量子信息学是量子力学与信息科学、计算机科学的交叉学科。美国生物学家E.O.威尔逊（Edward O. Wilson）有一段话很好地说明了交叉学科的重要意义，他说：“科学是我们时代最大胆的形而上学，是人类的创造，相信如果我们有梦想，坚持去发现、解释、再梦想，从而不断进入新的领地，让世界显得更清晰，我们就能掌握宇宙的真正奇异之处，而这些奇异之处将会被证明是互相联系，有意义的。”量子信息就是宇宙的一个奇异之处，反映了信息与物质的深刻联系。

不同学科的科学家给交叉学科带来各自的特长。大数学家希尔伯特有一句幽默的名言：“物理学如此重要，不能留给物理学家。”事实上，希尔伯特对广义相对论的数学形式做出过重要贡献，当时对爱因斯坦构成竞争，让爱因斯坦感到很大压力。类似地，物理学家可以说，生物学是如此重要，不能全留给生物学家。事实上，正是物理学家协助开启了分子生物学。

物理学家还可以说，信息和计算是如此重要，不能全留给计算机科学家。这正是本文所要回顾的。我们将追溯物理学家所走的信息之路，从经典信息到量子信息。

量子信息并不是指经典信息技术的量子物理基础，虽然物理学对经典信息提供了硬件基础，电子计算机的器件（晶体管、存储器等）中的电子也确实服从量子力学。量子计算也不是指关于量子力学的计算问题，不是计算物理。这些固然是重要的领域，但不是所谓的量子计算与量子信息。

什么是信息

信息的英文是information。顾名思义，信息是被告知的东西（Information is that which informs）。 信息是讯息（message）的内容，是对我们在获得该讯息之前对它的无知程度的度量，是对不确定性的降低。当我们对于某件事的不确定性越大，就需要越多的信息来消除这个不确定性。信息的一个性质是，它可以编码成各种形式。比如，同样的思想可以用不同语言来表达。信息论中，信息用一个字符串来表达。

信息不仅是个抽象的数学概念。信息离不开物理载体，又可在不同物理载体之间转换。信息处理过程是物理过程，受物理规律主宰。比如，由声音传递的信息取决于空气和耳膜的振动，由文字表达的信息取决于粉笔灰或墨水的分布；磁存储的信息取决于磁畴的状态；生命信息取决于遗传物质中四种碱基的分布；神经网络中的信号取决于神经元的状态。

1991年，兰道尔（Rolf Landauer）提出一个口号——信息是物理的——倡导从物理的角度研究计算和信息。1990年，惠勒（John Wheeler）提出一个口号——物质来自比特。惠勒和兰道尔的思想影响了最早研究量子信息的一批人，可以称他们为量子信息学的祖父。

顺便提一下，1972年，安德森（Phil Anderson）曾提出：“多了就是不一样”。是说，多体系统会展现出少体系统没有的新性质。从信息和量子信息的角度考虑物理定律的层展，也是一个有意思的方向。

麦克斯韦妖

最早进入物理学的信息问题，可能是麦克斯韦妖佯谬。1867年，麦克斯韦在一封信里提出这个佯谬。他在1871年出版的《热的理论》（Theory of Heat）一书中，做了详细论述。考虑封闭容器内处于恒温的气体，他写道：“假设这样的一个容器分成两半，A和B，隔板上有一个小洞，有一个有意识的存在（being）能够看到单独的分子，能够关闭或打开这个洞，从而让较快的分子从A运动到B，让较慢的分子从B运动到A。因此他不需要做功，就能提高B的温度，降低A的温度。这与热力学第二定律矛盾。1879，汤姆逊（William Thomson，也就是开尔文勋爵）将麦克斯韦假想的being称为麦克斯韦妖。

麦克斯韦

（James Clerk Maxwell，1831—1879）

1929年，作为博士论文，西拉德（Leo Szilard）研究了麦克斯韦妖问题。他用比特表示分子的位置状态，涉及了信息。（这里比特指容器的左右，他没有用比特和信息这些名词。）西拉德提出麦克斯韦妖测量分子状态时，消耗能量，熵增加了k_Bln2，抵消了气体分子的熵减少。这里k_B代表玻尔兹曼常数。

