到生长着的树枝末梢上的细胞的动力学行为。“原生物”（从中产生出有趣的植物特性的小细胞块）排列成像互相贯穿的螺旋那样的型式，而这样的型式不可避免地引出斐波纳契数列。

然而这样一些型式真的告诉我们数学是大自然固有的吗？我们的脑子当然有一种找出数学型式的倾向，而不管它们是否真有意义。这种倾向已经引导出牛顿引力定律和量子力学方程，并且还引导出一种对测量大金字塔的着迷。具有讽刺意味的是，告诉我们如何选择彩票数的数学是：我们考虑的和我们看见的任何型式都是错觉。

值得问一问：我们的脑子是怎样产生这种寻找型式的倾向的？人的脑子在真实世界里演变，它们学会检测型式来帮助我们从我们以外的事件中求生。如果在这些脑子的型式检测中没有找到到达外部世界的名副其实的关系，它们就不会帮助事主求生了，它们最后就会消失。所以我们臆造的东西必须在一定程度上与真实的型式一致。同理，数学是我们理解大自然特定特征的方法，它是人类头脑的构思。但是我们是大自然的一部分，同宇宙的其余部分一样，由同类的物质组成，存在于同类的空间和时间里。因此，我们头脑里臆造的事物并不是任意的发明。宇宙中存在某些数学事物，最明显的是存在着数学家的头脑。数学头脑不能在一个非数学的宇宙中演变。只有一个几何学家的上帝（不妨读作“大自然”——译注）才能创造出能够带来几何学的人。

但这并不是说，只有一种数学，不可能有别的数学，即宇宙的数学。那样的观点局限性太大。异域者一定会提供与我们同类的数学吗？我不是这个意思。举例说，Apellobetness Gamma的六爪猫无疑应用基24符号（指24进位制计数——译注），但它们仍然会同意25这个数是完全的二次方，哪怕（按24进位制）把它写作11。然而我正在想，更多种类的数学也许会由天鹅座V等离子体旋涡的数学奇才们创造出来。在他们看来，一切都在永恒流动之中。我打赌，他们对等离子体动力学的理解要比我们好得多，尽管对他们如何做等离子体动力学，我们一无所知。但是我猜测，他们没有任何像毕达哥拉斯定理的东西。在等离子体中几乎没有直角。事实上，我怀疑他们是否有“三角形”的概念，因为在他们画出直角三角形的角顶时，另外两个角已随等离子风飘走，远去了。

[New Scientist，1996年11月]