远古人类认为自己居住在无边无际的平台上。到了公元前四世纪的时候，亚里斯多德注意到海上航行的船只不是变得越来越小，而是在地平线上沉了下去。因此他推断：地球必定是圆的。这是有史以来人类最伟大的智力成就之一。
斗转星移，人们不断发现行星、星系和宇宙的种种奥秘。但有一个基本问题至今仍未找到答案，那就是我们身居其中的宇宙到底是什么样子？
随着天文观察的进展，宇宙形状的可能性范围逐步缩小。数学家已证明只存在18种欧几里得三维流形，宇宙形状是其中10种欧几里得三维流形之一。
拓扑学与各种面
数学家在讨论宇宙形状时是指宇宙的拓扑形状。在拓扑学里，物体就如橡皮泥，无须切割或粘贴就可把环形体变成咖啡杯。但就拓扑学而言，环形体的表面（即环面）不同于实心球的表面（即球面）。不进行剪切是无法把一个球面变形为另一个球面的。
在拓扑学里，有许多种面不同于上述两种面。例如，给环面安上手柄，上面就会有一个孔。安上几个手柄就会有几个孔。就拓扑学而言，手柄的数量决定着面的形状。任何两个手柄数量不同的面都是截然不同的。据此可创造出无数种截然不同的面，这些面就叫做二维流形。它们的共同特征就是面上任何一点的周围都存在着一个由点组成的圆面。从局部看，该圆面是二维的。事实上，我们每天都在与这一特征打交道。例如，从局部看，地球表面可看作是二维的。如果只看到这一局部，那么我们有理由相信地球的形状是一个无限的平面、球面或环面。
为帮助想象，拓扑学家找到了一种简易的办法。假定环面的基本域是一张正方形的纸，把正方形的左右两边粘贴在一起就形成一个圆筒，上下两条边就成了圆筒两端的圆周。把这两个圆周粘贴在一起就形成一个环面。
假设有一小虫在该环面上行走：当小虫爬到正方形顶边时，它就到了正方形底边相应的点上。同理，当小虫爬到正方形右边时，它就来到了正方形左边相应的点上。
这时，我们实际上是在跟踪一个发生在三维空间的行动。这种面就是欧几里得几何图形。在欧几里得几何学里，对于每一条线和线外的一个点，只有唯一的一条线平行于通过该点的第一条线；而且三角形的三角之和始终等于180°。在其他几何学（如球面几何学和双曲几何学）里，这些说法并非始终正确。但是，由于该正方形为欧几里得几何图形，因此该环面是一个欧几里得二维流形。
除了正方形，平行四边形的对边粘贴在一起也构成环面。虽然这不会改变所得表面的拓扑形状，但它却能改变围绕环面的路径长短及路径之间的夹角。改变平行四边形的基本域可形成无数种环面。除平行四边形外，把六边形的对边粘贴在一起也可获得环面。
宇宙和三维流形
无论在宇宙何处，选定一个点并考虑离该点两英尺范围内所有的点，那么你就会看到一个由点组成的三维球。宇宙学家们相信，此言放之整个宇宙而皆准。这一特性使他们得出结论：宇宙形状是三维流形。
那么宇宙到底是什么样的三维流形呢？
大约在大爆炸后30万年时，宇宙的温度冷却到了足以让电子和质子结合在一起的程度，从而形成了第一个原子。此时，宇宙微波背景辐射忽然获得了穿越膨胀着的宇宙的力。这种辐射极为均匀，经过遥远的距离才略有变化，且只存在于曲率不随方位改变的宇宙之中。因此，人们相信立体的宇宙应该是下列三种几何形状之一：正曲面的球面几何形状、零曲率的欧几里得几何形状或负曲面的双曲几何形状。
这三种几何形状的特性截然不同。欧几里得三角形的三角之和为180°，但如果三点位于球面上，那么三角之和就大于180°。而在双曲面几何里，三角形的三角之和可以是小于180°的正数。
早在19世纪前半叶，高斯就猜想宇宙可能不是欧几里得几何形状。他拿德国三座山峰所形成的三角形作比较，发现三角之和在允许误差范围内是180°。就高斯所测小范围而言，宇宙呈欧几里得几何形状，但没有把握把高斯的山峰数据外推到整个宇宙上去。也许三个遥远星系间的角度之和并非正好180°。也许宇宙的几何形状是球面或双曲面，但在我们所能观察到的范围内，宇宙呈欧几里得几何形状。