西拉德还提出一种利用信息的热机，也就是说，可以从信息提取功。我们用查尔斯·本内特（Charles Bennett）在1987年提出的版本来讨论。考虑一个恒定温度的热库接触的小车，以及一串小隔间组成的传送带，每个小隔间里面有一个分子。假设事先知道每个分子的位置状态（信息），也就是在小隔间的左半部或者右半部。相应地，就可以设计机械，利用活塞向右半部或者左半部移动，分子所在的空间增加到整个小隔间。从而分子总是对外做功，驱动小车运动。也就是说，信息转化为功。如果事先不知道分子的位置，平均做功为零。

信息论

1948年，香农（Claude Shannon）借助熵的概念，提出了信息论。考虑一个字母表，由a₁，a₂， ...， a_n组成，每个字母出现的概率分别是p₁，p₂，...， p_n，p₁+p₂+...+ p_n=1。香农定义了信息熵: H=-p₁log₂（p₁） -p₂log₂（p₂） ...-p_nlog₂（p_n）。这里log₂代表以2为底的对数。香农证明了这n个字母组成的讯息可以压缩到nH比特。也就是说，信息熵代表平均每个字母的信息量，定量刻画了信息存储与传输所需的资源。

我们可以看出，如果p₁=1， 其他的p_i=0，也就是说只有a₁这一个字母出现，那么H=0， 也就是说没有信息量；如果每个p_i都等于1/n， 那么H=log₂n，这是最大值。

兰道尔原理

从20世纪30年代开始，计算机的基础理论和技术有很多发展。1961年，兰道尔在IBM工作时提出了兰道尔原理：每删除一个比特的信息，环境的熵至少增加k_Bln2，也就是说，至少需要耗散能量k_BTln2。我们知道，熵乘以温度T就是热量，也就是耗散到环境的能量。

1973年，本内特提出可逆计算的概念，指出原则上不需要能耗。虽然很多逻辑运算是不可逆的，比如2+3和1+4都等于5，因此从输出结果5，不能唯一确定输入。但是不可逆运算可以嵌套在可逆运算中，也就是将输入信息也当作输出结果的一部分。1982年，他提出可逆图灵机模型。图灵机是最简单的计算模型。

在这些工作的基础上，1987年，本内特给出了麦克斯韦妖佯谬的解决方案——对分子状态的测量本身可以不消耗能量，测量结果存储在妖的记忆中，气体的熵减少由妖的记忆的熵增加补偿。但是妖的记忆有限，为了存储新的测量结果，需要删除旧的记忆，因此必须将熵转移到环境，也就是说，必须耗散能量到环境中去。因此耗散的能量不是来自测量信息，而是来自删除信息。当然，如果将气体、妖、环境一起考虑，总熵总是不减少的。

信息与能量

作为对前述若干概念的消化，我们看一下信息与能量的关系。如果事先知道某讯息（一串比特，比如各分子的位置）的内容，删除这个讯息不需要消耗能量。

例如，考虑一个盒子中有一个分子，如果知道它在盒子的哪半边，可设法用一个小盒子包住它，它对小盒子的每个壁都有碰撞，平均做功为零，因此我们在不做功的情况下将它转移到事先选好的盒子的一半（事先选定左边或者右边），也就是删除讯息。因此，知道信息后，可以不费能量将其删除。而且，前面说过，还可以利用它，让分子对外做功。

但是，如果不知道分子位置时，我们只能统一地将盒子体积压到一半（事先选定左边或者右边）。这需要付出能量。

计算机极简史

19世纪的查尔斯·巴贝奇（Charles Babbage）设计了两个机械计算机，虽然都没能实际完成。19世纪20年代，巴贝奇设计了计算多项式函数的差分机。1837年，他又设计了可编程的机械计算机Analytic Engine，包含了计算机的主要元素。1941年，有人实现了他的设计。

巴贝奇制作的Analytic Engine的模型

诗人拜伦的女儿阿达·洛芙莱斯（Ada Lovelace）为Analytic Engine写了程序，成为历史上第一位程序员。巴贝奇和洛芙莱斯的照片曾经放在一起，作为英国50英镑新钞票上的候选人物。但最终，另一位候选人阿兰·图灵（Alan Turing）胜出。

