我国传统数学14世纪以前在世界上一直处于领先的地位，此后渐渐落后于西方，到19世纪中叶，中算与西方合流，纯粹的中算宣告结束。正在这个时候，我国清代大数学家李善兰（1811-1882）出版了《垛积比类》四卷（1867），以“比类”、“形数结合”等传统方法，在书中提出了许多精彩绝伦、别具一格的求和公式，如李善兰恒等式等。他的主要研究成果为有限差分和组合数学开辟了一个新的领域，可以说在数学史上至今还堪称独步。本文拟讨论：由李善兰多项式为形式精美的“组合三角”提供了基础。

李善兰在《垛积比类》卷四的“三角变垛”中以演段、类比的方法归纳出三个公式:

分别称为三角一变垛，二变垛，三变垛。

我把以上公式，省略二项式系数，把相加各数去掉“+”号，按k⁰，k，k²…分层排列，有以下的三角阵：

表1

这种三角阵的特点是（以n=3为例）:

1.斜边自上而下，是第二类Stirling数：S_2（4，1）至S_2（4，4），（1，7，6，1）。

2.左直角边自上而下，是Eulerian Numbers数，即李善兰“乘方垛各廉表”内的数：A_3,1至A_3,3（1，4，1）

3.底边是x³的系数1，（x²，x，x⁰都是0）。

4.自上而下各列的和，是第一类Stirling数的绝对值：S₁*_（4，1）至S₁*_（4，4），（1，6，11，6）。

5.各横行自上而下的和，分别为1，11，11，1是Eulerian数A₄，至A₄。

6.从各横行第一，三，五…位各数之和减去第二，四，六…位各数之和的差，是二项式系数

7.斜边是x³=1+7·（x-1）+6·（x-1）（x-2）+（x-1）（x-2）（x-3）的系数。

8.底边是幂函数x³+0·x²+0·x+0的系数。

系数

根据上述性质，可以作出以下的示意图。这个图中内含的幂函数、两种Stirling数、两种Euierian数、二项式系数等，都是组合数学中的重要计数函数，故名为“组合三角”，它足以与我国最早在组合数学中做出重要贡献的“洛书”媲美。

组合三角：

洛书:

上述“组合三角”可推广应用到任意幂函数f（x）=a_nxⁿ+ a_n-1x^n-1+…+a₁x+a_o（f（x）=xⁿ是特例），任意幂函数大致可分三类：

横行左起各数依次乘以x₁⁰，x₁，x₁²…，然后将乘得各数在右起1，3，5数的和中减去处2，4，6数之和，其差是二项式系数的x₁倍（见组合三角示例的B）。

当x取值为I，2，3，…n时，用李氏差分d₁求n次幂函数有统一的公式

当x取值为x₁，x₂，x₃，…，x_n=x₁+（n-1）h，及x₁，x₂，x₃，…不是等距时，公式有规律，但非三言两语可表达，现介绍n=2，及n=3的公式：

（a）等间距

（b）不等距

1，6，11，6是（x+1）（x+2）（x+3）=x³+6x²+11x+6的系数

验算：

差商式：

3.二项式系数的关系取法如上。

组合三角以少数数字组成，集各种函数的相互关系于一个数学“三角”之中。这好比在几何学里，三角形的三条中线，三条高，三条内角平分线交于一点，正三角形集各性于一体，纵横图内各数字纵、横、对角线之和均是n·（n²+1）/2，道理虽简单，但都是自然界的奥秘，组合三角应属其中之一。

中国的古算传统有许多是高度概括思维能力的杰作，有其独特的思想方法，深入地对其研究探讨，结合现代方法加以继承和发扬，应有很高的现实价值，有的还能古为今用，在未来数学发展中起推动与指导作用。