沃纳 · 诺瓦克于1934年证明只存在18种欧几里得三维流形，其中有8种是不可定向的；它们包含一个逆转方向的环路。假如你从地球出发沿这条环路飞行，那么当你最终返回原处时，就变成了相反的自己。你的心脏到了身体的右侧，你的手表朝逆时针方向行走。在你自己看来，你到了地球的镜像之中。
但我们不可能居住在如此的宇宙之中。如果宇宙是不可定向的，那么我们就会看到能量从反物质与物质相遇的区域边缘辐射出来。但这种奇特现象从未观察到。因此，虽然这些边缘区域有可能存在于我们的视场范围之外，但我们的讨论还是局限于10种可定向的欧几里得三维流形范围内。
欧几里得宇宙
想象三维流形决非易事。在想象二维流形时，我们用正方形作为环面的基本域，把正方形的对边粘贴到一起就形成一个环面。在想象三维流形时，我们是以三维的物体作为基本域。三维环面是把立方体的对面粘贴在一起。
当你在三维流形中往前看时，你会看到自己的后脑勺，会在立方体的每一个面上——前、后、左、右、上、下——看到自己的镜像。越过这些镜像，你还能看到无数的镜像，犹如站在一间装满镜子的房间里。但在三维环面里，镜像始终不会逆转。
如果宇宙确实是这种三维流形，那么你可以从地球出发朝一个特定的方向飞行，永远不必改变航向，最终返回出发点。这与地球上的现象相类似：如果你沿赤道朝正西方向走，那么你总有一天会回到出发点。
三维环面的另一个有趣特性是它与二维环面的关系。把立方体切成薄片，我们就会得到一系列的正方形。这些正方形的对边可粘贴在一起，而这些边原先构成立方体的相对面。拓扑学家把这样的流形表示为T2×S1（其中T2代表双环面，S1代表圆圈）。这是一个环面束，即由一束环面组成。
立方体不是形成三维环面的唯一形状。就如平行四边形可形成二维环面那样，平行六面体（由平行四边形为面的三维物体）很容易形成三维环面。把平行六面体的不同对立面粘贴在一起，就会形成具有不同闭合曲线、且闭合曲线间夹角不同的空间。
这些流形为描述膨胀着的宇宙提供了简易的方法。如果一个流形的基本域随时间而扩大，那么它所形成的空间也将随之扩大。膨胀空间中的每个点朝离其他点远去的方向运动，这正好是我们在宇宙中所观察到的现象。但请切记，靠近其中一个面的点将始终贴近对立面的点，因为对立面被粘贴在一起，无论基本域的大小如何。
扭转180°的立方体空间非常近似于三维环面，其基本域始终为立方体，有四个面以同样的方式粘贴在一起。其余两个面，即前面和后面，也被粘贴在一起，但有180°的扭转（“前面”的顶边与“后面”的底边粘贴在一起）。如果你从这个流形往外看，你仍会看到自己的镜像，不过是颠倒的。而在离“后面”远处，会看到一个“正面朝上”的镜像，依次类推。
跟三维环面相同，扭转180°的立方体空间可以被垂直地切割成一组二维环面。但前面的二维环面被粘贴在后面的二维环面上，并扭转180°。扭转180°的立方体空间也是一个环面束。
另一种流形是扭转90°的立方体空间。原理同上，不过只有90°的扭转。其基本域的前、后两面必须是正方形，不然就会变形。从立方体的前面看出去，你会看到自己的多重镜像，互相差转90°。
扭转120°的六方柱空间不用立方体作为基本域。把每个平行六边形直接粘贴到对立面上，然后把两个六角形面旋转120°后粘贴在一起即可。这一流形的每个六角形切片都是环面；因此它也是一个环面束。如果从六角形面往外看，你会看到前后镜像都差转120°。如果从平行六边形面望里看，镜像则无扭转。
扭转60°的六方柱空间的形成类似于扭转120°的六方柱空间。但前面的六角形面在扭转60°后被粘贴到后面的六角形面上。在这一环面束中，其余的平行六边形再次被直接交叉粘贴。
双重立方体空间（即Hantschze-Wendt流形）是一个完全不同的流形。这一有限的空间不是环面束，它的粘贴方式与众不同。但双重立方体空间仍采用非常简单的基本域：两个立方体，一个位于另一个之上。须注意的是，不是所有的面被交叉粘贴在一起。相反，前顶面和后顶面被直接粘贴到下面的面上。在这一空间里，你会看到一种独特的透视效果。如果你个子足够高，你会看到自己脚就在眼前。
