众所周知，历史上数学与自然科学的关系极为密切。然而，由于当今数学的研究对象主要是一些逻辑上可构造的结构，“为了搞有价值的数学工作，事先不必考虑对科学是否有用”业已成为数学界普遍信奉的行为准则；而现代自然科学则以科学观察和科学实验为基本研究方法，一个理论，如果得不到科学实践的证实，科学家是不会无保留的接受。

　　数学化——现代自然科学理论发展的客观要求

　　我们知道，在经典科学时期，科学理论实质上是对科学观察和科学实验结果的直接抽象。这一时期，科学认识过程呈现出明显的直观性，科学理论所表达的经验内容可以直接用感官来观察或者用极为简单的仪器与技术给予测量；在科学理论建构时，科学家十分重视科学概念、科学命题同客观事实的直接对应关系，对某一现象或过程的认识归根结底意味着建立符合它们的理论模型。这时的数学，虽然对科学的发展具有重要作用，但是从本质上来看，它的作用只是描述性的，主要用于把科学事实或概念翻译成数学语言，或者是把经验归纳所确定的定律用某种函数关系式表示出来，以使科学观察和科学实验的表述具有精密科学所要求的严谨、简洁和坚定的确定性。这方面最典型的例子是傅立叶关于热传导理论的成功。众所周知，傅立叶因关于热传导理论而著名，但是，傅立叶关于热传导的第一篇论文《热的传导》于1807年提交给法国科学院时，因缺乏严谨性而被评审委员会拒绝。1811年他提交了修改稿《热在固体中的运动理论》，这篇论文被授奖，但又一次以其缺乏严谨性为由而不予在科学院的学报上发表。傅立叶继续研究，1822年他在《热的分析理论》中，终于因建立起均匀和各向同性的、固体内的热分布所遵从的偏微分方程而获成功，他的研究成果被称为“一首数学的诗”！

　　在现代科学时期，情况就大不相同了。现代科学已经深入到物质世界中不能为感性直观所把握的宇观领域和微观领域。认识过程中直观性的消除，使得现代科学认识再也不能用直观模型或日常经验性语言来进行描述，必须引入形式语言——数学符号语言，认识主体也只能借助于相应的数学模型，从“思维的具体”中去把握认识客体。例如，在量子力学中，成对的物理量——位移和动量，永远相互影响，不可能同时测得它们的精确值。为了说明微观世界的本质，海森堡引入矩阵、正则变换、算符等数学语言，通过建立算符与矩阵的关系，提出了一套系统的、数学化的矩阵力学理论——海森堡对易关系式、物质系统的光谱关系式、海森堡的矩阵力学方程、测不准关系式等。试想，如果离开数学工具，要理解和建构关于微观粒子的理论，表达微观粒子的物理特性，是根本不可能的。

　　可见，在现代科学时期，数学既是理解和建构现代科学理论的重要工具，“基本的物理规律是以美和有力的方程式来描写的，这是自然界的基本特征之一”（狄拉克语）；同时也表明，现代自然科学要进一步发展，也必须数学化，只有借助于数学这一理性思想工具，人们才有可能进一步认识事物的本质。没有数学，就不可能理解和建构今天的科学理论；没有数学模型与物理世界相联系，理论就会出现荒谬！没有数学模型来表达既有的科学成果，科学理论也就不可能进一步发展！

　　数学——现代自然科学的生长点

　　由于数学是理解和建构当今科学理论的重要工具，而这些数学符号又具有丰富的物理内容。因此，在现代科学研究中，科学家就可以不求助于直接经验的体验，而由相应的有蕴涵的命题经由严格的逻辑推理，或相应数学结构的启示和类比，或引入新的数学结构来获得对客体特性更深刻的认识，从而在科学实践中取得“事半功倍”的效果。

　　首先，现代科学发展表明：伴随着科学数学化的趋势，适用于科学幼年时期的经验归纳法正逐渐让位于探索性演绎法，蕴涵丰富物理内容的符号化的严格推理业已成为现代科学发展的主要动力之一。例如，1927年前后，狄拉克为了克服克莱因-高登方程与量子力学的标准变换理论的不一致性，将薛定谔方程中对空间坐标的微商由二级降为一级，又将满足泡利电子自旋理论的二行二列矩阵推广为四行四列矩阵，从而得到狄拉克方程。狄拉克方程解释了电子的自旋性质（这一点连狄拉克本人也感到十分惊奇），而在这之前，这一性质是高德斯密特和乌仑贝克在1925年为解释碱金属光谱的分裂，作为特殊假设而附加给电子的。狄拉克方程也同时解释了塞曼效应、磁矩以及氢谱线精细结构的修正值，并预言了负能态和正电子的存在。

