1931年，哥德尔的不完全性定理是数学史上的一座里程碑，不完全性成为数学基础内关系到数学本质的重要问题。1935年，爱因斯坦等3人（以后“爱因斯坦”常指他们3人）也讨论了量子理论的不完全性，导致量子力学争论产生新的僵持。本文将介绍和考察这两个学科里的不完全性在思想上的渊源和异同。

数学里不完全性的基本思想和意义

开门见山地说，什么是数学的不完全性呢？先打一个比方，一部小说称为完全的，如果书中的全部人物要么被描述成好人，要么是坏人。反之，如果在书中对某个神龙见首不见尾的人物给读者以好人的某种暗示，但遍书细查又没有关于他是好人的任何具体事例描述，这样的小说就被称为不完全的，指好坏无法佐证。当然，读者不会喜欢看完全性小说。可是在数学里情况却不一样，30年代前数学家们只承认基础系统的完全性。所谓数学系统的完全性指在该系统内任一闭公式和它的否命题总有一个是系统内可证的，即系统的定理。或者可以大致地这样说，系统内一切按规定为合法的命题，要么可以被证明成立，要么被证明为不成立，即否证。在这样的系统里，真与可证明是一致的，真命题即可证命题。当然这又得追究什么叫做证明，由于我们仅在于介绍它与物理的不完全性的关系，对此就不进一步去叙述了。

在1930年之前，数学家一直把完全性看作是数学美好的体现，看成数学家对自己证明能力自信的标志。他们一直相信数学的单纯和完美，假命题必可证明其假，真命题必可证明其不会像小说里那样莨莠不淸。数学家是理智和严肃的，不会满足于信念，他们要求证明出数论系统的这种完全性。1930年9月，哥德尔公布的论文证明了，如果数论系统是协调的，则它是不完全的，并且其协调性在系统内是不可证明的。他的证明使用了复杂的技巧，引人了对后来的可计算性理论也有重要意义的递归函数。于是，数学史翻开了新的一页，数学不再是完美无缺，数学的能力不再无限。在这之前，希尔伯特的名言“我们必须知道，我们必将知道”表明了人们对这种能力的自信，他的意思是，数学家总能证明任何命题的成立与否，不过需要时间与智慧而已。

哥德尔工作有三个值得强调的关键概念。第一个是“系统内”。不完全性对一个指定的推理系统而言，在该系统内存在不能判定其真的命题，表明系统自身有先天不足，“系统内”这个词是绝不能省去的。在哥德尔的工作里，系统指数论系统和包括数论的系统。数学家在60年代也证明了，对于公理集合论系统ZF，连续统假设在系统内不可判定。第二个是“可证明性”。要强调不完全性竟突出了证明本身，表明了证明能力的被关心。第三个是“真与证明的关系”。不完全性的实质是说，系统内经由推理（证明）得到的东西远不能包含全部真理。不能证明的未必不是真，从而确认了证明能力的被局限。从此，“系统内不可判定”成为数学基础里常见的术语。

爱因斯坦的不完全性与哥德尔工作的渊源

爱因斯坦和波多尔斯基、罗森在1935年3月合写了一篇关于物理学理论不完全性的论文，发表在5月的《物理评论》上，题目是“量子力学关于物理实在的描述可认为是完全的吗？文中提出了物理理论的完全性概念，并声称得到了钮子力学的波函数对实在的描述不完全的结论。“物理理论的不完全性”这个概念在物理学迅是第一次被正式提出。

另一方面，我们可以追溯一下1930年到1935年哥德尔和他的工作的传播的情况，哥德尔1930年9月在柯尼斯堡的数学讨论会上正式公布他的成果时，不过是奥地利维也纳大学刚毕业的研究生，他在这年2月获得博士学位。到1933年3月，他才得到一个职位，仟维也纳大学的无薪讲师，虽然他的工作已使他声名远播。这一年美国普林斯顿大学邀请他去讲学，他于9月底离开奥地利赴美，在普林斯顿高等研究院作客座成员报告了他的不完全性研究。次年即1934年的5月乘船回国。对哥德尔来说，到美国讲学的确是中国人爱说的所谓“墙内开花墙外香”效应。1935年和1938年他第二、三次到美国讲学，其间他发表了一些重要成果，如广义连续统假说的协调性证明等，他在数理逻辑领域内理应算是世界知名了。可是，1939年他回国后向维也纳大学申请晋升为正规讲师竟被拒绝（一个对称的事实是，近30年后的1966年他拒绝了奥地利科学院的荣誉成员称号），他只好于1940年离国到美国定居。在普林斯顿，他成为爱因斯坦的亲密朋友。

如所周知，爱因斯坦是1933年10月到普林斯顿担任职务的，那时高级研究院刚刚成立，它正好就是普林斯顿大学数学系大搂的一部分。1933年10月至1934年间，爱因斯坦肯定知道哥德尔关于不完全性的工作这回事，他的物理的不完全性概念受到哥德尔工作的启发。当然，后面的考察会表明，使他受到启发的实际上只是“不完全性”这个词和它的不令人满意这个意思而已。从爱因斯坦关于物理理论的不完全性的全部记述来看，渊源似乎也仅在于此。可以怀疑，爱因斯坦对哥德尔的工作是否作过了解的努力和真有多少了解，因为在他的整个生涯里似乎没有过对数理逻辑真正感兴趣的什么迹象。

 （待续）