有了双重立方体空间，可定向的欧几里得三维流形就齐全了。宇宙的形状很可能就在这些所谓的紧凑流形之中。宇宙学家普遍相信，宇宙本质上不是无限的。如果说认为“地球是无边无际的平原”是愚蠢的，那么为什么还要继续认为宇宙是无限的呢？
最简单的无限三维流形就是R3，即三条轴无限延伸的欧几里得三维空间。在遥看欧几里得三维空间时，我们不可能看到自己的镜像。
板状空间的基本域是一个无限的空间板块。该板块的顶是一个无限的平面，直接粘贴在同样无限的底面上。平面必须互相平行，但可任意旋转或移位。无论怎样移动或旋转其中一个平面，它将永远完全附着于另一平面。拓扑学家用符号R2×S1（其中R2代表平面，S1代表圆圈）来描述这一流形。两个相隔的平面被粘贴在一起后形成一个类似于三维环面罗拉代克斯（Rolodex）的圆圈。
最后的两个三维流形用无限高的“烟囱”作基本域。烟囱由四个面组成，呈平行四边形排列。烟囱没有顶和底，四个面朝这两个方向无限延伸。如同立方体或六角棱镜，其基本域的粘贴方式决定着形成哪一种流形。
两组对立面被直接交叉粘贴在一起时，就形成“烟囱空间”。粘贴之后，平行四边形的横截面恰好是一个二维环面。因此，拓扑学家把这一空间称为T2×R1。
烟囱空间的其中一个粘贴面扭转180°则形成一个扭转的烟囱空间。这一扭转与烟囱的无限高度相结合形成一些不寻常的特点。例如，扭转烟囱空间基本域某一极端上的一个点与相距甚大的另一极端上的另一个点似乎离得非常远，但在这些面被粘贴在一起之后，它们的距离却是惊人地接近。
宇宙的形状
如果在夜空中找到我们所在星系的镜像，那么我们就能够确定宇宙基本域的粘合方式。假如宇宙是一个扭转90°的立方体空间，那么我们就会在四侧看到星系的无扭转镜像，而在剩下的两个侧面看到90°的扭转。
众所周知，光以极快的速度传播。当我们往宇宙深处了望时，我们实际上是在追溯时间长河的源头。即使我们有一天找到我们所在星系的一个镜像，我们也不一定能认出它。宇宙中的星系浩如烟海，很难确定哪一个是我们所在星系的镜像。
宇宙学家在对找到我们所在星系的镜像失望之后，仍然希望在天空中找到类星体、γ射线爆发和星系团等的镜像或另辟蹊径来解决这个问题。
宇宙微波背景（CMB）辐射的均匀性说明宇宙的曲率是恒定的。但CMB在绝对温度10-5左右时有细小的变化。这些变化告诉我们早期宇宙的微小密度差异。当宇宙冷却和膨胀时，密度的差异减慢了这些区域的膨胀。这一影响最终使物质聚集成星系、恒星和行星。观察CMB图谱可以让我们越过星系间的杂乱回波返回到时间的过去，看到原始的密度差。我们看到的宇宙大小将不到今天宇宙的千分之一。
我们居住在三维宇宙里，我们看到的是球面空间信息。如果我们的球体视野范围小于30万岁宇宙的基本域，那么我们什么都发现不了。如果我们的球体视野范围大于CMB宇宙的基本域，那么该球体将沿圆圈自我交叠。
如果发生这种交叠，那么宇宙学家将寻找温度变化样式。如果球体上有两个圆具有完全相同的CMB变化序列，那么宇宙学家就能够比较这些圆圈的定向。如果圆圈直接交叉配对，那么就是无扭转的粘贴。但有些圆圈可能在扭转90°或180°后配对。如果找到足够的配对圆圈，那么宇宙的基本域及其粘贴模式就将被揭开。然而，宇宙学家在获得精确的CMB温度图谱之前是无法断定宇宙形状的。
美国航空航天局（NASA）于1989年首次发射了“宇宙背景探索者”卫星，该卫星在宇宙太空里完成了CMB温度图谱的测绘。
不幸的是，这颗卫星的角分辨率约为10°，其精度还不足以完成宇宙学家所需要的精确测量。2000年春，NASA又发射了“微波各向异性探测器”卫星。这颗卫星有了极大的改进，它以0.2°的角分辨率绘制CMB温度波动图谱。欧洲空间局（ESA）计划于2007年用普朗克卫星绘制这些温度波动图谱。它的角分辨率达到5弧度秒，比“微波各向异性探测器”强144倍。
如果这些卫星取得成功，那么人们将在几年后获得精确的CMB图谱。如果我们的视圈足够大，如果我们的测量足够精确，如果我们的数据集足够可靠，那么我们将最终揭开宇宙形状之谜。