量子克隆

发布时间：02年07月26日

Vladimir Buzek 编译侯春风

虽然人们不可能制备未知量子态的精确复制品或“克隆体”，但是近似的复制品在量子计算中仍然会具有许多用途——

计算机是由遵守物理定律的元件组成的一种实物装置。既然计算机是专门处理信息的，由此可见，物理系统与信息之间存在着紧密的联系。但是当计算机内部的元件变得如此之小，以至于必须用量子力学而不是经典物理来描述它们时，会有什么情况发生呢？晶体管和其他元件的尺寸看来在不断地缩小，这迫使计算机工业在不远的将来就要面对这一问题。

然而，部分有远见的物理学家对这些问题已考虑了将近20年。从20世纪80年代中期保罗·比内奥夫（Paul Benioff）、理查德·费曼（Richard Feynman）、戴维·多伊奇（David Deutsch）以及查尔斯·贝内特（Charles Bennett）的工作开始，“量子信息”已逐渐成为现代物理学中最激动人心的研究领域之一。这些开创者认识到用量子系统——例如单电子或单光子表示信息，是一个机会而不是一个问题。

经典信息是用位来表示的，这些位的值可以是0或1。而量子信息是用量子“位”或“量子位”（qubits）来表示的，这些量子位由两态量子系统构成。量子位的一个基底，即|0〉态，表示0；而|1〉态代表1。

例如，量子位可以是一个电子。电子具有内禀角动量或“自旋”，我们可以选择“向上”或“向下”自旋方向作为量子位的两个基底。如果量子位是一个光子，则我们可以用光子的偏振态作为基底。如果光子沿z方向运动，那么它的偏振矢量将处于x-y平面，因此我们可以选择该平面内竖直和水平方向偏振态作为我们的基底。

与经典位不同，量子位可以同时处于两个态上。例如，电子的自旋可以指向水平方向，该方向的自旋可表示为“向上”与“向下”两个自旋态之和。量子位可以处于上述叠加态这一事实使量子信息具有非同寻常的特性。

上述特性中的一个在量子信息研究领域存在之前就被发现了。1982年，一个名为尼克·赫伯特（Nick Herbert）的科学家，独立地提出了用比光速还快的速度传送信息的方法，这将与狭义相对论相矛盾。不用说，这一提议受到了相当大的质疑，物理学家们的目光立即集中到这里，查找这一理论的漏洞。

人们的注意力集中到了赫伯特提议中所必需的一种放大器上。这种放大器具有可精确地“克隆”光子的性能。换句话说，如果一个处于任意偏振态的光子被送入该放大器，则在输出端将会有大量处于完全相同的偏振态的光子出现。美国罗切斯特大学的列奥那德·曼德尔（Leonard Mandel）、哈佛大学的罗伊·格劳伯（Roy Glauber）以及洛斯·阿拉莫斯实验室的彼得·米隆内（Petter Milonni）分别独立地证明，自发辐射会给放大过程带来足够大的噪音，这将阻碍赫伯特计划的实施。

大约同时，得克萨斯大学奥斯汀分校的威廉·伍特斯（William Wootters）和沃希赫·朱瑞克（Wojciech Zurek）提出了一个解决克隆量子态问题的方法。伍特斯和朱瑞克考虑了所有可能的量子力学变换，而没有把自己局限在放大器上，证明从处于任意态的单粒子开始到处于相同态的两粒子为止的变换过程必将违反量子力学基本原理。因此精确克隆是不可能的，这一结果被称为“量子不可克隆定理”。

普适量子克隆机

量子不可克隆定理使人们忽视了整个量子克隆研究，直到20世纪90年代中期才由本文作者弗拉德米尔·巴泽克（Vladimir Buzek）和马克·希勒里（Mark Hillery）开始研究了量子信息的近似复制。伍特斯和朱瑞克的工作已经证明不可能对量子态进行精确复制，但假设人们对不精确的复制品也感兴趣，关注复制品具有何种程度的可靠性及如何制备它们，情况会怎样呢？

1996年，我们提出了一个可制备出单个量子位的两个不精确的复制品的“普适量子克隆机”。“普适”这一词是指复制品的质量不依赖于输入态，换句话说就是，例如输入光子可以在x-y平面任意方向上偏振。复制质量是由一个称作“保真度”的量来度量的，它代表复制品的量子态|ψ_copy〉与理想输出态|ψ_ideal〉之间的重叠程度。当然，理想的输出态与输入态是同一个态。保真度定义为复制品的量子态与理想输出态的内积的大小，即〈ψ_copy|ψ_ideal〉，它的值可取从0到1的值，取0代表复制态与理想输出态无任何程度的交叠，取1对应于精确复制。

