数学中有对称,诗词中讲对仗。乍看上去两者似乎风马牛不相及,其实它们在理念上具有鲜明的共性:在变化中保持着不变性质。
数学中说两个图形是轴对称的,是指将一个图形沿着某一条直线(称为)对称轴折叠过去,能够和另一个图形重合。这就是说,一个图形“变换”到对称轴另外一边,但是图形的形状没有变(见图)。
这种“变中不变”的思想,在对仗中也反映出来了。例如,让我们看唐朝王维的两句诗:
“明月松间照,清泉石上流。”
诗的上句“变换”到下句,内容从描写月亮到描写泉水,确实有变化。但是,这一变化中有许多是不变的:
“明”——“清”(都是形容词);
“月”——“泉”(都是自然景物,名词);
“松”——“石”(也是自然景物,名词);
“间”——“上”(都是介词);
“照”——“流”(都是动词)。
对仗之美在于它的不变性。假如上联的词语变到下联,含义、词性、格律全都变了,就成了白开水,还有什么味道?
世间万物都在变化之中,但只单说事物在“变”,不说明什么问题。科学的任务是要找出“变化中不变的规律”。一个民族必须与时俱进,不断创新,但是民族的传统精华不能变。京剧需要改革,可是京剧的灵魂不能变。古典诗词的内容千变万化,但是基本的格律不变。自然科学中,物理学有能量守恒、动量守恒;化学反应中有方程式的平衡,分子量的总值不能变。总之,惟有找出变化中的不变性,才有科学的、美学的价值。
数学上的对称本来只是几何学研究的对象,后来数学家又把它拓广到代数中。例如,二次式x2+y2,当把x变换为y,y变换为x后,原来的式子就成了y2+x2,结果仍旧等于x2+y2,没有变化。由于这个代数式经过x与y变换后形式上与先前完全一样,所以把它称为对称的二次式。进一步说,对称,可以用“群”来表示,各色各样的对称群成为描述大自然的数学工具。
物质结构是用对称语言写成的。诺贝尔物理学奖获得者杨振宁回忆他的大学生活时说:对我后来的工作有决定影响的一个领域叫做对称原理。1957年李政道和杨振宁获诺贝尔奖的工作——“宇称不守恒”的发现,就和对称密切相关。此外,为杨振宁赢得更高声誉的“杨振宁—米尔斯规范场”,更是研究“规范对称”的直接结果。在“对称和物理学”一文中最后,他写道“:在理解物理世界的过程中,21世纪会目睹对称概念的新方面吗?我的回答是,十分可能。”(见《杨振宁文集》第444,703页)。
对称是一个十分宽广的概念,它出现在数学教材中,也存在于日常生活中,能在文学意境中感受它,也能在建筑物、绘画艺术、日常生活用品中看到它,更存在于大自然的深刻结构中。数学和人类文明同步发展,“对称”只是纷繁数学文化中的标志之一。