图灵被选为50英镑新钞票上的人物

1937年，图灵提出了图灵机、普适图灵机和图灵假说，严格定义了计算和程序的概念。图灵假说是说，存在普适图灵机，可以模拟任何图灵机。这就是说，存在普适计算机，用程序就可以实现任何计算。

1939年，物理学家约翰·阿塔纳索夫（John Vincent Atanasoff）与他的学生克利福德·贝里（Clifford Berry）建造了第一台电子计算机。这是一台特定目的的计算机，不能编程。它用二进制和布尔代数，能计算29个联立方程。硬件上，它由电子真空管实现计算，用电容器作内存，没有中央处理器（CPU）。

物理学家约翰·莫克利（John Mauchly ）和艾克特（J. P. Eckert）设计了世界上第一台电子通用计算机，即ENIAC （Electronic Numerical Integrator And Computer，电子数值积分计算机），1946年建成。ENIAC的第一个用途是冯·诺依曼和乌拉姆的氢弹计算。莫克利多次访问过阿塔纳索夫，但是1944年之前，没有告知后者自己也在造计算机。这使得莫克利后来没有获得专利。

电子计算机飞速发展。20世纪50年代，每秒做1 000次浮点运算。而现在的速度是148.6P FLOPS（P = 10¹²）。1965年，戈登·摩尔（Gordon Moore）总结出所谓的“摩尔定律”：单个集成电路芯片上的晶体管数目大约每两年翻一番。从下图可以看出，摩尔定律延续多年。

晶体管越来越小，越来越快。如此下去，单个比特只需要原子尺寸。但是在原子尺寸，量子效应将起支配作用，适用于经典计算机的摩尔定律也就不能延续。

所以，一个思路就是，变不利为有利，干脆用量子力学作为新的计算（逻辑）原理。利用量子力学的原理，特别是量子态叠加原理，完成计算任务，处理和传递信息，这就是所谓的量子计算与量子信息。

量子力学基本问题的研究

量子计算与量子信息又与量子力学基本问题密切关联。量子纠缠是超越任何经典关联的量子特性，研究始于爱因斯坦等人，经过戴维·玻姆（David Bohm）等人，后来由约翰·贝尔（John Bell）取得突破。

单量子系统在这些研究中体现出重要性。以前，正如薛定谔所说，我们从来不用单个电子或原子或小分子做实验。在思想实验中，我们有时候假设能够做，这不可避免导致奇怪的后果……

事实上，当年的思想实验今天已经成为真实的实验，对于奇怪后果的探究导致量子物理基础和量子信息的进展。

量子计算与量子信息的兴起

1978年，保罗·贝尼奥夫（Paul Benioff）提出一个量子力学模型，实现经典图灵机的每一步过程。1982年，费曼提出，用经典计算机模拟量子过程需要指数级资源，而量子计算机则可以有效地模拟量子过程。苏联的马宁（I. Manin）也有类似的想法。1983年，阿尔伯特提出量子元胞自动机。

1985年，英国物理学家戴维·多伊奇（David Deutsch）提出量子图灵机和普适量子图灵机的概念。1989年，他又提出由量子门组成的量子计算的线路模型。

作为一个有实用意义的突破，1994年，美国计算机科学家彼得·肖（Peter Shor）提出有效解决素数因子分解（寻找奇数的素数因子）的量子算法。在经典计算中，这个问题是一个NP问题，也就是说，需要的时间不是数字的二进制位数n的多项式函数。事实上，需要的时间是exp（O（n³（log（n）^2/3 ））。而肖的量子算法需要的时间只是O（n² log（n） loglog（n））。f=O（g）的意思是，|f/g|介于两个有限正数之间。 量子计算的算法基于纠缠态的运用。量子纠缠也导致量子通信，比如量子隐形传态。而量子密码的某些方案基于海森堡不确定关系，某些方案基于量子纠缠。

2017年，意大利的国际理论物理中心将狄拉克奖授予本内特、多伊奇和肖，以表彰他们用量子力学的基本概念解决计算和信息的基本问题，从而将量子力学、计算机科学和信息联系在一起。

小 结

信息是物理的。因此经典计算和经典信息基于经典物理，而量子物理导致量子计算和量子信息。突破摩尔定律的需要，经典信息和经典计算的量子推广，量子力学基本问题的探究，形成合力，催生了量子信息和量子计算。

___________________

本文作者施郁是复旦大学物理学系教授。