“1→2”普适量子克隆机克隆出的两个复制品是完全相同的，并且对所有输入态都具有5/6的保真度。20世纪90年代末，瑞士日内瓦大学的尼古拉·盖辛（Nicolas Gisin）和当时正在Tel-Aviv大学工作的瑟奇·马萨尔（Serge Massar），与英国牛津大学的达格马·布拉斯（Dagmar Bruss）及其合作者，相互独立地证明了5/6是量子克隆过程能达到的最大均值保真度。

最佳保真度5/6还可在要求克隆过程不快于可能的光通讯速度的情况下推导出来，这实际上与赫伯特的推导过程相反。最佳保真度的推导过程是由盖辛最先完成的，他证明如果保真度大于5/6，那么克隆过程就会带来超光速信号传输的可能。

有两个研究组——其中一个由意大利罗马La Sapienza大学的弗朗西斯科·德玛蒂尼（Francesco De Martini）领导，另一个由位于中国合肥的中国科技大学的郭光灿领导，在实验中获得了5/6的最大保真度。郭光灿及其合作者利用的是线性方法，而罗马小组利用了光学参量放大器，采用的是非线性方法。

大约同时，奥地利维也纳大学的克里斯托夫·西蒙（Christoph Simon）、格雷高·韦什（Gregor Weihs）和安东·齐林格（Anton Zeilinger）提出了一个基于被称为参量下转换的装置的相近的非线性方法——在一般的下转换过程中，通常采用具有非线性性质的晶体材料，例如磷酸二氢钾（KDP）晶体，把一个频率为2 ω的光子转化成两个频率为ω的光子。

然而，KDP晶体还可被用作放大器，在这种情况下，一束频率为2 ω的“泵浦”光可以使另一束频率为ω的弱光在通过晶体时得到放大。在参量下转换过程中有三束输出光：两束光的频率为ω，第三束的频率为2 ω。处于其中一束频率为ω的光束中的光子是克隆体，而处于另一束频率为ω的光束中的光子为“反克隆体”（即偏振方向与原始入射光偏振方向相垂直的光子）。第三束光仅仅是泵浦光的输出光而已。

更一般的克隆机

通过考虑更多的输入态和输出态，可以推广普适克隆机。盖辛和马萨尔说明了如何构造一个可在输入端处理N个相同量子位并且可在输出端制备M个复制品的克隆机，其中M大于N。在这种情况下，保真度为（NM+N+M）/[M（N+2）]。例如，由一个输入态制备三个复制品的保真度是7/9，而由两个输入态制备三个复制品的保真度则为11/12。如果我们考虑当M趋于无穷时1→M克隆（即由一个输入态制备M个复制品），则保真度将为2/3，这与用最佳测量法所得到的值相同。

另一个推广普适量子克隆机的方法是研究具有多于两个态的克隆系统。例如，假设我们想要克隆一个四维系统，比如两个量子位。一般情况下，将有可能把一个量子态指派给整个两量子位系统，而不可能把它分配给某个单独的量子位。这表明最好把两量子位看作一个独立单元，而不应该把它们分开处理。应特别强调的是，单独地克隆每一个量子位不是最好的办法，有必要设计一种可同时克隆两个量子位的器件。

本文作者（巴泽克和希勒里）与德国不伦瑞克大学的莱恩哈德·沃纳（Reinhard Werner）已经仔细地研究了这种类型的普适克隆机。这种类型的普适克隆机的保真度随系统维数的增加而减小。单独的两态量子位系统，最大保真度可达5/6，而对于两量子位系统最大保真度变为4/5，无穷维系统的最大保真度为1/2。1/2保真度毫无意义，因为它并不比通过取原始输入态作为一个复制品、取另外一个任意态作为另一个复制品来制备两个复制品更好。需要说明的是，目前高维克隆实验工作尚未开展。

依赖于态的克隆机

中国科技大学的段路明和郭光灿开创了一个不同的量子克隆方法。他们考虑了这样一种情况：人们并不对克隆所有可能的量子态感兴趣，而只关心其中一系列特殊的态。由1986年豪瑞斯·云（Horace Yuen）的工作可知，如果这一系列态只由相互正交的态组成，那么我们就可在任何想要克隆粒子的时候进行精确克隆。正交态可通过测量被精确地分辨出来，而一旦它们被分辨出来，就可被重新制备出来。

