从观看偶然性游戏中的成功涨落到简单的布朗扩散以及现代非线性动力学研究，随机行走到处可见。与20世纪物理学中的许多重要概念一样，随机行走于1905年从爱因斯坦那儿得到了推进（当时爱因斯坦的注意力集中在布朗运动上）。1785年，简 · 英根赫兹（Jan Ingenhauz）把木炭粉末放在酒精薄膜上发现木炭颗粒在随机地进行运动；1828年，植物学家罗伯特 · 布朗（Robert Brown）发现，静止液体中的小颗粒在作无确定路线的跳动。爱因斯坦认为这些液体都是由离散的分子组成的，分子与布朗粒子的多次碰撞导致了后者随机地朝着某个方向跳动，布朗粒子的运动是一种随机行走。爱因斯坦的分析不但解释了布朗运动，而且还支持了原子的存在性（原子的存在性在当时还没有被普遍接受）。

爱因斯坦的方法是建立在这样的原理之上——与其他自然现象一样，噪音也是物理学定律的一种表达方式。爱因斯坦证明，布朗粒子服从扩散方程；他的均方位移公式牵涉到阿伏加德罗常量，并且以这个常量作为扩散常数中的一个因子。简 · 佩林（Jean Perrin）对布朗运动所进行的仔细观察使他能够计算出阿伏加德罗常量的数值，1926年，他因此而获得了诺贝尔奖。

与通常的情况一样，一旦先兆被发现，这项工作就被证明是重要的。1880年，洛德 · 雷利（Lord Rayleigh）在扩散性的热流和随机散射之间建立了联系。1900年，路易斯 · 巴彻利尔（Louis Bachelier）引进了市场浮动的随机行走理论，发现债券价格的扩散方式与热的扩散方式是一样的。回溯到1700年，雅可布 · 伯努利（Jacob Bemoulli）和亚伯拉罕 · 迪莫菲（Abraham DeMoivre）研究了公平博弈中赌徒的赌金随博弈结果的变化而发生变化的随机行走。

所有这些事例（包括爱因斯坦的），都描述了某个量（位置、价格或者成功）的一系列非关联的随机变化。即使每一步变化都是随机的，我们也能够导出概率的分布并且用一些等式来预测未来行为的概率。根本的方程是扩散方程；它的解是铃状的宽度随时间（上述这些例子中，随碰撞的次数、市场的交易数或者博弈的次数）线性变大的高斯曲线。

但是随机行走还可以表现出不能够用布朗运动描述的复杂行为。一个著名的例子是1974年施乐（Xerox）实验室中所进行的影印用类玻璃半导体实现一瞬光线产生许多带电的电子和空穴对，而电子空穴对的运动则用它们所产生的电流来进行监控。哈维 · 谢尔（Harvey Scher）和埃利奥特 · 蒙特罗尔（Elliot Montroll）意识到电荷是在各个陷阱之间运动的，而落入陷阱次数的分布是如此之宽，以致于脱离陷阱的平均时间超过了实验所持续的时间。

与布朗模型不同的是，随机行走的电荷跳跃数与时间的0.45次幂成正比而不随时间线性地增多。结果，概率的分布就比典型的高斯分布尖得多，其宽度也比随时间线性增大慢得多。这些结果打破了扩散理论的标准量纲分析，并导致了与众不同的标度规律。对于电场E中要通过长度为L的样本电荷来说，时间T的量纲与（L/E）一样变成了2.2，这很奇怪，因为在经典的随机行走中它们都是1。最近，这种类型的随机行走已经被用于玻璃体材料中的缺陷运动，以解释在玻璃的跃迁温度附近所发生的慢“伸长指数弛豫”现象了。

湍流扩散是另一个非布朗型随机行走的例子。1926年，路易斯 · F · 理查德森（Lewis F. Richardson）发现，对于经历湍流扩散的两个相对分离的微粒来说，概率分布的第二时刻是随着时间的三次方增长的。上个世纪20年代，保罗 · 利维（Paul Levy）得到了关于跳跃长度概率的一类带有无限长第二时刻的随机行走的概率分布。

这些非高斯型“利维飞跃"并不支配扩散过程的平滑流动，因为存在着跳跃越来越长的可能，所以飞跃路径会突然离开它们的出发点，而显现出一丛不规则的点。但是这种数学变戏法究竟是怎样找到物理应用的呢？利维的工作一直停留在数学文献中，且一直到最近才为物理学家们所知晓。

物理学家并不想知道一步随机行走的跳跃有多大，而只想了解在某一时间t内，这一跳已经进行了多远。这就把速度，V引进到了随机行走之中。即使随机行走处于无限跳跃之中，根据利维的理论，那么在时间t之内，行走者也只将经过Vt的距离。因此，无穷大决不会在计算中出现。这种过程称为利维行走或者利维驱动，它的非高斯型概率所描述的是上述带有第二时刻并且此第二时刻以高于一次方的比例随时间增大的扩散过程；而湍流扩散正是属于这种类型。

让人大吃一惊的是，在不含有任何概率的运动方程组所组成的动力系统中，也出现了随机的利维行走现象。其中关键的一点是表面上的类随机行为可以通过非线性来产生，这就是著名的混沌现象。在某些非线性系统中，物体的轨迹可以在混乱的状态中散播，而在一个很长的时间跨度内不会被几乎封闭的巢状非线性轨道所俘获。这些系统具有非线性的产生令人想起利维行走的轨迹的敏感特性。这样的例子有很多，比如标准的周期反冲转子图、周期反冲谐振子的柴斯拉夫斯基网状图以及约瑟夫森连接体中混沌相旋转的盖泽尔图等。

[Nature，2001年6月7日]