　　其次，相应的数学结构间的类比也是现代科学发展的主要动力之一。例如，在信息论中，维纳将波尔兹曼对数定律S=1np与信息传递公式Y=-k1np进行类比，他得出：信息量实质上就是负熵，信息损失的过程与熵增加的过程十分相似，信息量的平均具有熵的各种性质。维纳由此得出了关于负熵和进化的富有启发性的思想；同样，维纳应用数学类比解决了在特殊情况下广义的狄利克雷问题的解法将满足古典的位势理论所要求的连续性条件的问题，维纳类比波莱尔关于拟解析函数的工作，一改自己的常规方法，沿着波莱尔的新思路，不再依赖于数字的大小，而是依赖于级数的收敛和发散，终于解决了这个有关位势函数边界上奇点的问题，后来证明维纳的类比推测是正确的。德布罗意提出物质波理论、薛定谔创造波动力学理论等，其关键步骤也都是在相关思想下相关数学结构的类比。

　　第三，借助于有关数学结构的启迪，可以使科学家突破难关，取得难以预料的结果。1925年8月，狄拉克在研究海森堡第一篇量子力学论文《关于运动学和力学关系的量子论再解释》时，他感到：对于两个力学变量u与v，将它们顺序相乘得到的uv，与将它们反序相乘得到的vu不一样。这里有一个差值（uv-vu）是很难理解的。1925年10月的一个星期天，他突然意识到这个不等于零的对易子（uv-vu），与经典力学中的泊松括号之间的相似性。从而把泊松括号和对易子联系在一起的想法形成了狄拉克在量子力学工作中的出发点，不久他便完成了成名作《量子力学的基本方程》。

　　第四，现代科学发展还表明：现代自然科学理论上的重大突破，都与某种数学方法的引入相联系，一个新的学科领域的开辟，也往往必须使用一种新的数学理论作为工具。揭示大尺度宇宙空间物理性质的广义相对论的创立是如此，因为它是以黎曼几何和张量分析理论为基础的；郎佐斯应用狄拉克提出的δ函数将矩阵力学改造成用积分方程表示的有连续值的理论的成功，从而使变换理论有了一个新的逻辑基础而成为一种完备的理论也是很好的例证。

　　因此，在现代科学研究中，数学思维成了现代科学思维的一种重要形式，数学模型成了对客体内容“剪裁”的一种形式，已有的数学成就可以成为科学思维的依托。数学不再仅仅是科学的表述手段，它在一定程度上预示和规范了科学的发展方向，成为科学的生长点，这正如爱因斯坦在谈论理论物理学时所说：“创造性原理存在于数学之中。”

　　数学美感——现代自然科学发展的强大动力

　　数学美感是科学家在长期的科学研究中形成的一种心理体验，是科学家长期科学实践经验的结晶。数学美感之所以是当今科学发展的强大动力，笔者认为乃是由于以下三点原因：其一，由于现代科学认识业已高度抽象，科学理论不再是科学事实的直接概括或抽象，通常借助于某些科学家创造的概念来表述，对科学理论的直接证实越来越困难。在这种情况下，科学家常常以科学理论整体作为科学理论的评价单元（The unit of evaluation），注重用科学理论“内在的完备性”标准来评判科学理论；其二，对数学美的坚信和追求，可以使科学家打破既有理论模式的束缚，从而使科学产生飞跃性进展。科学发展史上的案例不胜枚举，如狄拉克为维护狄拉克方程的数学完美而大胆宣布“负能是存在的”，并预见正电子是存在的，从而使人们发现“反物质”这一事实就是很好的范例；其三，纵然数学美的东西不一定是真实的东西，数学美只是科学理论为真的必要条件，但是现代科学发展表明：凡是真实的科学理论，无一例外都有十分完美的数学模型；凡是有完美数学模型的科学理论，大都被证实是真实的，即便这一理论开始时有这样或那样的问题，但最终可能是真的，这样的例子也不胜枚举，像魏尔的二分量中微子相对论波动方程等，都是如此（这方面的特例如果有的话，恐怕只有狄拉克的“磁单极子”假说）。

　　正是由于现代科学发展的客观情况和科学家过去成功的经验，使得科学家在进行科学研究时，追求数学美便成为一个潜在而有实在的动机，这正如狄拉克所说：“……对数学美的欣赏支配着我们的全部工作。这是我们的一种信条，相信描述自然界基本规律的方程都必定有显著的数学美，这对我们像是一种宗教。奉行这种宗教是很有益的，可以把它们看成是我们许多成功的基础”，科学家们“把数学美的要求当作信仰的行为。它没有什么使人非信不可的理由，但过去已经证明了这是有益的目标。”