段路明和郭光灿提出了一个制备非正交态的精确复制品的克隆机方案，但这个方案只在某些情况下才有效。当一个处于两个允许态中的一个态上的量子位作为输入态时，表明克隆机已成功地制备了两个精确的克隆体。然而，如果克隆机表明它没有制备出克隆体，那么所出现的两个量子位就将被排除。

这种类型克隆机的一个重要参数是成功地制备出复制品的概率，这一概率依赖于所提供的一系列输入态。例如，如果这一系列态只包含|ψ1〉和|ψ2〉两个态，它们的交叠或内积，即〈ψ1|ψ2〉=r，是实数且为非负的，那么克隆成功的概率为1/（1+r）。当两个态相正交时（即当〈ψ1|ψ2〉=r=0时），这一概率为1；而当两个态变得越来越平行时，这一概率将减小为1/2。例如，如果我们想克隆的两个态，一个是竖直偏振态，而另一个是与竖直方向成45°角的偏振态，则克隆成功的概率为0.56。

连续自由度，比如粒子的位置或电磁波的电场，也可被用于量子信息编码。1998年，美国加州理工学院的杰夫·金布尔（Jeff Kimble）及其合作者设法在实验室中传输或“远距传送”连续自由度。在远距传物过程中，量子态可被传输给另一个粒子或光子，但原始态将被破坏。金布尔及其合作者己把电磁场的一个模式的量子态传送到了电磁场的另外一个模式上；下一个课题是对连续自由度进行实际复制或克隆，而不是简单地传送它们。

我们已经知道，对于一个无穷维系统，例如一个具有连续自由度的变量，普适量子克隆机并不是一个有用的器件。这表明我们应该考虑那些用来复制一类特定量子态的克隆机。比利时布鲁塞尔自由大学的尼古拉·瑟夫（Nicolas Cerf）已经研究出了一系列这样的克隆机，其中的一种可以以2/3的保真度复制相干态。相干态相对容易制备，在足够短的时间内激光器的输出就是相干态。由于这种克隆机只需要一台线性、相位灵敏度低的放大器，以及各种分束器，所以人们有望在不远的将来在实验室中把它制造出来。

普适“非”逻辑门

克隆提供了一种可对未知量子位进行变换的途径，但它不是唯一途径。假设我们有一个给定的量子态，我们想把它变换成与原始态相正交的态。这一过程被称为“互补”，是利用一种被称为“自旋滤波器”或“普适`非'门”的器件完成的。

经典“非”逻辑门可把0态变为1态，反之亦然。量子“非”逻辑门可把处于特定基底的态转变为与其相正交的态，例如把|0〉变成|1〉，反之亦然。普适“非”门是一种更一般化的逻辑门，因为它并不只限于任何特定基底，它可把任意输入量子位态转换成正交态。

如果一个普适“非”门的输入态为|ψ〉=α|0〉+β|1〉，其中α和β为复数，那么它的输出态将为|ψ_⊥〉=β＊|0〉-α＊|1〉。这实际上是一个逆幺正变换，如果一个幺正变换作用到|ψ〉上，则输出态将变成|ψ′〉=β|0〉-α|1〉。由于量子力学中只允许幺正运算，所以不能精确地完成普适“非”变换，但是可以以2/3的保真度近似地实现。

通过测量原始量子位可得到上述程度（2/3）的保真度，然而普适非门与克隆门之间还存在着非同寻常的联系。让我们回想一下包含三个量子位的量子克隆系统，其中的两个量子位归结为克隆体，那么第三个量子位发生了什么情况呢？结果是它在输出端的状态与最佳普适非门制备出的态相同。因此，克隆系统既相当于一个最佳克隆机，又相当于一个最佳普适非门。

结束语

经典信息不同于量子信息，经典信息可被精确地克隆和互补，而量子信息却不能。正如我们上文所述，人们对量子位只能近似地进行克隆与互补操作。但是这些近似操作却有助于人们理解和设计量子信息的应用。

例如，在量子密码学中，窃听者虽然无法获得两个用户之间传递的信息的精确复制品，但他（或她）可以窃取一个近似的复制品。因此，重要的一点是要了解量子克隆的界限，以便人们正确地确定量子密码能在何种程度上保护秘密信息。

量子克隆机还可像意大利帕维亚大学的贾库牟M·狄阿里安农（Giacomo Mauro D’Ariano）及其合作者的开创性工作所表明的那样，用来测量不相容的可观测量。例如，电子的x分量和y分量不能被同时测量，但如果电子被送入克隆机，就可在一个克隆体上测量其自旋的x分量，而在另一个克隆体上测量其自旋的y分量。这种测量方法能使我们获得两个分量的近似信息，不过这并不能使我们推翻不确定关系原理。