当我们能够在从三维空间表面上去观察吸引子时，我们会比较容易地理解数学的过程。尽管我们还不能真正观察到这些吸引于存在的所有维数，它们仍然会使我们一饱眼福。

我们中间有些人能自如地把握住（或仅仅只能适当地把握住）数学程序被想象为空间过程的时刻，对于他们，混沌系统的图像绘制方法是作为一种令人欣慰的某些东西而出现的，它开拓了自笛卡儿时代以来对符号运算的逻辑学家已经失去的视觉领地。混沌的代敷用图像的方式在计算机屏幕背后的虚拟空间里结出了丰硕成果，并产生出为电子调色板的新艺术品鉴赏家所惊讶的混沌服引子和分形自相似性的极其美妙的奥秘。

然而这里存在一个佯谬。我们对混沌图像的空间和色彩魅力总是以感觉作出反应的，而这种感觉是与我们在经验世界中的有适应力的形式相协调的。但是，混沌图像的空间和色彩魅力是概念空间的一个完全不同领域的产物。在这个空间里，正常的三维性质的坐标以不完全的和象征性的方式代表多维坐标，而空间的三个标准方向只是提供了这个多维坐标的一个系列而已。

有意识的去探索一个有效的模式以再现混沌系统是在1990年由先后在牛津的非线性系统小组和克莱尔顿实验室的安妮 · 斯凯尔登（Anne Skeldon）和汤姆 · 马林（Tom Mullin）着手进行的。他们选择了耦合摆进行研究，这是一个当今的经典例子，它表明了在特定的条件下简单的确定性的方式是如何能够产生出令人惊奇的不可预见性的。

在一个平面摆的末端悬挂另一个摆动面与之垂直的第二个摆，上面的摆的支点以一个规则的频率型到上下的驱动。选定5个坐标用以绘图：上摆的速度，它的偏转角度，驱动的速度，下摆的速度和它的偏转角度，随着驱动频率的改变，就会产生周期运动的复杂的、混沌的系集。选择5个坐标中3个坐标：上面摆的偏转角，下面摆的偏转角和驱动力的幅值，然后在相空间中把轨迹画成一个三维图形。于是两个特征的吸引子出现了，每一个都处在如今为人们熟悉的一个环面形式上。在那些把环面带显示为横截相交并分配不同的颜色以区分它们的映射约定中，这两个吸引子在较低频率下逐渐消失。

改变环面带上的颜色去映射出第四维是可能的——在这个例子中就是运动的速度——因此，可以用图形方式表示出系统行为的一个附加的坐标。颜色在某种意义上是可以任意选择的，把红色标志理解为高速、把蓝色标志理解为低速就等同于我们下意识地把光的频率理解成不同的颜色一样。

吸引子把无可争辩的感染力展示成具体的人为制造物，然而，它们占据的真实空间只能由费曼称之为“分析之眼"所洞悉，而作为感官的眼睛是无法做到的。

进化已经以感官的眼睛武装了我们，从而去把握住现象学的空间。正是这些物质眼睛对于达到令人满意的理解力的长期需求可以通过把多维变量转变为我们有限的仪器可以进行观察的一个视觉领域的方式而得到可观的满足。

[Nature，1998年8月13日]